Behlül Dânâ Hikayeleri

Halid Ziya Uşaklıgil’in rezil romanı ile adını son zamanlarda duyduğumuz "Behlül" ismi, esasında Abbas halifesi Harun Reşid zamanında yaşamış büyük bir veliyi hatırlatır. "Behlül" ismini olumsuzlukla tanıtıp hatırlatanlara karşı, inadına asıl Behlül'ü tanıtalım. Peki kimdir Behlül Dânâ? 

Behlül Dânâ’nın asıl adı Ebû Vüheyb bin Ömer Sayrafî’dir. Doğum târihi kesin olarak bilinmez. Kûfeli olduğu halde Bağdâd’da yaşamış ve Bağdat'ta vefât etmiştir. Vefatı kesin olmamakla birlikte 806 yılı civarındadır. Behlül Dânâ, halk arasında “Behlûl-i Dîvâne” ve “Sultânü’l-meczûbîn” olarak da anılmış olup Abbâsî Halifesi Hârun Reşid (788-809) ile yakın ilişkisi sayesinde “Behlül er-Reşid” olarak tanınan ünlü bir zattır.  Hakkındaki bilgiler çoğunlukla ona atfedilen büyük ölçüde menkıbe ve fıkralardan oluşur. “Behlül” kelimesi Farsçada meczup, deli, çok gülen gibi anlamlara gelirken; “Dânâ” ise “çok bilen”, “bilgin” demektir. Bu bağlamda “Behlül Dânâ”, “bilgin meczup” veya “akıllı deli” anlamını taşır; yani hem güldüren hem de öğüt veren bilgin anlamına gelir. Behlül, ilâhî cezbeye tutulduktan sonra kendinden geçmiş ve nefsini tamamen silmiş, bundan sonra halk arasında onlara uymayan garip davranışlar sergilemiştir. Mezarlarda ve harabelerde dolaşmayı, yalnızlığı ve çocuklarla şakalaşmayı seven Behlül’ün sözleri, nükteli ve iğneleyici olsa da genellikle hikmet dolu ve uyarıcı olmuştur. Bazı menkıbelerde Hârun Reşid’in kardeşi, yeğeni veya nedimi olarak da gösterilmiştir. Behlül Dânâ, Halifeye hatalarını çekinmeden söylemiş, onu uyarmak için bulduğu fırsatları değerlendirmiştir.

Tasavvufî eserlerde Behlül, Allah âşığı bir sûfî ve meczup olarak tanıtılmış; Muhyiddin İbnü’l-Arabî, Şa‘rânî, İbnü’l-Cevzî ve Attâr gibi pek çok klasik yazar onun Hak âşığı olduğunu vurgulamıştır. Behlül’ün hikâye ve fıkraları Arap, İran ve Türk halk edebiyatında geniş yer tutmuştur. Şia kaynakları, Behlûl Dana'yı İmam Cafer es-Sâdık’ın talebesi olarak gösterse de, bu iddialarına ilmî delil yoktur. Behlül Dânâ'ya atfedilen ve gerçekliği konusunda sadece rivayet bilgileri bulunan bazı nükteli hikayeler aşağıda verilmiştir. 

Vicdanın Sesi

Bir gün Behlül Dânâ, halife Harun Reşit’in huzuruna çıkarak ondan bir görev ister. Harun Reşit bir süre düşündükten sonra ona, “Sana fırınları denetleme işini veriyorum. Git, fırınları dolaş, ekmekleri kontrol et,” der. Behlül Dânâ bu görevi hemen kabul eder ve çarşıya çıkarak işe koyulur. İlk girdiği fırında ekmeklerin gramajını kontrol eder. Bakar ki ekmekler olması gerekenden eksiktir. Bunun üzerine fırıncıyı yanına çağırır ve ona birkaç soru sorar: 

“Nasılsın, halin vaktin yerinde mi? Ailenle aran nasıl, geçimin iyi mi?” Fırıncı bu soruların hepsine olumsuz cevap verir; mutsuzdur, geçim sıkıntısı içindedir. Behlül Dânâ hiçbir ceza kesmeden oradan ayrılır. Fırıncı şaşırır ve arkasından seslenir: “Hiç mi ceza yazmayacaksın?” Behlül sadece “Hayır” diyerek yoluna devam eder. 

Daha sonra başka bir fırına girer. Bu kez ekmekleri tarttığında ekmeklerin olması gerekenden fazla olduğunu görür. Fırıncıyı yanına çağırır ve aynı soruları sorar: “Halin nasıl? İşinden memnun musun?  Ailenle aran nasıl?” Fırıncı bu soruların hepsine olumlu yanıt verir; mutludur, huzurludur, geçimi yerindedir. 

Behlül Dânâ bunun üzerine doğruca Harun Reşit’in yanına döner ve “Efendim, ben bu işi yapmayacağım. Bana başka bir görev verin,” der. Harun Reşit şaşırır: “Neden vazgeçiyorsun? Daha az önce sana bu işi verdim der. 

Behlül Dânâ, tebessüm ederek şöyle cevap verir: “Efendim, ben çarşıyı dolaştım. Gördüm ki benden önce bir başka ‘ağa’ gelmiş. Ekmeklerle birlikte insanların vicdanlarını da tartmış hesaplarını görmüş. Kimin terazisi eksikse onun gönlü de dertli, kimin ekmeği fazlaysa onun kalbi de huzurlu. Yani herkesin hesabı kendi vicdanında görülmüş. Artık bana gerek kalmamış.” 

İnsanların yaptıkları işler, onların iç dünyalarının bir yansımasıdır. Vicdanı rahat olanın terazisi de doğrudur; içi sıkıntı dolu olanın ise terazisi şaşar. Gerçek denetim, dıştan değil, insanın kendi vicdanından başlar.

Yağmur, Nurullah Genç

Var eden'in adıyla insanlığa inen Nur
Bir gece yansıyınca kente Sibir dağından
Toprağı kirlerinden arındırır bir Yağmur
Kutlu bir zaferdir bu ebabil dudağından
Rahmet vadilerinden boşanır ab-ı hayat
En müstesna doğuşa hamiledir kainat.
Yıllardır bozbulanık suları yudumladım,
Bir pelikan hüznüyle yürüdüm kumsalları,
Yağmur, seni bekleyen bir taş da ben olsaydım.

