Mükemmel Sayıların Keşfi

Mükemmel Sayı; kendisi hariç, tüm pozitif tam bölenleri toplamı kendine eşit olan sayılardır. Örneğin 6 sayısının bölenleri 1,2,3 ve 6 dır. 6 hariç bu sayıların toplamı: 1+2+3=6 bulunur. Bu nedenle 6 sayısı mükemmel sayıdır.


Özellikle Avrupa'da yoğun olarak mükemmel sayılara ilgi gösterilmiştir. Mükemmel sayılara gösterilen tutkunun araka planında dini inanışların etkisi büyüktür. Şöyle ki; ilk mükemmel sayı olan 6'nın Allah'ın dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Kameri ayının 2. ayı kadar, yani 28 gün olması da var. 

Mükemmel sayılar hakkında ilk defa bu dini inanışların da etkisi ile MS 100 civarında Nicomachus ispat gereği duymadan tamamen sezgisel olarak şu özellikleri sıralıyor:

1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır. (1. Sayı 6, 2. sayı 28 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 

2- Bütün mükemmel sayılar çifttir 

3- Bütün mükemmel sayılar sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 

4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2^k-1.(2^k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 

5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır. 

Bu söylenenlerin doğruluğu/yanlışlığı sonraki yüzyıllarda daha net biçimde ortaya çıkmıştır. Nicomuchos'un iddialarından 1. 3. 4. zamanla çürütüldüler.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi 211-1 sayısının asal olmadığını (23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle 212 (213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. Bulunan 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. 6. mükemmel sayı, 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından, mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi (1603) idi: 216 (217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218 (2191)=137438691328.

Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir.

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: Euler teoremine göre eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise 2^p-1 . (2^p-1) sayısı mükemmel bir çift sayıyı verir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2 için 2¹(2.²−1) = 6
p = 3 için 2^3-1(2³−1) = 28
p = 5 için 2^5-1(2⁵−1) = 496
p = 7 için 2^7-1(2⁷−1) = 8128.

6,28,496,8128....... sayıları mükemmel sayılardır. Formülde p yerine yukarıdaki değişkenler yazılarsa yeni mükemmel sayılar bulunabilir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardır: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609. 

Bu sayılar dışında başka mükemmel sayıların (çift ve ya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.Tek mükemmel sayıların varlığı ve ya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır.