Koşullu Önerme

Koşullu önerme, mantıkta bir şarta bağlı olarak kurulan önermelerdir. Şartın gerçekleşme durumuna göre koşullu önermenin doğruluk durumu değişiklik gösterir. p → q şeklinde yazılır ve şu anlama gelir: "p doğruyken q önermesi yanlış ise bileşik önerme yanlış, diğer tüm durumlarda önerme doğru olur. "Yağmur yağarsa yerler ıslanır" önermesi bir koşula bağlı olduğundan ise bağlacı ile kurulmuş bir bileşik önermedir. "yağmur yağıyorsa" (p), "yerler ıslaktır" (q) gibi iki ayrı önerme birbirine bağlaçla (ise) bağlanmıştır. "yağmur yağıyorsa" (p ≡ 1) "yerler ıslanmaz" (q≡0) durumu mümkün olmadığından yani 1 → 0 ≡ 0 olacağından bu durumda bileşik önerme yanlış olur. Bunun harici tüm durumlarda önerme doğru olur.

 Tabloda verilen tüm durumları inceleyelim.

1 → 1 yağmur yağıyor, yerler ıslanıyor → Beklendiği gibi, önerme doğru 

1 → 0 Yağmur yağıyor ama yerler ıslanmıyor → Beklenen olmadı, önerme yanlış.

0 → 1 Yağmur yağmıyor ama yerler başka bir sebeple ıslanmış → Yine de önerme doğru sayılır.

0 → 0 Yağmur yağmıyor, yerler ıslanmıyor → Koşul gerçekleşmediği için önerme doğru kabul edilir.

---

Koşullu önermelerin mantığında, sadece koşul gerçekleşip sonuç gerçekleşmezse önerme yanlıştır. Bunun (1 → 0 ≡ 0) haricindeki tüm durumlarda önerme doğru olur.  Ayrıca bir koşullu önermenin karşıt tersi de kendisine doğruluk durumu bakımından denk olur. Örneğin "Eğer yağmur yağarsa, zemin ıslanır." (A → B) "Eğer zemin ıslanmıyorsa, yağmur yağmamıştır." (B^' →A^') Bu iki cümle birbirinin denk önermeleridir (A → B) ≡ (B^' →A^') çünkü her durumda, biri doğruysa, diğeri de doğru olur; biri yanlışsa, diğeri de yanlış olur. 

Bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi bulunabilir. Buna göre "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." (p → q) önermesini inceleyelim: 

(p → q): "Yağmur yağarsa yerler ıslanır."

Koşullu Önermenin karşıtı (Converse) (q → p)
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde iki önermenin yerleri değiştirilir. Yani sonuç ile koşulun yerleri değişir.  Karşıt önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

(q → p): "Yerler ıslanırsa, yağmur yağar."

Koşullu Önermenin tersi ((Inverse) (p' → q')
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin yerleri değiştirilmeden olumsuzları alınır. Yani her iki tarafın sadece değili alınır. Ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

 (p' → q'): "Yağmur yağmazsa, yerler ıslanmaz." 

Koşullu Önermenin karşıt tersi (Contrapositive) (q' → p') "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin hem yerleri değiştirilir hem de olumsuzları alınır.  Karşıt ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğerdir. Bu önerme, orijinal önerme ile mantıksal olarak denk kabul edilir..Yani biri doğruysa diğeri de kesinlikle doğrudur. (p → q) ≡ (q^' →p^')

(q' → p') "Yerler ıslanmazsa, yağmur yağmaz."

"İse" bağlacı ile kurulmuş bi koşullu önerme "veya" bağlacı kullanılarak da yazılabilir. Her ne kadar günlük kullanımda böyle bir kullanım yaygın olmasa da mantıksal açıdan (p → q) ≡ (p^' ∨ q) önermesi birbirine doğruluk durumu bakımından denktir. "Eğer çalışırsan, başarılı olursun." (p → q) önermesi (p: çalışırsın, q: başarılı olursun) "Veya" bağlacıyla "Çalışmazsan veya başarılı olursun." (p' ∨ q) şeklinde yazılır.

