Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı

Etiketler :

Seva teoremi kullanılırken üçgenin iç bölgesinde köşelerden geçmiş olan doğruların kesiştiği bir noktanın bulunması gerekir. Seva teoremi aslında menelaus teoreminin özel bir durumudur. Eğer bir üçgen köşlerinden geçen doğrular yardımıyla kenarları parçalanarak doğru parçaları oluşuyorsa bunların arasında menelaus teoremi gereği bir oran mevcut olur. Menelaus teoremi üçgene uygulanıp eşitlikler taraf tarafa bölünür veya çarpılırsa (uygulandığı konuma göre) seva teoremi elde edilir.


Bu teoremin menelaus teoremi ile ispatı yapılırken içerideki noktaların bir noktada kesiştikleri varsayılarak menelaus teoremi uygulanmıştır. Teoremin ikinci bölümünün ispatı da yapılacak olursa (yani varsayım ispatlanırsa) teorem tam olarak ispatlanmış olur.Bunun için aşağıdaki ispatı inceleyiniz.
İkinci bölümde (şimdi de (5)i varsayalım diye başlayan kısım) köşelerde inilen doğruların bir noktada kesiştiklerini göstermiş olur.

Bu teorem kullanılarak aynı şekilde üçgenin kenarortaylarının,açıortaylarının ve yüksekliklerinin bir noktada kesiştikleri gösterilebilir.

2 yorum:

  1. Üçgende yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini ceva teoreminden nasıl kanıtlarız?

    YanıtlaSil
    Yanıtlar

    1. Bir üçgende üç yükseklik bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.Bir üçgende bir köşeye ait yüksekliğin karşı kenarı kestiği noktaya o köşeye ait dikme ayağı denir.Bir ABC üçgeninde A noktasından BC kenarına bir doğru parçası çizilip bu nokta şekilde H noktası ile gösterilirse H noktası A köşesine ait dikme ayağıdır. [AH] yükseklik, |AH| da yükseklik uzunluğudur. Bu durum sembolle |AH|=h biçiminde gösterilir. Bir üçgende bir köşeden karşı kenara indirilen dikme ayağının koordinatları; 1-Dik izdüşüm, 2-Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulma, 3-Bir kenar ve buna dik olan yüksekliğin ara kesitini bulma yöntemlerinden biri ile bulunur.Dik koordinat düzleminde noktalar alınarak üçgenin yüksekliklerinin tek noktada kesiştiği gösterilebilir.

      Seva teoreminin ispatı yapılırken ikinci bölümde kullanılan varsayım ispatı açıortay,kenarortay ve yüksekliklerin bir noktada kesiştiklerini göstermek için aynı şekilde kullanılır.

      Ayrıca geometriden yararlanılarak da ispat yapılabilir. Aşağıdaki linkte bu şekilde bir ispat yöntemi zikredilmiştir.

      http://muallims.blogspot.com.tr/2014/05/bir-ucgenin-yukseklikleri.html

      Sil