Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.
Pisagor Teoereminin farklı ispatları önceki yazılarımızda verilmiş ve video çözümlerle de bu ispat teknikleri gösterilmiştir. Daha önce yayınladığımız "pisagor teoremi ispatı" yazımıza ulaşmak için tıklayınız. Bu yazımızda pisagor teoreminin vektörel yolla nasıl ispat edilebileceğini göstermek istiyoruz. Bunun için önce bir dik üçgeni taşıyıcı kollar olarak üçgenin köşe noktalarından tanımlanmış vektörleri belirliyoruz. Bu belirlediğimiz vektörlerde dört işlem özelliklerinden yararlanarak pisagor teoreminin ispatını aşağıdaki gibi vektörel yolla göstermiş oluruz.

LYS Matematik Ünite Konu Analizi

LYS, ciddi bir çalışma ve emek neticesinde başarılı olunabilecek bir sınavdır. Bu nedenle öğrencilerimizin bu sınava hazırlanırken herşeyden önce azim ve kararlılıkla planlı bir çalışma yapmaları gerekmektedir. LYS konularının analizi yapılarak hangi üniteden daha yoğun soru geldiği belirlenmeli ve eksiklik hissedilen konulara buna göre öncelik verilmelidir. Aşağıdaki tablo, LYS Matematik konuları hakkında sizlere bilgi sunması bakımından önemlidir. Dikkatle inceleyiniz.

Tablo incelendiğinde; yıllara göre 2010'da toplam 45 adet, 2011'de 34 adet ve 2012 de 37 adet, 2013'de 34 adet, 2014'de 33 adet, 2015 yılında 34 adet ve 2016 yılında 32 adet soru sadece lys ünitelerinden sorulmuştur. Bu bilgiler ışığında matematik lys'e girecek arkadaşların kesinlikle her ünite başlığına hakim olmaları gerekmektedir. LYS üniteleri bütün matematik konuları ile irtibatlı olduğundan daha kapsamlı bir çalışma yapılması elzemdir. Konu başlıkları yazılı ünitelerden her sene kesin soruların geldiği de unutulmadan bol örnek çözümü yapılarak sınavlara hazırlanılmalıdır. Bütün öğrencilerimize sınavlarında başarı dileklerimizle..
LYS MATEMATİK (LYS 1) 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Temel Kavramlar 0 1 1 3 1 2 0 1
Faktöriyel 0 1 0 0 0 1 1 1
Bölme ve Bölünebilme 0 0 1 0 1 1 2 1
OBEB-OKEK 1 1 1 1 0 1 1 1
Rasyonel Sayılar 0 0 0 0 0 1 1 1
Basit Eşitsizlikler 0 0 1 1 0 1 1 2
Mutlak Değer 1 0 0 0 2 0 1 1
Üslü İfadeler 0 0 0 2 2 1 2 1
Köklü İfadeler 0 1 2 1 1 1 1 2
Oran-Orantı 0 1 0 0 1 1 1 1
Fonksiyonlar 0 3 2 3 3 0 2 3
Kümeler 0 1 1 1 1 3 2 2
Perm-Komb-Binom-Olasılık 2 2 2 2 2 2 2 2
Polinomlar 2 1 2 2 3 2 3 3
Çarpanlara Ayırma 1 5 2 2 3 1 1 1
2.Dereceden Denklemler 1 0 0 1 1 1 1 1
Eşitsizlikler 3 1 0 0 0 0 0 2
Parabol 0 1 1 1 1 0 0 0
Mantık ve İspat Yöntemleri 0 0 0 0 1 0 0 2
Modüler Aritmetik 1 1 3 1 0 0 1 1
İşlem 1 1 1 1 0 1 0 0
Trigonometri 4 4 4 3 4 2 3 4
Karmaşık Sayılar 4 3 3 3 2 3 3 2
Logaritma 4 2 2 3 2 2 2 3
Toplam Çarpım Sembolü 1 2 1 0 0 2 1 1
Diziler-Seriler 2 2 2 2 2 2 2 1
Özel Tanımlı Fonksiyonlar 4 2 1 0 1 1 0 0
Limit ve Süreklilik 1 1 4 1 3 1 2 2
Türev ve Uygulamaları 9 6 6 6 5 7 6 5
İntegral 5 5 4 7 5 7 5 5
Konikler (Elips,Hiperbol,Parabol) 0 0 0 0 1 0 0 1
**Determinant-Matris 3 2 3 3 2 3 3 0
Matematik Toplamı 50 50 50 50 50 50 50 53
Geometri Toplamı  30 30 30 30 30 30 30 27
TOPLAM 80 80 80 80 80 80 80 80
Öğrencilerimizin sınavlara hazırlanırken YGS basamağında 9.ve 10.sınıf konularını içerecek biçimde hazırlanmaları LYS basamağı için de tüm matematik konularına hakim olarak hazırlanmaları iyi bir bölüm arzu edenler için kesinlikle gerekli olacaktır. Yukarıdaki soru ve ünite tablosu da incelenerek hangi konulardan daha yoğun soru geldiği analiz edilerek o konulara/ünitelere daha çok ağırlık verilmelidir. Planlı ve programlı bir şekilde zamanı verimli kullanarak çalışma yapılırsa başarıya ulaşmak kolay olacaktır. Bütün öğrencilerimize sınavlarında başarılar dileriz...