"Ve, Veya, Ya da" Bağlaçları

"VE" BAĞLACI: (mantıksal olarak ∧ sembolü ile gösterilir), iki önermenin birlikte doğru olması durumunda doğru olan bir mantıksal bağlaçtır. Başka bir deyişle, A ∧ B ifadesi (A ve B), her ikisi de doğruysa doğru olur; ancak biri bile yanlışsa, tüm ifade yanlıştır. "Ve" bağlacı, doğru bir sonucu elde etmek için her iki hükmün de yerine gelmesi gerekir. Bu bağlacın kullanıldığı bir bileşik önerme, yalnızca her iki önerme de doğruysa doğru olur. Bu nedenle kesin ayrım yapılması gereken durumlarda sıklıkla kullanılır.

"Evin içinde ışık yanıyor ve dışarıda güneşli bir hava var."
(Bu cümlede, "ışığın yanması" ve "dışarıda güneşli bir hava olması" koşulları, her ikisi de doğru olduğunda, tüm önerme doğru olur.)

"Bugün yağmur yağıyor ve hava -4 derece."
(Bu örnekte, hem "yağmur yağması" hem de "havanın -4 derece olması" durumunun doğru olması durumunda tüm önerme doğru olur.) 

Önerme Nedir?

Mantıkta en küçük birim önermedir. Önerme, mantığın temel yapı taşlarından biridir ve genellikle sembolik mantıkta incelenir. Önerme, mantıkta, doğru ya da yanlış olabilen, bir düşünceyi ifade eden ve bir değer taşıyan cümle veya ifadedir. Başka bir deyişle, bir önerme, belirli bir durumu veya gerçeği belirten bir ifadedir ve bu ifade doğru ya da yanlış olabilir. Ancak bir önerme; soru, istek, emir ya da ünlem cümlesi gibi doğruluğu değerlendirilemeyen bir şey olamaz. “Bugün hava güneşlidir.” bir önermedir, çünkü bu ifade herhangi bir gerçekliğe karşılık gelir ya da gelmez; bu da onun doğru ya da yanlış olması anlamına gelir. Ancak “Merhaba!”, “Lütfen kitabı uzatır mısın?” gibi ifadeler bir önerme değildir, çünkü bu cümleler, hüküm belirtmezler ve doğruluk değeri taşımazlar. Bir önermeyi oluşturan şey, anlamının açık ve çelişkisiz olmasıdır. Belirsiz, çok anlamlı ya da mecazi dil kullanmak mantık için sorunludur, çünkü mantık olabildiğince net, tanımlı ve kesin yargılarla çalışır.

Mantık, düşüncenin içeriğiyle değil, onun biçimiyle, yani yapısıyla ilgilenir. Bir düşünce doğru olabilir ama mantıklı olmayabilir; ya da bir düşünce mantıksal olarak kusursuz olabilir ama içerdiği bilgi gerçek dışı olabilir. Mantık bu iki alanı  birbirinden ayırır: doğruluk (truth) ve geçerlilik (validity). Mantıkta "Geçerlilik", bir düşünce zincirinde yani çıkarımda, öncüller doğru olduğunda sonucun da zorunlu olarak doğru olması hâlidir. Yani, eğer önermeler doğruysa ve aradaki bağ mantıksal kurallara uygunsa, sonuç tartışmasız biçimde doğrudur. Bu durumda çıkarım geçerlidir, çünkü biçimsel yapısı sağlamdır. 

Mantıkta "Doğruluk" (veya gerçeklik), bir önermenin gerçek dünyadaki gerçek durumu yansıtıp yansıtmadığı ile ilgili bir kavramdır. Başka bir deyişle, bir önerme doğru olduğunda, onun içeriği gerçek dünya ile uyumludur. Eğer bir önerme gerçek dünyada doğruysa, doğru olarak kabul edilir; eğer gerçek dünyada yanlışsa, yanlış olarak değerlendirilir. Örneğin, "2 + 2 = 4" önermesi doğru bir önermedir, çünkü bu matematiksel bir gerçeği yansıtır. Örneğin, "Ay, Mars'ın uydusudur." önermesi ise yanlış bir önermedir.

