Steiner - Lehmus Teoremi

Etiketler :

İki iç açıortayı uzunlukça eşit olan bir üçgen, ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar olmayan bir üçgenin iki dış açıortay uzunluğu eşit olabilir. ( Steiner-LehmusTeoremi,dış açıortaylar için geçerli değildir)

ABC üçgeninde, I içteğet çemberin merkezi olsun.BA ve CA doğruları üzerinde P ve Q noktalarını IAPI=IAQI=IBCI olacak şekilde alalım. APQ ikizkenar üçgeninde IA açıortay doğrusu, aynı zamanda
yükseklik ve kenarortay işlevi görür. Burada APQ üçgeni ikizkenardır, IPQ üçgeni de ikizkenardır ve |IQ|=|IP| dir.


P ve Q noktalarından, BE ve CF açıortaylarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P' ve Q' olsun. Açıortay doğrusu üzerindeki E noktasından kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan, A(PEA)=A(BEC) dir. Buradan  A(ABC)=A(ABE)+A(BEC)=A(ABE)+A(PEA)=A(PEB) olur. Benzer şekilde A(ABC)=A(QFC) olacağı için A(PEB)=A(QFC) dir. Bize başlangıçta IBEI=ICFI verildi-ğinden IPP'I=IQQ'I olmalıdır.

Şunu biliyoruz; IQA  ≅  IPA (KKK) olduğundan s(IQA)=s(IPA) dır. Ayrıca PIP'  ≅  QIQ' olduğundan
şunu söyleriz; s(QCI)=s(PBI) olmalıdır. Bu zaten s(CBA)=s(BCA) demektir.


0 yorum:

Popüler Yayınlar

Son Yorumlar