Felix Klein ve Klein Şişesi

Yüzeyleri en basit anlamda incelemek için yüzeyi, verilen bir koordinat sistemi için belirli şartlardaki bir denklemi sağlayan noktalar kümesi olarak alabiliriz. İncelemede kolaylık sağlaması açısından bazı aynı özellikleri gösteren yüzeyleri aynı sınıflara koyarak bir sınıflandırmaya gidelbiliriz. Bu sayede Möbius şeridinin Öklid uzayındaki özel bir gösterilimi ile kısıtlı kalmayacağını ve etrafımızda var olan Möbius şeritlerini de görmeyi başarabiliriz.

 

Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir (Bakınız şekil 1). İlk olarak 1861′de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır, bunun için de yüzeyin yönlü üçgenler ile kaplı olduğunu varsaymış, fakat tüm yüzeyin aralarında uyumlu yönlü üçgenler ile kaplanamayacağını göstermiştir. Möbius şeridi gibi tek yüzlü olan Klein şişesi, kapalı bir yüzeydir. Bir silindirin sınır çemberlerini farklı yönlerde birleştirirsek elde edeceğimiz şekil bir Klein şişesidir. Bu Klein şişesi Euclid geometrisinde maalesef gösterilemez. Üç boyutlu Öklid uzayında bu şişeyi gösterebilmek için silindirin kendi kendisini kesmesi gerekmektedir. Klein şişesinin tek yüzlü olması, yaklaştığınızda Möbius şeridine benzerliğini görmenize yol açar, hatta Klein şişesi, Möbius şeridi içerir diyebiliriz. Bu iddiayı Klein şişesini basit kapalı bir eğri ile keserek gösterebiliriz.

"Grup kuramı kavramını kullanarak döneminde incelenen çeşitli geometrileri birleştirmek ve sınıflamak istemiş olan Klein, her geometrinin, belirli bir dönüşüm gru­buna göre değişmeyen biçim özelliklerini incelemekten öteye gitmediğini ileri sürmüştür. Topolojik bir nesne olarak karşımıza çıkan klein şişesi günümüzde farklı alanlarda kullanılabilmektedir. Topoloji basitçe; şekillerin bükülerek, esnetilerek veya gerilerek deforme edildiğinde değişmeden kalan özellikleri inceler. bir şeklin kare mi daire mi, büyük mü küçük mü olduğunun topolojiyle ilgisi yoktur, çünkü uzatma işlemiyle bu özellikler değişebilir.

Topoloji ilmi basitçe; şekillerin bükülerek, esnetilerek veya gerilerek deforme edildiğinde değişmeden kalan özellikleri inceler. bir şeklin kare mi daire mi, büyük mü küçük mü olduğunun topolojiyle ilgisi yoktur, çünkü uzatma işlemiyle bu özellikler değişebilir. Topologlar bir şeklin bağlı olup olmadığını, delikleri olup olmadığını, boğumlu olup olmadığını sorarlar. Yüzeyleri sadece Eukleides’in bir, iki veya üç boyutlu evreninde değil, göz önüne getirilmesi imkânsız çok boyutlu uzaylar içinde hayal ederler. Topoloji lastik yüzeyler üzerinde uygulanan geometridir. Nicel olandan çok nitel olanla ilgilenir. (acid rain, 25.02.2005)

 

Topologlar bir şeklin bağlı olup olmadığını, delikleri olup olmadığını, boğumlu olup olmadığını sorarlar. Yüzeyleri sadece Eukleides’in bir, iki veya üç boyutlu evreninde değil, göz önüne getirilmesi imkânsız çok boyutlu uzaylar içinde hayal ederler. Topoloji lastik yüzeyler üzerinde uygulanan geometridir. Nicel olandan daha çok nitel olanla ilgilenir.

 

Felix Klein Alman matematikçi 1849 yilinda Düsseldorf'ta doğdu. 1872 - 1875 yillarinda Erlangen, 1875 - 1880 yillarinda Münih, 1880 - 1885 yillarinda Leipzig ve 1886 - 1913 yillarinda Göttingen Üniversiteleri'nde bulundu ve bu üniversitelerde birer uygulamali matematik enstitüsü kurdu. On dokuzuncu yüzyilin sonlari ve yirminci yüzyilin baslarina dogru, Alman matematik okulunun rakipsiz adayiydi. Hipergeometrik diferansiyel denklemler, Abel fonksiyonlari, gruplar kuraminin geometriye uygulanisi ve düzgün yirmi yüzlü gruplari üzerinde önemli çalismalari vardir. 

Felix Klein, Eliptik fonksiyonu inceleyerek modül fonksiyonlari kavramini ortaya atti. ad - bc = 1 kosulunu gerçekleyen dört tamsayi için z degiskeni yerine (az + b)/(cz + d) ifadesi getirildiginde, modül fonksiyonunun degerinin degismeyecegini gösterdi. Klein gruplarini buldu ve bunlari oldukça derinlemesine inceledi. Simetriler, alt gruplar gibi bagliliklari uzun uzun inceledi. Bu gruplar, dördüncü dereceden genel denklemin çzöülmesinde önemli rol oynar. Matematikte çok sayida yayinlari olan Klein'in kendi adiyla anilan bir de geometrisi vardir. Klein, ayrica matematigin, orta ögretimde ögretiminin çagdaslastirilmasi düsüncesinin savunucusu ve uygulayicisi da olmustur.

"Yeterli matematik çalışıncaya ve sayısız olası istisnaları görüp kafası karışıncaya kadar herkes bir eğrinin ne olduğunu bilir. " Felix Klein

Felix Klein'ın Bazı Çalışmaları:

Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale (1882) JFM 14.0358.01,
e-text at Project Gutenberg, also available from Cornell
Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade (1884); English translation by G. G. Morrice, Lectures on the Icosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree, (2nd revised edition, New York, 1914)
Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323-356, Math. Annalen, Bd. 27, (1886)
Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357-387, Math. Annalen, Bd. 32, (1888)
Über die hypergeometrische Funktion (1894)
Theorie des Kreisels, joint with Arnold Sommerfeld (4 volumes: 1897, 1898, 1903, 1910)
Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, joint with Robert Fricke (2 volumes: 1890 and 1892)

Fricke, Robert; Klein, Felix (1897) (in German), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01, http://www.archive.org/details/vorlesungenber01fricuoft
Fricke, Robert; Klein, Felix (1912) (in German), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen, Leipzig: B. G. Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM 32.0430.01
Mathematical Theory of the Top (Princeton address, New York, 1897
Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie (1895; English translation by W. W. Beman and D. E. Smith, Famous Problems of Elementary Geometry, Boston, 1897)
Evanston Colloquium (1893) before the Congress of Mathematics, reported and published by Ziwet (New York, 1894)
Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (Leipzig, 1908)
„Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert“ (2 Bände), Julius Springer Verlag, Berlin 1926 und 1927. S. Felix Klein Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert

Kaynakça:
http://sozluk.sourtimes.org/show.asp?t=topoloji
http://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/319960/Felix-Klein