Mantık ve Tarihçesi

Mantık, insan zihninin düşünsel işleyişini; doğruluk ve yanlışlık, tutarlılık ve çelişki gibi kavramlar çerçevesinde sistematik, nesnel ve tutarlı bir yaklaşımla ele alan bir disiplindir. Kuramsal ve uygulamalı yönleri bir arada barındıran mantık, felsefe, matematik, dilbilim, bilişim ve bilimsel düşüncenin metodolojik temellerini paylaşan köklü bir bilgi alanıdır. Mantık, insan zihninin kavramsal düşünme, değerlendirme ve çıkarım üretme yetilerinin yapısını ve işleyiş ilkelerini sistematik bir biçimde inceleyen disiplinler arası bir bilgi alanıdır. Doğru ile yanlış, tutarlılık ile çelişki gibi temel karşıtlıklar üzerinden zihinsel süreçlerin geçerlilik ve doğruluk ölçütlerini sorgular. Akıl yürütme süreçlerinin hangi ilkelere dayanarak geçerli ve doğru sayılabileceğini belirlemeyi amaçlar. Bu bağlamda, mantık yalnızca soyut akıl yürütmenin kurallarını belirlemekle kalmaz; aynı zamanda bilgi üretimi, problem çözme ve eleştirel düşünme gibi bilişsel faaliyetlerin temelini oluşturur. 

Mantık, kuramsal yönüyle formel sistemler ve sembolik dil yapılarını araştırırken; pratik yönüyle gündelik yaşamda, bilimsel yöntemlerde ve teknolojik uygulamalarda geçerli akıl yürütme biçimlerinin analizine olanak sağlar. Mantık, felsefenin epistemoloji ve ontolojiyle kesişen alanlarında temellenirken; matematikte ispat kuramı ve model teorisiyle, dilbilimde anlamsal yapıların çözümlenmesiyle, bilişimde algoritmik düşünceyle ve bilimsel metodolojide deneysel verilerin akılcı yorumlanmasıyla iç içe geçmiştir. Bu çok yönlü yapısıyla mantık, yalnızca bir düşünme aracı değil, modern bilginin inşasında merkezi bir epistemolojik zemin sunar.İnsan zihni, yalnızca bilgi toplamakla kalmaz; aynı zamanda bu bilgileri sınıflandırır, ilişkilendirir ve yeni bilgiler türetir. Mantık, bu türetim süreçlerinin geçerliliğini analiz eder.  

Mantığın temel inceleme alanları, önermelerin ve çıkarımların doğru ya da yanlış olma durumları ile bir düşünce sisteminin kendi içinde tutarlılık taşıyıp taşımadığıdır. Bu karşıtlıklar, mantıksal değerlendirmede ölçüt işlevi görür. Klasik mantık, sembolik mantık, çok-değerli mantık gibi yapılar üzerinden düşünce biçimlerinin formelleştirilmesine yardım eder. Gündelik akıl yürütme, bilimsel hipotez testleri, yapay zekâda karar alma algoritmaları vb. alanlara uygulanabilirlik açısından mantıksal süreçler önemli yer tutar. Mantık bilimi, Felsefe, Matematik, Dil Bilim, Bilgisayar ve Bilişim gibi alanlarda uygulama alanlarına sahiptir.  

Mantık Tarihçesi: İlk sistemli mantık olmasa da, doğa filozofları (örneğin Herakleitos, Parmenides) evrenin yapısını açıklarken mantıksal çıkarımlara başvurmuşlardır. Sokrates, mantıksal sorgulama (sokratik yöntem) yoluyla doğru bilgiye ulaşılabileceğini savunmuş ve eleştirel düşüncenin temellerini atmıştır. Aristoteles (M.Ö. 384–322), mantığı bağımsız bir disiplin haline getirmiştir. Aristoteles'in “Organon” adlı eserinde kıyas (sillojizm) "Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. Öyleyse Sokrates ölümlüdür." kıyas yöntemini sistemleştirmiştir. Kategoriler, önermeler, tümdengelim gibi birçok temel mantık kavramları Aristoteles’e dayanır. Aristoteles’in mantığı yaklaşık 2000 yıl boyunca Batı düşüncesine yön vermiştir. 

Helenistik ve Roma Döneminde "Stoacılar" (özellikle Chrysippos), mantığı daha sembolik hale getiren "önermeler mantığını" geliştirmişlerdir. Aristoteles’in düşünceleri Roma’da Boethius tarafından Latinceye çevrilmiştir. İslam düşünürlerinden Farabi, İbn Sina ve İbn Rüşd’ün, mantığı felsefi düşünceyle bütünleştirdiği ve medrese eğitiminde temel bir bilim dalı haline getirdiği dile getirilmiştir. İbn Sina’nın "işraki mantık" ve "burhan" (kanıtlama) kavramları, bu dönemde delil getirme ve ispatlama açısından önemli olmuştur. Aynı dönemlerde Batı dünyasında Skolastik düşünürlerin çoğu, mantığı dini argümanlara yerleştirmiştir. Özellikle Thomas Aquinas mantığı teolojik tartışmalarda çok sık kullanmıştır. 