Hasretin alev alev içime bir an düştü,
Değişti hayal köşküm, gözümde viran düştü,
Sonsuzluk çiçeklerle donandı yüreğimde,
Yağmalanmış ruhuma yeni bir devran düştü.
İhtiyar cübbesinden kan süzülür Nebi'nin,
Gökyüzü dalgalanır ipekten kanatlarla,
Mehtabını düşlerken o mühür sahibinin,
Sarsılır Ebu Kubeys kovulmuş feryatlarla,
Evlerin arasına dikilir yeşil bayrak,
Yeryüzü avaredir, yapayalnız ve kurak.
Zaman, ayaklarımda tükendi adım adım,
Heyûla, bir ağ gibi ördü rüyalarımı,
Çölde seni özleyen bir kuş da ben olsaydım.

Yağmur, gülşenimize sensiz, baldıran düştü,
Düşmanlık içimizde; dostluklar yaban düştü,
Yenilgi, ilmek ilmek düğümlendi tarihe,
Her sayfaya talihsiz binlerce kurban düştü.
Bir güzide mektuptur, çağların ötesinden,
Ulaşır intizarın yaldızlı sabahına,
Yayılır o en büyük muştu, pazartesinden,
Beyazlık dokunmuştur gecenin siyahına,
Susuzluktan dudağı çatlayan gönüllerin,
Sükutu yar, sevinci dualar kadar derin.
Çaresiz bir takvimden yalnızlığa gün saydım,
Bir cezir yaşadım ki, yaşanmamış mazide,
Dokunduğun küçük bir nakış da ben olsaydım.

Sensiz, kaldırımlara nice güzel can düştü,
Göğsümüzden umutlar bican düştü,
Yağmur, kaybettik bütün hazinesini ceddin,
En son, avucumuzdan inci ve mercan düştü.
Melekler sağnak sağnak gülümser maveradan,
Gümüş ibrik taşıyan zümrüt gagalı kuşlar,
Mutluluk nağmeleri işitirler Hıradan,
Bir devrim korkusuyla halkalanır yokuşlar,
Bir bebeğin secdeye uzanırken elleri,
Paramparça, ateşler şahının hayalleri.
Keşke bir gölge kadar yakınında dursaydım,
O mücella çehreni izleseydim ebedi,
Sana sırılsıklam bir bakış da ben olsaydım.

Sarardı yeşil yaprak; dal koptu; fidan düştü,
Baykuşa çifte yalı; bülbüle zindan düştü,
Katil sinekler deldi hicabın perdesini,
İstiklal boşluğunda arılar nadan düştü.
Dolaşan ben olsaydım Save'nin damarında,
Tablosunu yapardım yıkılan her kulenin,
Ebedi aşka giden esrarlı yollarında,
Senden bir kıvılcımın, süreyya bir şulenin,
Tarasaydım bengisu fışkıran kakülünü,
On asırlık ocağın savururdum külünü.
Bazen kendine aşık deli bir fırtınaydım,
Fırtınalar önünde bazen bir kuru yaprak,
Uğrunda koparılan bir baş da ben olsaydım.

Sensizlik depremiyle hancı düştü; han düştü,
Mazluma sürgün evi; zalime cihan düştü,
Sana meftun ve hayran, sana ram olanlara,
Bir bela tünelinde ağır imtihan düştü.
Badiye yaylasında koklasaydım izini,
Kefenimi biçseydi Ebva'da esen rüzgar,
Seninle yıkasaydım acılar dehlizini,
Ne kaderi suçlamak kalırdı, ne intihar.
Üstüne pırıl pırıl damladığın bir kaya,
Bir hurma çekirdeği tercihimdir dünyaya.
Suskunluğa dönüştü sokaklarda feryadım,
Tereddüt oymak oymak kemirdi gururumu,
Bahira'dan süzülen bir yaş da ben olsaydım.

Haritanın en beyaz noktasına kan düştü,
Kırıldı adaletin kılıcı; kalkan düştü,
Mahkumlar yargılıyor; hakimler mahkum şimdi,
Hakların temeline sanki bir volkan düştü.
Firakınla kavrulur çölde kum taneleri,
Ahuların içinde sevdan akkor gibidir,
Erdemin, bereketin doldurur haneleri,
Sensiz hayat toprağın sırtında ur gibidir,
Şemsiyesi altında yürürsün bulutların,
Sensiz, yükü zehirdir en güzel imbatların.
Devlerin esrarını aynalara sorsaydım,
Çözülürdü zihnimde buzlanmış düşünceler,
Okşadığın bir parça kumaş da ben olsaydım.

Sensiz, tutunduğumuz dallardan yılan düştü,
İlkin karardı yollar, sonra heyelan düştü,
Güvenilen dağlara kar yağdı birer birer,
Sensizlik diyarından püsküllü yalan düştü.
Yağmur, duysam içimin göklerinden sesini,
Yağarsın; taşlar bile yemyeşil filizlenir,
Yıldırımlar parçalar çirkefin gövdesini,
Sel gider ve zulmetin çöplüğü temizlenir,
Yağmur, bir gün kurtulup çağın kundaklarından,
Alsam, ölümsüzlüğü billur dudaklarından.
Madeni arzuların ardında seyre daldım,
Küflü bir manzaranın çürüyen güllerini,
Senin için görülen bir düş de ben olsaydım.

Şehirler kabus dolu; köylere duman düştü,
Tersine döndü her şey sanki; asuman düştü,
Kırık bir kayık kaldı elimizde, hayali,
Hazindir ki; dertleri aşmaya umman düştü.
Ay gibisin, güneşler parlıyor gözlerinde
Senin tutkunla mecnun geziyor güneş ve ay
Her damla bir yıldızı süslüyor göklerinde
Sümeyra'yı arıyor her damlada bir saray
Tohumlar ve iklimler senindir, mevsim senin
Mekanın fırçasında solmayan resim senin.
Yağmur, bir gün elini ellerimde bulsaydım,
Güzellik şahikası gülümserdi yüzüme
Senin visalinle bir gülmüş te ben olsaydım.

Tavanı çöktü aşkın; duvarlar üryan düştü,
Toplumun gündemine koyu bir isyan düştü,
İniltiler geliyor doğudan ve batıdan,
Sensizlikten bozulan dengeye ziyan düştü.
Islaklığı sanadır ahımın, efganımın,
İçimde hicranınla tutuşuyor nağmeler,
Sendendir eskimeyen cevheri efkarımın,
Nazarın ok misali karanlıkları deler.
Bu değirmen seninle dönüyor; ahenk senin,
Renkleri birbirinden ayıran mihenk senin.
Bir hüzün ülkesine gömülüp kaldı adım,
Kapanıyor yüzüme aralanan kapılar,
Sana hicret eden bir Kureyş de ben olsaydım.

Yağmur, ayrılığıma seninle derman düştü,
Beynimin merkezine ölümsüz ferman düştü,
Silindi hayalimden bütün efsunu ömrün,
Bir dönüm noktasında aklıma Rahman düştü.
Nefesinle yeniden çizilecek desenler,
Çehreler yepyeni bir değişim geçirecek,
Aydınlığa nurunla kavuşacak mahzenler,
Anneler çocuklara hep seni içirecek,
Yağmur, seninle biter susuzluğu evrenin,
Sana mü'mindir sema; sana muhtaçtır zemin.
Damar damar seninle, hep seninle dolsaydım,
Batılı yıkmak için kuşandığın kılıcın,
Kabzasında bir dirhem gümüş de ben olsaydım.

Kardeşler arasına heyhat, su-i zan düştü,
Zedelendi sağduyu; körleşen iz'an düştü,
Şarkısıyla yaşadık yıllar yılı baharın,
İnsanlık bahçemize sensizlik hazan düştü.

Yağmur, seni bekleyen bir taş da ben olsaydım,

Çölde seni özleyen bir kuş da ben olsaydım,
Dokunduğun küçük bir nakış da ben olsaydım,
Sana sırılsıklam bir bakış da ben olsaydım,
Uğrunda koparılan bir baş da ben olsaydım,
Bahira'dan süzülen bir yaş da ben olsaydım,
Okşadığın bir parça kumaş da ben olsaydım,
Senin için görülen bir düş de ben olsaydım,
Yeryüzünde seni bir görmüş de ben olsaydım,
Sana hicret eden bir Kureyş de ben olsaydım,
Damar damar seninle, hep seninle dolsaydım,
Batılı yıkmak için kuşandığın kılıcın,
Kabzasında bir dirhem gümüş de ben olsaydım...

Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bazı matematik kitaplarında sadece Schwarz eşitsizliği veya sadece Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak da geçmektedir. Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çeşitli matematiksel uygulamalarda kullanılmaktadır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği; analiz, lineer cebir, olasılık ve istatistik konuları  arasında sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle vektörler alanında, sonsuz seriler ve çarpım uygulamalarında, varyans ve kovaryans hesaplamalarında eşitsizlik çok kullanılmaktadır. Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850'de ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır. Bu nedenle eşitsizlik üç ismin adıyla matematik kitaplarda yer almıştır.

Sayılabilir Sonsuzluk Kavramı

Sonsuz kavramı, matematikte farklı bir tanımlamadır. "Lemniscate", “sonsuzluk” ya da “sekiz” şeklinde (∞) bir eğriyi ifade eden genel bir terimdir. Kelime, Latince lēmniscātus (“kurdeleli”) ve Yunanca λημνίσκος (lēmniskos) (“kurdele”) sözcüklerinden gelir. Genellikle matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan kavramları veya sayıları tanımlamak için kullanılır. Matematiksel denklemi: (x²+y²)²−cx²−dy²=0 şeklinde olup d<0 olduğunda eğri bir lemniskattır. Proclus, Johann ve Jakob Bernoulli, Gerono, Cassini gibi matematikçiler çeşitli lemniscate eğrileri tanımlamıştır.

Matematikte “sonsuz” kavramı bazen sayı gibi ele alınır; örneğin “sonsuz sayıda terim” ifadesinde olduğu gibi burada sayılamayacak kadar çoklukta bir sayı adedi olduğunu ifade eder. Ancak gerçek sayılar kümesinde sonsuzluk bir sayı olarak yer almaz. Bazı sayı sistemlerinde ise "sonsuz küçük" değerler tanımlanabilir. Sonsuz küçük değer, sıfırdan büyük ama her gerçek sayıdan daha küçük olan bir önemsenmeyecek kadar küçük olan bir niceliktir. Yani “çok çok küçük ama sıfır olmayan” bir sayı gibi düşünülebilir. Matematikte, limit kavramı içindeki ε (epsilon) genellikle böyle "Sonsuz küçük" değeri temsil eder. Sonsuz küçük değer olanın çarpmaya göre tersi alınırsa ε’nin tersi (1/ε gibi) çok büyük bir sayı olur ve bu bir sonsuz sayı olarak düşünülebilir. Buradaki sonusz kavramı, normal sayılarla ifade edilemez; sürekli artan bir niceliği temsil eden ve büyüklüğünün bir sınırı olmayan değerdir.

19. ve 20. yüzyıllarda yaşamış matematikçiler bu alanda çalışmalar yapmıştı. Özellikle Georg Cantor, sonsuz ve sonsuz kümeler üzerine önemli çalışmaları ile bilinir. (Bkz. Georg Cantor) G. Cantor’un kuramına göre farklı boyutlarda sonsuz kümeler vardır. Örneğin, tamsayıların oluşturduğu küme “sayılabilir sonsuz” olarak adlandırılırken, gerçek sayıların oluşturduğu küme “sayılamayan sonsuz” olarak tanımlanır. Bu kavramlar başlangıçta anlaşılması zor ve hatta kabul edilmesi güç olsa da, günümüzde küme teorisi, analiz ve matematiksel mantığın temel taşlarından biri hâline gelmiştir. Matematikte bir küme sonsuz ise, elemanlarını tek tek sayarak sona ulaşmak mümkün değildir. Örneğin doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, …) sonsuzdur. Cantor, sonsuzun yalnızca bir sıfat olmadığını, aynı zamanda ölçülebilir bir büyüklük olabileceğini göstermiştir. Eğer bir küme, doğal sayılarla bire bir eşleştirilebiliyorsa sayılabilir sonsuzdur; bu yapılamıyorsa sayılamayan sonsuzdur. Örnek vermek gerekirse, tüm tam sayılar ve rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz kümelerdir, ancak gerçek sayılar sayılamaz sonsuzluktadır; bu nedenle gerçek sayılar daha büyük bir sonsuzluk olarak kabul edilir. Tüm çift sayılar her doğal sayıya bir çift sayı atayarak doğal sayılarla eşlenebilir. Rasyonel sayılar da bir listeye dizilebilir; böylece rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz olarak kabul edilir. Buna göre doğal sayıları listeleyebilirsiniz, ama gerçek sayıları listeleyemezsiniz. G. Cantor’dan önce matematikçiler, bazı sonsuz kümelerin doğal sayılarla bire bir eşlenebileceğini fark etmelerine rağmen bunu kuramsallaştıran Cantor olmuştur. 

