Kenarortay Teoremi İspatı

Etiketler : geometri ispat kenarortay matematik teorem ispatları üçgen

Bir üçgenin herhangi bir köşesinden çizilen ve o köşeye ait  kenarını uzunluk cinsinden iki eşit parçaya ayıran doğru parçasına kenarortay denir. Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfi ile adlandırılır.

Ağırlık merkezi, bir cismin moleküllerine etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktası olarak tanımlanabilir. Ağırlık merkezi, Fizikte ve mühendislik hesaplarında işlemlerin basitleştirilmesi için yaygın olarak kullanılır.Homojen yapılı ve simetrik cisimlerde ağırlık merkezi simetri eksenlerinin kesişme noktasındadır. Basit geometrik şekillerin veya basit geometrik şekillere bölünebilen cisimlerin ağırlık merkezleri çizim yolu ile kolaylıkla bulunabilir.

Bir dikdörtgenin ağırlık merkezinin , birbirine dik iki kenarın ortalarını birleştirmek sureti ile çizilen doğruların kesişme noktalarının verdiği simetri merkezi olan "O" noktası, olduğu bir dikdörtgen şekli çizilerek köşegenlerinin kesişim noktasından rahatlıkla görülebilir. Dikdörtgendeki bu nokta aynı zamanda dikdörtgenin köşegenlerinin de kesişim noktası olduğundan köşegenleri tam olarak iki parçaya ayırır.

** Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı köşe tarafı iki, kenar tarafı bir  olacak şekilde bir oranla böler. Yani bir üçgende ağırlık merkezi G olmak üzere, üçgenin A köşe noktasından çizilen kenarortayın, a kenarını iki eşit parça olarak ayırdığı noktaya F dersek, verilen bu üçgende uzunluklar arasında; |AG|=2|GF| bağıntısı vardır. Aynı şekilde  yandaki çizimden de görülebileceği üzere, |BG|=2|GD| ve |CG|=2|EG| şeklinde ağırlık merkezi, kenarortayı 1/2 şeklinde oranla ayırabilir.

** Bir üçgendeki tüm kenarortayların karelerinin toplamının 4 katı, o üçgendeki bütün kenarların karelerinin toplamının 3 katına eşit olur. Bu ifade üçgende bulunan bütün kenarortaylar için kenarortay teoremi tek tek yazılıp alt alta toplanırsa bu sonuç elde edilir.

** Bir dik üçgende A noktasından hipotenüse ait çizilen kenarortay doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem üçlü). Bu özellik herhangi bir dik üçgen çizilip bu üçgenin hipotenüsünü çap kabul edecek şekilde bir çevrel çember çizildiğinde kolaylıkla ispatlanabilir.

** Dik üçgende kenarortay teoremi özel olarak uygulanırsa; Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylarının karelerinin toplamı hipotenüse ait kenarortayın karesinin beş katına eşit olarak bulunur.

** Herhangi bir üçgende b ve c kenarına ait kenarortaylar eğer dik kesişiyorsa, bu kenarortayların kareleri toplamı, a kenarına ait kenarortayın karesine eşittir.

** Bir kenar üzerindeki yükseklik ile kenarortayı birleştiren doğru parçası kenarortayın izdüşümüdür. Bu izdüşüm uzunluğuna x, ve üçgenin kenarlarına a,b ve c dersek bu şekilde çizilmiş olan bir üçgende izdüşüm uzunluğu 2.a.x= |b²-c²| formülüyle hesaplanır.

Kenarortay teoremi ispatlanırken üçgenin kenarortayı çizilen kenara ait yükseklik çizilir ve buradan yola çıkarak iki farklı üçgende pisagor bağıntısı yardımıyla eşitlikler yazılır. bu eşitlikler düzenlenerek kenarortay tereomine ulaşılır. Her bir kenar için ayrı ayrı bu eşitlikler yazılabilir. bu yazılan eşitlikler taraf taraf toplandığında da kenarortayın özel teoremi elde edilir.

Kenarortay teoremi ispatı için cosinüs teoreminden de yararlanılabilir. Kenarortayın kenarı kestiği noktada bir açıya x, diğer açıya 180-x yazılırsa ve her iki üçgen için de ayrı ayrı iki defa kosinüs teoremi uygulanıp taraf tarafa toplanırsa kenarortay teoremi elde edilmiş olur.