Çarpanlara ayırma özdeşlik Modellemeleri

Çarpanlara ayırma sorularında sıklıkla karşılaşılan bazı özdeşlikler vardır. Matematikte özdeşlik, bilinmeyenin her değeri için doğru olan (açık önermeler) eşitliklerdir. Bir özdeşlik ifadesi, içerisinde bulunan değişkenlerin (bilinmeyenlerin) aldığı tüm gerçek sayı değerleri için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik  ifadesi sağlanmakta iken denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. Bazı denklemlerin de doğruluğunu sağlayacak herhangi bir reel sayı bulunamaz. Yani bir denklemin çözüm kümesi, ya vardır ya da yoktur. Özdeşlikte ise bilinmeyenin yerine hangi sayı yazılırsa yazılsın hep sağlanır, sonuç doğrulanır.  

Tam kare özdeşliği, iki kare farkı özdeşliği ve küp açılımı gibi özdeşlikler, matematikte en sık kullanılan özdeşliklerden bazılarıdır. Bu özdeşliklerin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ile elde edilebilir. Aşağıda tam kare özdeşliği, iki kare farkı özdeşliği ve küp açılımı gibi özdeşliklerin matematiksel modellemeleri verilmiştir.

Küp açılımı özdeşlikleri ve modellemesi

Küp açılımları ifade edilirken binom açılımı ve üç boyutlu cisimlerin hacim özelliklerinden yararlanılır. Küp; bütün kenarları birbirine eşit olan taban ve yan yüzeyleri kare olan üç boyutlu, kapalı bir geometrik cisimdir. Bir küpün hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çapımı ile bulunur. 

(x - y)³ = x³ - 3.x².y +3.x.y²-y³ 

veya 

(x +y)³ = x³ +3.x².y +3.x.y²+y³ 

Binom katsayıları belli olan (x - y)³ ve (x + y)³ parantez içindeki x ve y değişkenlerinin azalan kuvvetlerine göre açılmış ifadelere "küp açılımı" adı verilir. 

Küp açılımı ifadesi, binom açılımının özel kuvvete göre 3.dereceden açılımıdır. Küpler farkı ve küpler toplamı gibi özdeşliklerin modellemeleri gösterilirken; herhangi bir küp üzerinde uygun matematiksel modelleme yapılır. Aşağıda küp özdeşliklerinin matematiksel modellemeleri verilmiştir.

Tam kare özdeşliği ve modellemesi

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken (bilinmeyen) yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik ifadesi doğru olurken, denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. 

Tam kare özdeşliği, iki farklı değişkenin (terimin) toplamı veya farkının karesi olarak tanımlanabilir. İki terim toplanıp, bu toplamın karesi alınarak elde edilen sonuç ile bu açılımdaki terimlerin ayrı ayrı karelerinin alınarak toplanması ve bu toplama iki teriminin çarpımının iki katının ilave edilmesi ile elde edilecek olan sonuç, birbirine eşit olmaktadır.

(x + y)² = x² + 2.x.y + y²   ve  

(x - y)² = x² - 2.x.y + y² ifadelerine tamkare özdeşliği denir. Bu özdeşliğin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ve cebirsel işlemlerle gösterilebilir. Aşağıda tam kare özdeşliğinin bir matematiksel modellemesi verilmiştir.

İki kare farkı özdeşliği ve modellemesi

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik ifadesi doğru olurken, denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. 

İki kare farkı özdeşliği: iki terimin karelerinin farkı olarak ifade edilir. Bu özdeşlikteki terimlerin ayrı ayrı kareleri alınıp farkı bulunursa; bu sonuç, terimlerin birbiriyle toplamı ile terimlerin farkının beraber çarpımının sonucuna eşit olur. Yani a²- b ²= (a-b).(a+b) olarak ifade edilen bu özdeşliğe, "iki kare farkı özdeşliği" denir.  İki kare farkı özdeşliği, a ve b sayılarına verilebilecek her gerçek sayı için doğrulanır.

Bu özdeşliğin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ve cebirsel işlemlerle elde edilebilir. Aşağıda iki kare farkı özdeşliğinin bir matematiksel modellemesi verilmiştir.

Tam Değer Fonksiyonu

x, bir gerçek (reel) sayı olmak üzere, x'ten büyük olmayan en büyük tamsayıya x'in tam değeri denir. Bunu ifade eden fonksiyona tam değer fonksiyonu denir. x reel sayısı, ardışık iki tamsayı arasında değişirken, bu tamsayılardan daha büyük olmayan tamsayı, x'in tam değerine eşit olur. Bütün tamsayıların tam değeri kendisine eşittir. Tam değer fonksiyonu, [[x]] işareti ile gösterilir. Tam değer fonksiyonu bazı matematik kitaplarında "kısım fonksiyonu" ismiyle de kullanılmıştır.

Signum (İşaret) Fonksiyonu

Reel sayıların bir alt kümesinden Reel sayılara tanımlanan bir f fonksiyonu için, fonksiyonun 0'dan büyük olduğu yerlerde değerini 1'e eşleyen, fonksiyonun 0'a eşit olduğu yerlerde fonksiyonun değerini 0'a eşleyen ve fonksiyonun 0'dan küçük olduğu yerlerde fonksiyonun değerini -1'e eşleyen fonksiyona, signum fonksiyonu denir. sgn ile gösterilir. signum olarak okunur. Signum fonksiyonun kritik noktaları, f(x)=0 denkleminin kökleridir. Signum fonksiyonun grafiği çizildiğinde, denklemin kökleri olan bu kritik noktalarda, grafik sıçrama yapar.