Doğal sayılar N={0,1,2,3,4......} ile pozitif tamsayılar Z+={1,2,3,...} aynı kardinaliteye sahiptir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: $f(n) = n+1$ 

Doğal sayılar $\mathbb{N}$ ile çift sayılar $2\mathbb{N}$ aynı kardinaliteye sahiptir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: $f(n)=2n$ 

Tüm tamsayılar $\mathbb{Z}$ da doğal sayılar ile aynı kardinalitededir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: n çift ise f(n)=​n/2 ve n tek ise f(n)= - (n+1)/2 olarak yazılır.

G. Cantor, 1872’de rasyonel sayılar kümesi üzerinde çalıştı. Rasyonel sayılar, doğal sayıları da içerir çünkü her tam sayı n, n/1 olarak yazılabilir. Her iki rasyonel sayı arasında sonsuz başka rasyonel sayı vardır. Görünüşte rasyonel sayılar doğal sayılardan çok daha fazla gibi görünse de, Cantor bunların sayıca eşit olduğunu kanıtlamıştır. Bu, rasyonel sayıları bir matrise yerleştirip diyagonal bir şekilde listeleyerek yapılabilir; bu sayede rasyonel sayılar doğal sayılarla bire bir eşlenebilir. Bu tür kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir ve kardinalitesi ℵ₀ (alef sıfır) ile gösterilir.   

Her rasyonel sayı iki tam sayının a ve b aralarında asal tam sayılar olacak biçimde a/b şeklinde yazılmasıyla oluşturulabilir. Buna göre bu sayı çiftleri bir ızgara gibi spirale yerleştirilir ve doğal sayılara birebir eşlenir. Böylece $\mathbb{Q}$ yoğun olmasına rağmen sayılabilir olur. Bunu izah ederken tüm tam sayı çiftlerini (a,b) iki boyutlu bir koordinat düzleminde düşünebiliriz. Her nokta bir rasyonel sayıyı temsil eder (geçerli olması için b ≠ 0 ve a, b aralarında asal olmalı). Örneğin: (1,2) noktası →1/2 ve (−3,5) noktası →-3/5 ve (0, 0) noktası → 0 sayısını temsil edecek şekilde yerleştirelim. Bu şekilde devam ettiğimizde düzlemdeki tüm noktaları bir sprial (örneğin merkezden dışa dönen bir yol) boyunca tek tek sıralayabiliriz. Böylece her (a,b) çifti, spiraldeki bir sıraya (doğal sayıya) karşılık gelir. Bu spiral yöntemiyle her nokta (a,b) sadece bir tane doğal sayıya denk gelir. Yani iki farklı nokta (örneğin (1,2) ve (3,4)) aynı doğal sayıya karşılık gelmez. Bu yüzden birebir eşleme vardır. Spiral her noktaya gider ama her nokta bir rasyonel sayıyı temsil etmez (bazıları geçersizdir, örneğin b=0 noktası için bir karşılık bulunamaz.) Yani bazı doğal sayılar “boş” kalır ama bu problem değildir, çünkü bizim için önemli olan birebir eşlemenin olmasıdır tam kapsama gerekli değildir. Sonuç olarak |Q| ≤ |N| olduğunu görürüz. Bu eşleme sayesinde rasyonel sayıların kümesi, doğal sayılardan daha fazla değil (en fazla o kadar) eleman içerir. Ayrıca, her doğal sayı da bir rasyonel sayıdır (örneğin 3 = 3/1), dolayısıyla |N| ≤ |Q| de doğrudur. Cantor–Bernstein Teoremi’ne göre bu |Q| ≤ |N| ve  |N| ≤ |Q| iki koşulu varsa o zaman |Q| = |N| olduğunu söyleyebiliriz. Sonuç olarak Rasyonel sayılar sonsuzdur, ama “doğal sayılar kadar” sonsuzdur. Yani sayıca aynı büyüklüktedirler — her rasyonel sayı bir doğal sayıyla eşleştirilebilir.

G. Cantor’un bir sonraki sorusu, gerçek sayıların kardinalitesi olmuştur. Gerçek sayılar, sürekli sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları içerir, irrasyonel sayıları da kapsar. Cantor, gerçek sayıların doğal ve rasyonel sayılardan “daha büyük” olduğunu kanıtladı. Bunu, diyagonal argüman ile gösterdi: 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar bir listeye alınmış olsa bile, listedeki her sayının ondalık basamaklarından yeni bir sayı türetmek mümkündür. Bu yeni sayı, listedeki hiçbir sayı ile aynı olmayacağı için, gerçek sayılar sayılamayan sonsuzluktur. Gerçek sayıların kardinalitesi kümelerin sürekliliği (c) olarak adlandırılır.

G. Cantor’un en dikkat çekici sonucu gerçek sayılar kümesinin doğal sayılarla bire bir eşlenemeyeceğini göstermesidir. Yani doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzluk kavramı vardır. Bu düşünceyi destekleyen en ünlü kanıt Cantor’un diyagonal argümanıdır. Diyagonal argümanın özeti şöyledir: Varsayalım ki 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek sayılar bir liste halinde yazılmış olsun. Bu dizide yer almayan bir sayı oluşturmak için listedeki her sayının i’inci ondalık basamağından farklı bir rakam seçerek yeni bir ondalık sayı oluşturulur. Bu yeni sayı listedeki hiçbir sayı ile aynı olamaz. Sonuç olarak, [0,1] aralığındaki gerçek sayılar listeye alınamaz; yani gerçek sayılar kümesi eşleştirme yapılamadığından gerçek sayılar "sayılamayan" sonsuzdur.