Yukarıdaki soru dağılımı tablosu incelendiğinde; bazı yıllarda soru olarak gelen Determinant ve Matris ünitesi; yenilenen (2012-2016) matematik müfredatında artık yer almamıştır.  Yenilenen matematik müfredatı ile birlikte 9.sınıf ve 10.sınıf matematik konuları, tüm okullarda ortak olarak okutulmaktadır. 11.sınıftan itibaren matematik konuları; ileri matematik ve temel matematik olarak ikiye ayrıldığından 11.sınıf ve sonrası kısım LYS matematik konuları için daha önemli hale gelmiştir. 

2012-2016 Kademeli Matematik Öğretim Programına Göre Ünite Dağılımı:
9.Sınıf Konuları: (Kümeler, Denklem ve Eşitsizlikler [Temel Kavramlar, Rasyonel Sayılar, Üstlü Sayılar, Köklü Sayılar, Mutlak Değer, Basit Eşitsizlikler, Denklem Çözme, Problemler], Fonksiyonlar, Üçgenler, Veri Sayma Olasılık, Vektörler) 
10.sınıf Konuları: (Permütasyon, Kombinasyon, Binom Olasılık,Fonksiyon Grafikleri, Ters ve Bileşke Fonksiyon, Doğrunun Analitik İncelenmesi, Dörtgenler ve Çokgenler,İkinci Dereceden Denklemler, Parabol, Karmaşık Sayılar, Polinomlar, Çember ve Daire, Katı Cisimlerin yüzey alanları ve hacimleri)
11.sınıf ileri matematik konuları (Mantık, Önermeler, İspat Yöntemleri, Bölme ve Bölünebilme, Modüler Aritmetik,Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri,Trigonometri,Logaritma,Diziler, Analitik Düzlemde Dönüşümler)
12.Sınıf İleri Matematik konuları (limit ve süreklilik, türev ve uygulamaları, integral alma ve alan hesabı, çemberin analitik incelenmesi,konikler, vektörler, permütasyon ve olasılık,uzayda doğru ve düzlem, dikdörtgenler prizması) Ayrıntılı müfredat bilgisi için tıklayınız.

Pisagor Teoremi ve İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.
Pisagor Teoremi İspatı: Pisagor teoreminin çok fazla ispatı yapılmıştır bunlardan en bilineni bir dik üçgenin kenarlarına bitişik olacak şekilde çizilen üç adet karenin alanları arasındaki eşitlikten, dik kenarlara bitişik olan karelerin alanları toplamı hipotenüse ait çizilen karenin alanına eşittir.