Yeni Çağ’da Descartes ve Leibniz, rasyonel düşünceye büyük önem vermişlerdir. Bu bağlamda Leibniz’in evrensel bir mantık dili tasarladığı, mantığın matematiksel bir biçime dönüştürülmesini sağlamıştır. Kant, mantığı zihnin yapısal kategorileriyle ilişkilendirip mantık ile bilginin temellerini sorgulamaya açmıştır. 19. yüzyılda George Boole’un mantığı matematiksel formlara dökerek sembolik bi dil ile önemeler mantığını ifade etmiş, Gottlob Frege de günümüzdeki çağdaş mantığın temellerini atmıştı. Gottlob Frege, mantığın dilsel çözümlemelere dayalı sistematik bir yapı özelliğini ortaya çıkarmıştır. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, tüm matematiği mantıksal ilkelerle temellendirmeye çalışarak farklı bir yaklaşım sergilemişlerdir. 20. yüzyılda Wittgenstein’ın, dil ile mantık arasında sıkı bir ilişki kurarak mantığın dilsel anlam çözümlemeleriyle birleştirip mantık ve dil arasındaki etkileşimleri incelemiştir. Alan Turing ise mantığı bilgisayar bilimine yerleştirerek, mantığın bilişimdeki önemini ortaya koymuştur.

 

Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Önerme nedir?

"Ve, Veya, Ya da" Bağlaçları

Koşullu Önerme

Çift yönlü Koşullu Önerme

Mantık doğruluk tabloları

Sembolik mantık 

Verilerin grafikle gösterimi

İstatistiksel araştırma sürecinde belli bir soru etrafında toplanan veriler, düzenlenerek analize hazır hâle getirilir. Veri toplama planı yapma ve verileri analize hazır hâle getirme süreci, oluşturulan istatistiksel araştırma sorularına göre yapılmalıdır. Toplanan veriler analiz edildikten sonra bulguların yorumlanması ve gösterilmesi (sunumu) aşamasına geçilir. Verilerin gösteriminde çizgi, sütun, daire, kutu, serpme, histogram ve nokta dağılımı gibi grafikler kullanılır. 

Merkezi Yayılım Ölçüleri

Merkezi Yayılım Ölçüleri: Bir veri grubundaki elemanların, merkezi eğilim ölçüsü etrafındaki yayılımını gösteren yani merkezi eğilim ölçüsüne yakın olup olmadığını belirten değerlerdir.

1)Açıklık (A): Bir veri grubundaki en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır.

Örnek: 2,4,6,7,10,14,16,17,17,18 veri grubunun açıklığını bulalım.

Veri grubundaki en büyük değer 18, en küçük değer 2 olduğundan veri grubunun açıklığı 18-2=16 olur.

2)Çeyrekler Açıklığı (ÇA): Bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan) veri grubunu alt ve üst iki gruba ayırır. Alt ve üst grubun her birinin ortancasına sırasıyla alt çeyrek ve üst çeyrek denilir. Üst çeyrek ve alt çeyrek arasındaki farka çeyrekler açıklığı denir.

Örnek: 2,4,6,7,10,14,16,18,20 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.

Önce grubun medyanını bulalım. 2,4,6,7,10,14,16,18,20 Grubun medyanı 10’dur. Medyanın üst ve alt gruplarının medyan değerlerini bulalım. Alt grup için: 2,4,6,7 alt çeyrek (4+6)/2=5 Üst grup için: 14,16,18,20 üst çeyrek (16+18)/2=17 Alt çeyrek ve üst çeyreklerin farkını bulalım. 17-5=12 veri grubunun çeyrekler açıklığı 12 olur.

Merkezi Eğilim Ölçüleri

İstatistiksel araştırma sürecinde üçüncü aşama verilerin analizi ve yorumlanması; toplanan veriler düzenlendikten sonra analiz aşamasına geçilir. Analiz sonucu elde edilen bulgular, tablo ve grafiklerle gösterilerek araştırma sorusu kapsamında yorumlanır.