 

1874’te Cantor, 1 uzunluğundaki bir doğru ile 1 kenar uzunluğundaki bir kare arasındaki noktaların bire bir eşlenip eşlenemeyeceğini araştırdı. Sonuç, doğru ve karedeki noktaların aynı kardinaliteye sahip olduğuydu. Bu düşünce, küp veya n-boyutlu hiper-küp için de geçerlidir. Cantor bu sonucu görünce şaşkınlığını gizleyememiş ve “Görüyorum ama inanamıyorum!” demiştir. Cantor çalışmalarında farklı kardinal sayıları tanımladı ve ilkini ℵ₀ diğerlerini ℵ_1, ℵ_2, ℵ_3..... olarak gösterdi.

  

G. Cantor, doğal sayılar ($\mathbb{N}$) ve gerçel sayılar ($\mathbb{R}$) kümesi arasında başka bir büyüklükte sonsuz küme olup olmadığını merak etti. Yani şöyle soruyordu: Doğal sayılar sayılabilir sonsuzdur ve kardinalitesi ℵ_0, ℵ_1, ℵ_2, ℵ_3.....ile gösterilir. Gerçel sayılar sayılamayan sonsuzdur ve kardinalitesi c (süreklilik kardinalitesi) ile gösterilir. ℵ₀ $<\; ?\; <\; c$ olacak şekilde bir kardinal sayı var mıdır? Yani doğal sayılar ve gerçel sayılar arasında “orta büyüklükte” bir sonsuzluk var mı? Bu soru, Cantor’un zamanında sürekli hipotez (continuum hypothesis) olarak adlandırıldı. Hipotez, şöyle özetlenebilir: “Her sonsuz küme ya sayılabilir sonsuzdur ℵ₀ ya da gerçel sayılarla aynı kardinaliteye sahiptir (c). Arada başka bir sonsuzluk yoktur.” Cantor’un matematiksel araçları bu hipotezi çözmek için yeterli değildi. 1940’ta Kurt Gödel, hipotezin çürütülemeyeceğini yani standard matematik (ZFC aksiyomları) ile yanlışlanamayacağını gösterdi. 1963’te Paul Cohen, hipotezin kanıtlanamayacağını yani standart matematikle doğrulanamayacağını gösterdi. Böylece sürekli hipotez, modern matematikte bağımsız bir problem hâline geldi.

 

Georg Cantor’un bu kuramı, küme teorisi ve matematiğin temelleri açısından bir dönüm noktasıdır. Sayılamayan sonsuzluk kavramı analizde, topolojide ve mantıkta merkezi bir rol oynar. Sonsuzlukların farklı katmanlarının olması, matematiksel gerçeklik anlayışını değiştirmiştir. Bilgisayar biliminde diyagonal yöntemleri, Kurt Gödel’in eksiklik teoremleri ve Alan Turing’in durdurma problemi gibi çalışmalara temel oluşturmuştur. Başlangıçta Cantor’un fikirleri bazı matematikçiler tarafından felsefi sebeplerle reddedilmiş olsa da, günümüzde kuantum mekaniğinden karmaşık sistemlerin analizine kadar “sonsuzluk” ve “küme büyüklüğü” kavramları kritik hâle gelmiştir. Veri bilimi ve algoritma teorisinde sayılabilir ve sayılamayan kümeler arasındaki fark analizlerde kullanılmaktadır. 

 

Sonuç olarak, sonsuzluk kavramı sadece “sınırı olmayan, sayılamayan, çok büyük” bir kavram değildir; farklı türleri vardır ve bu türler birbirinden ciddi biçimde ayrılır. Georg Cantor sayesinde biliyoruz ki sonsuzluk tek bir büyüklük değildir; bazı sonsuz kümeler diğerlerinden daha büyüktür. 19.–20. yüzyıl dönümünde matematikçiler “sonsuzluk” kavramını ciddiye almaya başladılar. Bu sonsuzluk kavramı keşfi, gerçek sayılar, fonksiyonlar ve kümeler teorisinde büyük ilerlemelere yol açmasına rağmen aynı zamanda çelişkiler ve paradokslara neden olmuştur. Ünlü sonsuzluk paradokslarından ikisini burada açıklayarak yazıyı bitirelim. 

 

Hilbert’in Oteli, sonsuzluk kavramının tuhaf sonuçlarını göstermek için geliştirilen ünlü bir düşünce deneyidir. Bu otelde sonsuz sayıda oda vardır ve her oda dolu durumdadır. Buna rağmen, yeni bir misafir geldiğinde yine de ona yer açmak mümkündür.Otelin yöneticisi, her misafirin bir sonraki odaya geçmesini ister:1 numaralı odadaki kişi 2 numaralı odaya,2 numaralı odadaki kişi 3 numaralı odaya,3 numaralı odadaki kişi 4 numaralı odaya geçer,ve bu düzen sonsuza kadar devam eder.Böylece 1 numaralı oda boşalır ve yeni gelen misafir rahatça yerleşebilir. Aynı mantıkla, eğer sonsuz sayıda yeni misafir gelirse, mevcut misafirler odalarını ikiyle çarparak (1→2, 2→4, 3→6 …) yeni odalara geçer; böylece tüm tek numaralı odalar yeni misafirlere ayrılır.Bu düşünce deneyi, sonsuzluk kavramının sezgilerimize ters düşen yönlerini ortaya koyar: Otel tamamen dolu olsa bile, hala yer açılabilir; çünkü sonsuz bir otelde son oda yoktur. Bu da, matematikteki “sonsuzun bitmeyen” ve “sınır tanımayan” doğasını çarpıcı bir şekilde gösterir.