12.yy da yasamış Hintli Bhaskara'ya atfedilen Pisagor Teoremi ispatı için; bir kare çizilir. Kare içerisine dört adet dik üçgen çizilir. Bu üçgenlerin tamamının hipotenüsleri karenin kenarına gelecek şekilde çizilmesi önemlidir. Çizilen bu üçgenler birbiri ile benzer üçgenlerdir. Bu benzer üçgenlerden ikisini alttaki şekildeki gibi taşıyarak yeni şekil oluşturulup alanlar incelendiğinde ilk karenin alanı ile yeni oluşan şeklin alanı birbirine eşit olur. Buradan da pisagor teoreminin ispatı bulunur. 

 

Türk matematikçilerinden Hüseyin Demir'in daha ortaokul yıllarında iken(1931) keşfettiği ispat da Bhaskara'nın ispatına benzemekle birlikte daha ilgi çekici durumdadır.  Altta yer alan şekilde ABCDQP çokgenin alanı ile ABCDRS çokgenin alanı birbirine eşittir. Oluşan kare ve dikdörtgenlerin alanları teker teke yazılıp çokgenlerin alanları eşitlenirse pisagor teoremi ispatı ortaya çıkar. 
 

1876 yılında Amerika Devlet Başkanı James Garfield tarafından yapılmış bir Pisagor teoremi ispatı da diğer ispat şekillerine benzerliktedir. Birbirine eş iki adet dik üçgen çizilir. Bu üçgenlerin arasında kalan açı 90 derece olacak şekilde birbirine birleştirildiğinde oluşan ikizkenarlar için bir üçgen çizilirse çizilen bu yeni üçgen ikizkenar dik üçgen olur. Bütün bu üçgenlerin alanları toplamı oluşan tüm şeklin yani yamuğun alanına eşit olur ki bu da piasagor teoreminin ispatını verir.


Bir dik üçgen içerisinde hipotenüs ait bir dikme çizildiğinde oluşan iki küçük üçgen ve en baştaki büyük üçgen arasında açısal olarak bir benzerlik söz konusudur. Ayrı ayrı iki küçük üçgen büyük üçgenle benzer olduğundan benzerlik bağıntıları yazılırsa buradan da pisagor teoreminin ispatına ulaşılır.
 


Yine bir ABC üçgeni için aşağıdaki şekildeki gibi A noktasının karenin merkezine göre simetriği alınırsa ortaya çıkan şekildeki alanların arasındaki ilişkiden pisagor teoreminin ispatına ulaşılabilir.
 
Eş parçalama tekniklerine göre pisagor teoremi farklı yollardan da ispatlanabilir. Bunun için aşağıda diğer yöntemlerden farklı olarak bir başka ispat yöntemi daha sunulmuştur. Mantık yine aynı kareleri parçala alanlar arasındaki ilişkiyi incele ve sonuçta teoremin ispatına ulaşılır.
 
En son olarak pisagor teoreminin materyal geliştirme derslerinden bir model olarak tasarlanmış ispatını da sizlere video olarak sunuyoruz. 



Pisagor Teoreminin ayrıca vektörel olarak da ispatı yapılabilir. Bu ispat için vektörlerin iç çarpım özelliğini ve dik üçgenin taşıyıcı vektörlerini  bilmek yeterli olacaktır. Pisagor Teoremi vektörel ispatına ulaşmak için tıklayınız. 

Kaynakça:
Sinan Sertöz, Pisagor Teoreminin İspatı, Bilkent Üniversitesi, 
http://sertoz.bilkent.edu.tr/turk/pisagor.pdf 
Khan Academi Pisagor Teoremi İspatı http://www.khanacademy.org.tr/ZUaVQrcuQxw www.matematikciler.org
Kabasakal, Vedat, Çakımcı Tonay, Matematik 12,Nova Yay., Ankara,2016 

12.Sınıf Matematik Müfredatı

12.sınıf matematik müfredatı malum olduğu üzere kademeli olarak değiştirilmiş ve bu öğretim yılı 2016-2017 itibariyle de uygulamaya koyulmuştur. Matematik ve Geometrinin birleştirilerek tek ders haline getirilmesiyle birlikte konular buna göre düzenlenmiş olup İleri Matematik (6 saatlik) ve Temel Matematik (2 Saatlik) olarak iki farklı ders kategorisi haline getirilmiştir. Ben 12.Sınıf ileri Matematik müfredatı ve gözlemleyerek konuları ve içeriğine dair izlenimlerimi paylaşıyorum.