Ki-kare (x²) testi hesaplaması

İki yönlü çapraz tablolar, istatistiksel test ve analizler için temel oluşturur. İki kategorik değişkende  en yaygın olarak kullanılan testlerden biri Ki-kare testidir. Bu test, iki kategorik değişkenin bağımsız olup olmadığını incelemek için kullanılır.

Ki-kare (x²) testi, iki kategorik değişken arasındaki ilişkinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını değerlendirmek amacıyla kullanılan temel bir istatistiksel yöntemdir. Bu test, gözlenen frekanslar ile değişkenlerin bağımsız olması durumunda beklenen frekanslar arasındaki farkları inceleyerek, değişkenlerin birbirinden etkilenip etkilenmediğini ortaya koyar. Ki-kare testi, özellikle nominal veya ordinal ölçekteki kategorik değişkenler için uygundur ve araştırmacılara değişkenler arasında ilişki olup olmadığını güvenilir bir şekilde gösterir.
Testin hesaplama mantığı, her hücredeki gözlenen frekans ile beklenen frekans arasındaki farkın karesinin, beklenen frekansa bölünmesi ve tüm hücreler için bu değerlerin toplamının alınması şeklindedir. Beklenen frekanslar, iki değişkenin bağımsız olması durumunda, satır ve sütun toplamlarının çarpımı ile genel toplamın bölünmesi yoluyla hesaplanır.  Örneğin, bir okulda erkek ve kız öğrencilerin spor yapma durumunu inceleyen bir araştırmayı ele alalım. Bu araştırmaya göre erkek öğrencilerden 30’u spor yaparken 20’si yapmamaktadır; kız öğrencilerden ise 25’i spor yapmakta 25'i de spor yapmamaktadır. Bu veriler çaproz tabloda gösterilir. Bu tabloda her hücre için beklenen frekans hesaplanır; örneğin erkek ve spor yapanlar için beklenen frekans, toplam erkek sayısı ile toplam spor yapan sayısının çarpımının genel toplamın bölümüyle bulunur. Gözlenen ve beklenen frekans arasındaki farklar, test istatistiğine katkıda bulunur. Tüm hücreler için hesaplamalar yapıldıktan sonra bulunan x² değeri, istatistiksel tablolar veya yazılımlar aracılığıyla p-değeri ile karşılaştırılır. P-değeri belirlenen anlamlılık düzeyinden (genellikle 0,05) küçük ise, iki değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olduğu sonucuna varılır; aksi takdirde değişkenler bağımsız kabul edilir. 
Ki-kare testi, eğitim araştırmalarında öğrencilerin performans ve tercihleri, sağlık araştırmalarında hastalık durumu ile risk faktörleri, sosyal bilimlerde demografik özelliklerle davranış ilişkilerini incelemek gibi pek çok alanda kullanılmaktadır. Bu yönüyle, kategorik verilerin analizi ve ilişkilerin değerlendirilmesi için güvenilir ve etkili bir yöntem olarak kabul edilir.

Konuyu bir çapraz tablo üzerinden basit bir örnekle açıklayalım ve Ki kare hesaplamasını bir hücre üzerinden yapalım:

İki yönlü çapraz tablolar

İki yönlü çapraz tablo, diğer bir adıyla iki boyutlu kontenjans tablosu, istatistiksel araştırmalarda iki kategorik değişken arasındaki ilişkiyi görselleştirmek ve analiz etmek için kullanılan temel araçlardan biridir. Bu tablolar, bir değişkenin kategorilerini satırlarda, diğer değişkenin kategorilerini ise sütunlarda gösterir ve her hücrede iki değişkenin kesişimine ait gözlem sayısı, yani frekans değeri yer alır. Böylece, araştırmacılar değişkenler arasındaki olası ilişkileri hem sayısal hem de görsel olarak değerlendirme imkânı bulurlar. 

İki yönlü çapraz tabloların en önemli özelliklerinden biri, iki kategorik değişken arasındaki ilişkiyi ortaya koymalarıdır. Tabloyu inceleyerek hangi kategorilerin birlikte daha sık veya daha az gözlendiği görülebilir. Örneğin, bir araştırmada cinsiyet ile spor yapma durumu arasındaki ilişki inceleniyorsa, tablo sayesinde erkeklerin ve kadınların spor yapma alışkanlıkları karşılaştırılabilir. Hücrelerde sadece gözlem sayıları değil, aynı zamanda yüzde veya oran değerleri de gösterilebilir. Bu, özellikle farklı büyüklükteki grupların karşılaştırılmasında anlamlı bilgiler sağlar. Örneğin, bir okulda erkek ve kız öğrencilerin spor yapma oranlarını karşılaştırmak istiyorsanız, hücrelerdeki yüzdeler gruplar arasındaki farklılıkları daha net bir biçimde gösterir. 

Çapraz tabloların bir diğer avantajı, verileri görselleştirerek yorumlamayı kolaylaştırmasıdır. Tablodaki sayısal dağılımlar, hangi kategorilerin birbirine bağlı olabileceğini görsel olarak gösterir ve araştırmacının ilişkileri hızlıca değerlendirmesine imkân tanır. Örneğin, erkek ve kadınlar arasında spor eğilimleri hakkında bir araştırma kapsamında toplanan verilere göre oluşturulan çapraz tabloya bakarak, erkeklerin spor yapma eğiliminin kadınlara göre daha yüksek veya düşük olduğunu gözlemlemek mümkündür. Tabloya dönüştürülen veriler arasında hızlı bir şekilde istatistiksel analiz ve yorumlama yapılabilir. Çapraz tablo sayesinde araştırmacı, “Erkekler mi, kadınlar mı daha fazla spor yapıyor?” gibi soruları hızlıca inceleyebilir ve istatistiksel analiz yapabilir. 

İki yönlü çapraz tablolar, istatistiksel test ve analizler için temel oluşturur. İki kategorik değişkende en yaygın olarak kullanılan testlerden biri Ki-kare testidir. Bu test, iki kategorik değişkenin bağımsız olup olmadığını incelemek için kullanılır. Çapraz tabloda yer alan frekanslar ve hücrelerdeki gözlemler, Ki-kare testi hesaplamalarına temel teşkil eder ve araştırmacıya değişkenler arasındaki ilişkinin anlamlı olup olmadığını gösterir. 

Ki-kare (x²) testi, iki kategorik değişken arasındaki ilişkinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını değerlendirmek amacıyla kullanılan temel bir istatistiksel yöntemdir. Bu test, gözlenen frekanslar ile değişkenlerin bağımsız olması durumunda beklenen frekanslar arasındaki farkları inceleyerek, değişkenlerin birbirinden etkilenip etkilenmediğini ortaya koyar. Ki-kare testi, özellikle nominal veya ordinal ölçekteki kategorik değişkenler için uygundur ve araştırmacılara değişkenler arasında ilişki olup olmadığını güvenilir bir şekilde gösterir.
Testin hesaplama mantığı, her hücredeki gözlenen frekans ile beklenen frekans arasındaki farkın karesinin, beklenen frekansa bölünmesi ve tüm hücreler için bu değerlerin toplamının alınması şeklindedir. Beklenen frekanslar, iki değişkenin bağımsız olması durumunda, satır ve sütun toplamlarının çarpımı ile genel toplamın bölünmesi yoluyla hesaplanır.  Örneğin, bir okulda erkek ve kız öğrencilerin spor yapma durumunu inceleyen bir araştırmayı ele alalım. Bu araştırmaya göre erkek öğrencilerden 30’u spor yaparken 20’si yapmamaktadır; kız öğrencilerden ise 25’i spor yapmakta 25'i de spor yapmamaktadır. Bu veriler çapraz tabloda gösterilir. Bu tabloda her hücre için beklenen frekans hesaplanır; örneğin erkek ve spor yapanlar için beklenen frekans, toplam erkek sayısı ile toplam spor yapan sayısının çarpımının genel toplamın bölümüyle bulunur. Gözlenen ve beklenen frekans arasındaki farklar, test istatistiğine katkıda bulunur. Tüm hücreler için hesaplamalar yapıldıktan sonra bulunan x² değeri, istatistiksel tablolar veya yazılımlar aracılığıyla p-değeri ile karşılaştırılır. P-değeri belirlenen anlamlılık düzeyinden (genellikle 0,05) küçük ise, iki değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olduğu sonucuna varılır; aksi takdirde değişkenler bağımsız kabul edilir. 
Ki-kare testi, eğitim araştırmalarında öğrencilerin performans ve tercihleri, sağlık araştırmalarında hastalık durumu ile risk faktörleri, sosyal bilimlerde demografik özelliklerle davranış ilişkilerini incelemek gibi pek çok alanda kullanılmaktadır. Bu yönüyle, kategorik verilerin analizi ve ilişkilerin değerlendirilmesi için güvenilir ve etkili bir yöntem olarak kabul edilir.