 

Zeno’nun paradoksu, hızlı koşucu Aşil ile yavaş bir kaplumbağa arasındaki hayali bir yarışı anlatır. Aşil, kendine güvendiği için kaplumbağaya küçük bir başlangıç avantajı verir. Zeno’ya göre, bu durumda Aşil kaplumbağayı asla yakalayamaz. Çünkü Aşil önce, kaplumbağanın başladığı noktaya ulaşmak zorundadır. Ancak Aşil o noktaya geldiğinde, kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur. Aşil bu yeni mesafeyi kat ederken, kaplumbağa yine az da olsa daha ileriye gider. Bu süreç sonsuza kadar sürer: Aşil her seferinde aradaki mesafenin bir kısmını kapatır ama kaplumbağa hep biraz öndedir. Bu nedenle, Zeno’ya göre, Aşil kaplumbağayı yakalamak için sonsuz sayıda adım atmak zorunda kalır; bu da sanki asla yetişemeyecekmiş gibi görünür. Paradoks, sonsuz bölünme ve hareketin doğası üzerine düşünmeye yönelten klasik bir felsefi sorudur. 

 

Kaynakça:
*Macgregor, P. (2008, 1 Haziran). A glimpse of Cantor's paradise, https://plus.maths.org/content/glimpse-cantors-paradise
*Infinity and Countability, https://www.su18.eecs70.org/static/notes/n10.html
*A Foundational Crisis, Ted Sider Philosophy of Mathematics,https://tedsider.org/teaching/math/HO_crisis_in_foundations.pdf *A Discrete Solution for the Paradox of Achilles and the Tortoise, (2015), Vincent Ardourel, https://hal.science/hal-01929811/file/A_discrete_solution_for_the_paradox_of_A.pdf
*The True (?) Story of Hilbert’s Infinite Hotel, (2014), Helge Kragh, Centre for Science Studies, Department of Physics and Astronomy, Aarhus University, https://arxiv.org/pdf/1403.0059

Polinomlarda işlemler

Polinom, matematikte içinde değişken bulunan (genellikle x), bu değişkenin doğal sayı üsleri ve sayısal katsayılar bulunan cebirsel ifadelere denir. Yani matematiksel olarak; n ∈ ℕ ve a₀, a₁, a₂ …, a_n ∈ ℝ olmak üzere: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x¹ + a₀x⁰ ifadesine reel katsayılı polinom denir. Polinomlar özel bir fonksiyondur. Bir ifadenin polinom olabilmesi için çok net iki kuralı vardır: 1) Değişkenin üssü kesinlikle doğal sayı olmalıdır. Değişkenin kuvveti negatif olamaz, kesirli bir ifade olamaz, irrasyonel bir sayılı kuvvet olamaz. 2) Tüm değişkenlerin katsayıları Reel Sayı olmalıdır. Karmaşık sayı olamaz. 

Örneğin P(x) = 3x² + 5x − 7 ifadesi bir polinomdur, P(x) = x + 1 bir polinomdur, Q(x)=4 sayısı da polinomdur. Buna karşılık K(x) = 1/x + 2 polinom değildir çünkü değişken paydadadır, değişkenin kuvveti (-1)dir. T(x) = x⁻² + 3 polinom değildir çünkü değişkenin üssü negatiftir. S(x) = √x + 1 polinom değildir çünkü değişkenin kuvveti kesirlidir.

Polinomlar terimlerden oluşur. Toplama ya da çıkarma işaretleriyle ayrılan her parçaya terim denir. Örneğin P(x) = 2x³ − 5x + 4 ifadesinde 2x³, −5x ve 4 ifadelerinin herbiri birer terimdir. Bir polinomda değişkenin önündeki sayıya katsayı denir. En büyük dereceli terimin katsayısına da "başkatsayı" denir.. Örneğin P(x) = −3x² ifadesinde katsayı −3’tür.  Q(x) = −3x² + 4x +7 ifadesinde başkatsayı −3 olup, diğer katsayılar 4 ve 7 dir. Değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin 0 olduğu  x⁰ terimine sabit terim denir. Örneğin P(x) = 5x² + 3x − 7 polinomunda sabit terim −7’dir. Bir polinomun derecesi ise terimlerdeki en büyük üssün değeridir. Örneğin P(x) = 4x⁵ + x² − 1 polinomunun derecesi 5’tir, R(x) = 7x − 3 polinomunun derecesi 1’dir, Q(x) =9 polinomunun derecesi 0’dır.

 

Polinom–fonksiyon ilişkisi şu şekilde açıklanabilir: Bir polinom, değişkenler ve bu değişkenlerin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinden oluşan cebirsel bir ifade iken bir fonksiyon ise, ifadedir. Bir polinom, bu kuralı sağladığı için aynı zamanda özel bir fonksiyon olarak da düşünülebilir. Yani her polinom, uygun bir tanım kümesi üzerinde tanımlandığında bir fonksiyon oluşturur. Örneğin p(x) = 2x² - 3x + 1 ifadesi bir polinomdur. Bu durumda polinom, fonksiyonun kuralını; x ise fonksiyonun bağımsız değişkenini temsil eder. Fonksiyonun çıktısı olan f(x) değeri, x yerine yazılan sayıya bağlı olarak değişir. 

 

Polinomların tanım kümesi gerçek sayılardır; çünkü polinomlarda kök, payda ya da mutlak değer gibi kısıtlayıcı ifadeler yoktur. Bu nedenle her gerçek sayı için polinom fonksiyonunun bir değeri vardır. Buna karşılık g(x)=1/x veya h(x)=√(x−2) gibi ifadeler tanım kümesi paydasına ve kök içine göre kısıtlandığında fonksiyon olurken polinom değildir; çünkü bu tür fonksiyonlarda tanım kümesi; g(x) için x≠0 şeklinde h(x) için de x≥2 şeklinde kısıtlanır. Bu karşılaştırma, polinom fonksiyonlarının neden tüm gerçek sayılarda tanımlı ve grafiklerinin neden kesintisiz olduğunu açıkça gösterir. Buna göre polinom fonksiyonları süreklidir ve grafikleri kesintisiz eğriler şeklinde olur. Polinomlarda x değerleri sürekli değişirken değerler de kopukluk veya ani sıçramalar olmaz. Bu yüzden polinom fonksiyonlarının grafikleri parçalılık, boşluk, kopukluk ya da delik içermez. Fonksiyonlarda ise kesikli şekiller, boşluklar veya parçalı grafikler de görülebilir. Sonuç olarak, Her polinom, bir fonksiyon tanımlar; ancak her fonksiyon polinom değildir.  

