Maksimum ve Minimum Problemleri

Maksimum ve minimum problemlerinde öncelikle verilen ifadelerden tek değişkene bağlı bir fonksiyon yazılır. Bu yazılan fonksiyonun istenen değişkene göre türevi alınır. Daha sonra türev sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Daha sonra işaret tablosu yapılarak minimum ve maksimum noktaları belirlenir. Aşağıda türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin nasıl çözüldüğüne dair örnekler verilmiştir. 

Bazı kısa ip uçlarını aklınızda bulundurmanız bu tür maksimum ve minimum problemlerin çözümünde kolaylık sağlar. 

1) Toplamları sabit iki sayının çarpımının maksimum olması için sayılar  birbirine eşit olmalıdır. Eşit olarak alınan iki sayının çarpımı daha büyük olur. Örnek: x + y = 12 ise x,y nin en büyük değeri için bu iki sayı birbirine eşit olarak seçilmelidir. x = y = 6 için x.y = 6.6 = 36 olarak bulunur. 

2) Çarpımları sabit iki sayının toplamının minimum olması için sayılar birbirine eşit olmalıdır. Örnek: x.y = 25 ise x + y nin en küçük değeri x = y = 5 için x + y = 5 + 5 = 10 dur.

3) Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksimum olanı düzgün çokgendir. Örnek: Çevresi 12 cm olan üçgenlerden alanı en büyük olanı bir kenarı 4cm olan eşkenar üçgenin alanıdır. Çevresi 16 cm olan dörtgenlerden alanı en büyük olanı bir kenarı 4 cm olan karedir.

4) Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi minimum olanı düzgün çokgendir. Örnek: Alanı 64 cm2 olan dikdörtgenlerden çevresi en küçük olanı bir kenarı 8 cm olan karedir. 

5) Bir daire içine çizilen dikdörtgenlerden alanı maksimum olanı karedir. Örnek: Yarıçapı 2 cm olan dairenin içine çizilen dikdörtgenin alanının en büyük olması için, dörtgen kare olmalıdır.

6) Tabanları aynı ve alanları sabit olan üçgenlerden çevresi minimum olanı ikizkenar üçgendir. Tabanları aynı ve çevreleri sabit olan üçgenlerden alanı maksimum olanı ikizkenar üçgendir. Örnek: ABC üçgeninde |BC| = 6 cm ve Çevre(ABC) = 16 cm ise alanın en büyük olması için üçgenin ikizkenarları |AB| = |AC| = 5 cm olmalıdır.

7) Bir üçgen içine çizilen dikdörtgenlerden alanı maksimum olanının alanı, üçgenin alanının yarısına eşit olanıdır.

8) Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı minimum olanı küptür. Hacmi sabit olan dik silindirlerden alanı minimum olanı çapı yüksekliğine eşit olanıdır.