Konuyu bir çapraz tablo üzerinden basit bir örnekle açıklayalım ve Ki kare hesaplamasını bir hücre üzerinden yapalım:

Bu örnekteki bütün hücreler için geçerli ki-kare testi sonuçları için ayrıntılı olarak aşağıdaki bağlantıyı inceleyebilirsiniz: 

Bkz. Ki-Kare (x²) testi Hesaplaması

 

Örnekte verilen çapraz tabloda satırlar cinsiyeti (Erkek, Kadın), sütunlar ise spor yapma durumunu (Yapan, Yapmayan) göstermektedir. Her hücre, ilgili kategorilerin kesişimindeki gözlem sayısını ifade etmektedir. Örneğin, tablodaki “Erkek – Spor Yapan” hücresinde yer alan 30 değeri, araştırmaya katılan 50 erkek öğrenciden 30’unun spor yaptığını göstermektedir. Bu tablo sayesinde araştırmacı, “Erkekler mi, kadınlar mı daha fazla spor yapıyor?” gibi soruları hızlıca inceleyebilir ve aynı zamanda Ki-kare testi ile iki değişken arasındaki ilişkinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını değerlendirebilir. Sonuç olarak, iki yönlü çapraz tablolar, iki kategorik değişken arasındaki ilişkileri sistematik ve anlaşılır bir şekilde sunmak, frekans ve oran dağılımlarını gözlemlemek ve istatistiksel analizler için temel oluşturmak açısından oldukça değerli araçlardır. Bu tablolar, araştırmacılara hem görsel hem sayısal veri analizi imkânı sunarak bilimsel çalışmalarda güvenilir ve açıklayıcı sonuçlar elde etmelerini sağlar.

 

Göreli sıklık tablosu 

Çapraz tablolarda toplam frekanslara göre izafi %'lik değerler (Göreli sıklık değerleri) hesaplanabilir.  Göreli sıklık tablosu, bir veri setindeki her bir kategorinin toplam gözlem sayısına göre oranını veya yüzdesini gösteren tablodur; başka bir deyişle, her kategorinin veri setindeki ağırlığını veya payını görselleştirir. Toplam gözlem sayısı 1 veya yüzde 100 olarak kabul edilir ve her hücrede sadece frekans değil, frekansın toplam içindeki oranı yer alır. Kategorik veriler için yaygın olarak kullanılır ve verilerin dağılımını daha net gösterir. Yukarıdaki spor örneğinde toplam gözlem sayısına göre erkeklerin spor yapma oranı 0,30 (%30), erkeklerin spor yapmama oranı 0,20 (%20), kadınların spor yapma oranı 0,25 (%25) ve kadınların spor yapmama oranı 0,25 (%25) şeklindedir. Yani Toplam öğrencilere göre erkeklerin göreli sıklık değeri 30 ÷ 100 = 0,30 yaklaşık %30 Toplam öğrencilere göre kadınların göreli sıklık değeri 20 ÷ 100 = 0,20 yaklaşık %20 Toplam öğrencilere göre erkeklerin göreli sıklık değeri 25 ÷ 100 = 0,25 yaklaşık %25 Toplam öğrencilere göre kadınların göreli sıklık değeri 25 ÷ 100 = 0,25 yaklaşık %25 olur. Aynı şekilde Spor yapanlara göre erkeklerin göreli sıklık değeri 30 ÷ 55 ≈ 0,545 yaklaşık %54,5 Spor yapanlara göre kadınların göreli sıklık değeri 25 ÷ 55 ≈ 0,455 yaklaşık %45,5 Spor yapmayanlara göre erkeklerin göreli sıklık değeri 20 ÷ 45 ≈ 0,444 yaklaşık %44,4 Spor yapmayanlara göre kadınların göreli sıklık değeri 25 ÷ 45 ≈ 0,556 yaklaşık %55,6 olur.