Ebu Bekir el-Kereci

Ebu Bekir Muhammed bin Hasen (Hüseyin) el-Kerecî (yaklaşık 953–1029), 10. ve 11. yüzyıllarda yaşamış İranlı matematikçi ve bilim insanıdır. Tahran yakınlarındaki Kerec'de doğduğu veya ailesinin bu bölgeden geldiği, hayatının büyük bölümünü ise Büveyhîler döneminde Bağdat'ta geçirdiği kabul edilmektedir. Cebiri geometrik yöntemlerden bağımsız hâle getirerek modern cebirin gelişimine önemli katkılar sağlamış, bilinmeyenlerin cebirsel işlemlerle çözümünü sistematik bir biçimde ele almıştır. Özellikle üsler, polinomlar, binom katsayıları ve belirsiz denklemler üzerine yaptığı çalışmalar, cebirin gelişiminde önemli bir dönüm noktası olmuştur. Ayrıca binom katsayılarını üçgensel bir düzen içinde inceleyerek günümüzde Pascal Üçgeni olarak bilinen yapının en eski sistematik örneklerinden birini ortaya koymuş ve matematiksel tümevarım yönteminin ilk uygulamalarından sayılan ispatlar geliştirmiştir. 

El-Kerecî'nin özellikle üsler, polinomlar, binom katsayıları ve belirsiz denklemler üzerine yaptığı çalışmalar, modern cebirin gelişiminde önemli bir dönüm noktası olmuştur. Pozitif ve negatif tam sayı üslerinin kurallarını sistematik olarak incelemiş, polinomlar üzerinde toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini geliştirmiş ve cebirsel ifadelerin geometrik yorumlara ihtiyaç duyulmadan ele alınabileceğini göstermiştir. Ayrıca binom katsayılarının üçgensel düzenini sistematik olarak inceleyerek günümüzde Pascal Üçgeni olarak bilinen yapının en eski örneklerinden birini ortaya koymuş, binom teoremi ve doğal sayıların kuvvet toplamları üzerine araştırmalar yapmıştır.

El-Kerecî yalnızca matematik alanında değil, mühendislik ve uygulamalı bilimlerde de önemli çalışmalar yapmıştır. Yer altı sularının bulunması, su kaynaklarının değerlendirilmesi ve su yapılarının inşası üzerine eserler kaleme almış; bina, köprü ve kanal yapımı gibi mühendislik konularıyla ilgilenmiştir. Yer altı suları üzerine yazdığı *Kitâbü İnbâṭi'l-Miyâhi'l-Ḫafiyye*, hidrolik ve hidrojeoloji alanında günümüze ulaşan en eski eserlerden biri olarak kabul edilmektedir. Ayrıca geometri, aritmetik, kök hesapları, alan ve hacim hesaplamaları ile astronomi üzerine de çalışmalar yapmıştır. Matematik tarihinde, cebiri bağımsız bir bilim dalı hâline getiren ve cebirsel düşüncenin gelişmesine öncülük eden en önemli bilim insanlarından biri olarak değerlendirilmektedir.

El-Kerecî'nin başlıca eserleri:
el-Faḫrî fi’l-Cebr ve’l-Muḳābele
el-Kâfî fi’l-Ḥisâb
el-Bedîʿ fi’l-Ḥisâb
ʿİlelü Ḥisâbi’l-Cebr ve’l-Muḳābele
Kitâbü İnbâṭi’l-Miyâhi’l-Ḫafiyye
Kitâbü’l-Eczâr
Muḫtaṣar fi’l-Ḥisâb ve’l-Misâḥa
Kitâb fî Ḥisâbi’l-Hind
Kitâbü’l-İstiḳrâʾ
el-Medḫal ilâ ʿİlmi’n-Nücûm
Risâle fi’l-Ḫaṭaʾeyn
Nevâdirü’l-Eşkâl
Kitâbü’d-Devr ve’l-Veṣâyâ
Kitâb fi’l-ʿUḳūd ve’l-Ebniye

Kaynakça: El-Kereci, TDV İslâm Ansiklopedisi, Melek Dosay Gökdoğan, (https://islamansiklopedisi.org.tr/kereci)

Roma Rakamları

Roma rakamları, eski Roma döneminde kullanılan bir sayı sistemidir. Bu sistemde sayılar, Latin (Roma) alfabesinden gelen harflerle (sembollerle) gösterilir. Romalılar bu sistemi, tahminen MÖ 5. yüzyıldan itibaren kullanmaya başlamıştır. Roma rakamları, Roma devletinden önce İtalya’da yaşayan Etrüsklerin sayı sisteminden gelmiştir. İtalyan tarihçi ve dilbilimci profesör Mario Alinei'ye göre Etrüskler bir Türk halkıdır. 

Roma rakamları, başlangıçta daha basit ve sınırlı kullanımda iken Roma İmparatorluğu büyüdükçe sayı sistemi standartlaşmış ve tüm imparatorlukta kullanılmaya başlanmıştır. Roma İmparatorluğu döneminde bu sayı sistemi; ticaret, askerî kayıtlar, mühendislik, mimari işler ve resmi belgelerde yaygın şekilde kullanılmıştır.

 

Roma rakamlarında kullanılan temel semboller şunlardır:  

I = 1 

V = 5

X = 10

L = 50 

C = 100 

D = 500

M = 1000 

 

Romalılar için Roma rakamlarının kullanımının en önemli özelliği, hesap yapmaktan ziyade, yazı ve kayıt tutmaya uygun olmasıdır. Bu sistem taşlara, mermerlere kazınmaya elverişliydi çünkü düz çizgilerden oluşan semboller (I, V, X gibi) kolayca sert cisimlere oyulabiliyordu. Ayrıca resmî belgelerde büyük sayılar gerekmediği için bu rakamlar rahatlıkla kullanılabiliyordu. Az sayıda sembolden oluştuğu için kolayca gündelik işlemlerde yazılıyordu. Bu yüzden Roma rakamları, daha çok gösterim ve kayıt amaçlı olarak uzun yıllar boyunca kullanılmıştır. 

Roma rakamları, belirli kurallara göre yazılır. Semboller yan yana yazılarak sayı grupları oluşturulur. 