12.Sınıf İleri Matematik 4 üniteden oluşmakla birlikte konu bütünlüğü açısından oldukça geniş bir yelpazeye hitap etmektedir. 1.Ünite eski müfredatta yer alan matematik konularının tamamını ihtiva edecek şekilde bir bütünlük arz eder. 2.ve 4. ünitelerde eski geometri müfredatının konularını ihtiva edecek şekilde hazırlanmıştır. Hatta bu üniteler hazırlanırken katı cisimler konusundan sadece dikdörtgenler prizmasının anlatılmış olması eski müfredata göre geometri konusunda bir derece hafifleme olduğunu göstermekle birlikte bu seviyeye eski 11.sınıf geometri müfredatında yer alan elips hiperbol ve parabol konularını içeren konikler konusu ile çemberin analitik incelenmesini içeren analitik konuları ayrıca eklenerek bu haliyle müfredat dengelenmiştir. 3. ünite de permütasyon ve olasılık konuları her sene olduğu gibi bu seviyede de bir parça anlatılarak müfredat tamamlanmıştır.

1.Ünite: Türev
Konu Başlıkları: Limit Kavramı ve özellikleri, parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitleri,genişletilmiş reel sayılar kümesinde limit, Belirsizlikler (Burada sadece 0/0 ve ∞/∞ belirsizliği), süreklilik, 
Türev alma kuralları, türev ve süreklilik ilişkisi, toplam, fark,çarpım,bölüm türevleri, fiziksel yorum, bileşke fonksiyonun türevi,yüksek mertebeden türevler,teğet ve normal denklemleri,artan azalan fonksiyon aralıkları, mutlak maksimum ve minumum, maksimum ve minumum problemeleri, iç bükeylik ve dış bükeylik, asimptot kavramı ve grafikler, grafik çizimleri
İntegral, belirli ve belirsiz integral, belirli integral ile alan ilişkisi, integral alma kuralları,belirsiz integralin özellikleri, değişken değiştirme yöntemi, kısmi integrasyon, basit kesirlere ayırma yöntemi, alan hesabı ve doğrusal hareket problemleri (hacim hesabı yok)

2.Ünite: Geometri
Konu Başlıkları: Çemberin analitik incelenmesi,çember denklemi, Bir doğru ile bir çemberin birbirine göre durumları, çember üzerinden çizilen teğet ve normal denklemleri,
Elips, hiperbol ve parabolün analitik incelenmesi, elips özellikleri, parabol özellikleri, hiperbol özellikleri
Vektörler, iki vektörün iç çarpımı ve arasındaki açı,dik izdüşüm vektörü,vektör uygulamaları 
3.Ünite: Veri, Sayma ve Olasılık
Konu Başlıkları: Sayma, tekrarlı permütasyon,dairesel permütasyon,deneysel ve teorik olasılık ve bunlar arasındaki ilişki

2.Ünite: Geometri
Konu Başlıkları: uzayda doğru ve düzlem, uzayda doğru ve düzlemin birbirine göre durumları, temel diklik teoremi,üç dikme teoremi,uzayda iki düzlem arasındaki açı,düzlem üzerinde izdüşüm, bir doğrunun bir düzlemle yaptığı açı, düzlemsel şeklim bir düzlem üzerindeki izdüşümü ve izdüşüm alanı, katı cisimlerden dikdörtgenler prizması özellikleri, alan ve hacmi

Popüler Yayınlar

Sosyal Paylaşım

Icon Icon Icon Icon

Lütfen yazılarımızla ilgili yorum yapmaktan çekinmeyin. Kırık linkleri ve hatalı içerikleri mutlaka bize ilgili sayfa altında yorum yaparak bildiriniz. Blog sayfalarımızda ilginizi çekebilecek diğer yazılar için blog arşivimizi kullanabilirsiniz.

Son Yorumlar

Yararlı Linkler