Dörtgende Uzunluk Teoremleri ve İspatı

Etiketler :
Bir dörtgende köşegenler birbirini dik olarak keser ise dörtgenin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı birbirine eşit olur. Bütün konveks dörtgenlerde bu genel özelliktir. Kuralın geçerli olması için köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesi gerekir. Konkav dörtgende de aynı bağıntı geçerlidir. İspatı yapılırken dörtgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerde ayrı ayrı pisagor teoreminden yararlanılır.
** Bu şekildeki bir dörtgenin alanı da köşegenleri çarpımının yarısı kadardır. Köşegenler dik kesiştiği için Üçgende sinüs alan formülünden sin 90=1 olduğundan iki parça halinde üçgen toplamı olarak  verilen dörtgen düşünülürse; köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarsı olur.
Yukarıda verilen kenar teoreminin özel bir durumu olarak konveks bir çokgende kenar uzunlukları a,b,c,d ve köşegen uzunlukları e ve f olarak verildiğinde; bu şekil üzerinde köşegenlerin orta noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizildiğinde (x) bu doğru parçasının dört katının uzunluğu ile köşegenlerin karelerinin toplamı, dörtgenin kenar uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olur. Bu durum teoremin özel halidir. Şekli aşağıda gösterilmiştir. 

**Bir ABCD dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde ortaya çıkan dörtgen KLMN dörtgeni paralelkenardır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan bu KLMN dörtgeninde üçgenlerde benzerlikten yararlanarak orta taban özelliğinden iç bölgede oluşan KLMN dörtgenin çevresi büyük dörtgenin ABCD dörtgenin, köşegenlerinin toplamı kadar olur. 
ABCD dörtgenin köşegenleri uzunlukları birbirine eşit ise iç bölgede oluşan KLMN dörtgeni eşkenar dörtgen olur ki bu dörtgenin bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olur. ABCD dörtgenin köşegenleri dik kesişen bir dörtgen ise iç bölgede bu şekilde oluşan KLMN dörtgeni dikdörtgen olur. ABCD dörtgenin köşegenleri hem dik kesişen hem de köşegenleri birbirine eşit uzunlukta ise iç bölgede bu şekilde oluşan KLMN dörtgeni kare olur.

Dörtgenlerde alan özellikleri ile ilgili daha ayrıntılı bilgiyi sitemizde bulabilirsiniz. Dörtgenlerin alan bağıntılarına dair ispat ve diğer özelliklere ulaşmak için bağlantıyı tıklayabilirsiniz.

0 yorum:

Popüler Yayınlar

Sosyal Paylaşım

Icon Icon Icon Icon

Lütfen yazılarımızla ilgili yorum yapmaktan çekinmeyin. Kırık linkleri ve hatalı içerikleri mutlaka bize ilgili sayfa altında yorum yaparak bildiriniz. Blog sayfalarımızda ilginizi çekebilecek diğer yazılar için blog arşivimizi kullanabilirsiniz.

Son Yorumlar

Yararlı Linkler