Roma rakamları ile bir sayı yazılırken sağdaki daha küçük veya eşit değerli sembol yanına yeni bir sayı eklenirse değerleri toplanır.(XII=12) Daha küçük sayı daha büyük sayının önüne gelirse çıkarma yapılır. (IV=4) 

Bir sayının üstüne çizgi (üstçizgi/vinculum) konursa değeri 1000 ile çarpılır. 

Genellikle aynı sembol art arda en fazla üç kez yazılır.

Roma rakamları ile çok büyük sayıların yazımı pratik ve kullanışlı değildir. 

Roma rakamlarında “0” kavramı hiç yoktur. Bu yüzden matematiksel işlemlerde sınırlıdır.

Kesirli sayılar veya ondalık sistemlerin Roma rakamlarında pratik kullanımı yoktur. 

Bir Gezi Rotası: Perge-Kekova (Likya Yolu)

Din öğretimi genel müdürlüğünün yaz etkinlikleri kapsamında Antalya'nın Kumluca ilçesine yolumuz düştü. Likya yolu diye tabir edilen, Roma ve Likya Medeniyetinden kalma Antik Şehirleri bu vesileyle gezme isteği bir anda hasıl oldu. Bunun için güzergah olarak Aksu Perge'yi başlangıç olarak seçtik. Buradan hareketle Antalya'nın batı ilçeleri yolundaki antik şehirleri hem gezip hem ibret almak için güzel bir gezi planladık. İlk önce Antalya merkeze uzaklığı 18 km olan en yakın ilçesi Aksu sınırlarında bulunan Perge'ye uğradık. Buralara şahsi vasıta ile geldiğimiz için ulaşım konusunda sıkıntı çekmedik. Toplu ulaşımla da Aksu'ya daima Antalya merkezden otobüs bulmak mümkün. Aksu'ya geldikten sonra Perge'ye ulaşmak da sanıldığı kadar zor değil. Perge bu haliyle bile ihtişamını koruyan antik bir Roma şehri. Tiyatrosu, stadyumu, su kanalı ve şehrin cazibesini yansıttığını düşündüğümüz dükkan ve ev kalıntıları ile gezilip görülmesi gereken bir şehir.

Trigonometrik Değerler Tablosu

Dar açıların trigonometrik değerleri hesap makinesi yardımıyla bulunabileceği gibi trigonometrik değerler cetvelinden de bulunabilir. Bunun için cetvelde öncelikle açı değeri bulunu ve sin, cos, tan ve cot sütunu le kesiştirilerek ifadenin karşılığı bulunmuş olur. Hesap makineleri ile trigonometrik fonksiyonların kolayca bulunabilir. Excel tablosundan bir açının trigonometrik değerlerini, açıyı radyan cinsinden girecek şekilde komut yazıp bulabilirsiniz. [Mesela B2 hücresindeki bir sayısal değerin sinüsünü bulmak için excel'de istediğiniz bir hücre içine =SİN(RADYAN(B2)) şeklinde bir komut yazabilirsiniz]

 

Tanjant ve Kotanjant değişim cetveli için tıklayınız. 

Konya Gezi Rehberi

Bir tatil günü vesilesiyle, Selçuklu Başkenti Konya'yı gezelim ve gezi tecrübelerimizi, gezi hatıralarımızı nakledelim istedik. Sevgili peygamberimiz Hz. Muhammed (s.a.v)'in "Seyahat edin, sıhhat bulun. Yola çıkın sıhhat bulun." (Ahmet b. Hanbel, 3/280; Aclunî, 1/445, Mecmau’z-Zevaid, 5/210) Şeklindeki hitaba mazhar olabilmek, "tebdili mekanda ferahlık vardır" sözün hikmetine vakıf olabilmek gayesiyle yol hazırlığımızı yaptık ve sabahın nuruyla  erkenden yola koyulduk. İlk önce Konya'nın merkezde medfun manevi önderleri, Sadreddin Konevi, Şemsi Tebrizi, Mevlana Celaleddin Rumi,  türbe ziyaretlerini gerçekleştirdik. Sadreddin Konevi ziyaretgahı, diğerlerinden farklı olarak Meram ilçesinde, diğer iki türbe de Karatay ilçesinde yer alır. Planlamanızı buna göre yaparsanız karışıklık yaşamazsınız.

2018 TYT-AYT Matematik Soru Dağılımı

2018 TYT sınavında toplam 120 soru soruldu ve 120 soru için, 135 dakikada süre verildi. TYT’de Türkçe testi için 40 soru, Sosyal Bilimler testi; Tarih (5), Coğrafya (5), Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi (5), Felsefe (5) derslerinden olmak üzere toplamda 20 soru soruluyor. Temel Matematik Testi için 40 soru sorulmuştur. Fen Bilimleri testinde ise (Biyoloji, Fizik ve Kimya) Fizik 7 soru, Kimya 7 soru, Biyoloji 6 soru olmak üzere 20 soru soruldu.

2018 AYT Matematik Soruları ve Çözümleri

YKS'nin birinci oturumu olan Temel Yeterlilik Testi (TYT) 30 Haziran Cumartesi, ikinci oturumu Alan Yeterlilik Testi (AYT) ile Yabancı Dil Testi (YDT) de 1 Temmuz Pazar gerçekleştirildi. TYT'de Türkçe testinden 40, Sosyal Bilimler testinden 20, Temel Matematik testinden 40, Fen Bilimleri testinden 20 olmak üzere toplam 120 soru yöneltildi. AYT'de ise adaylar Türk Dili ve Edebiyatı-Sosyal Bilimler-1 testinden 40, Sosyal Bilimler-2 testinden 40, Matematik testinden 40, Fen Bilimleri testinden 40 soru, YDT'de ise 80 soru çözdü. AYT Sınav süresi ise 180 dk oldu. 

2018 AYT Matematik testi soruları genel anlamda iyi hazırlanmış ayırt edici nitelikteki sorulardan oluşmuştur. Bazı soruların çözümleri çok kısa zaman dilimine sığarken bazı soruların işlem kalabalığı nedeniyle uzun zaman diliminde çözülmesini gerektirmiştir. Sorular bütün matematik ünitelerini kapsayacak biçimde hazırlanmış olmakla birlikte akıl yürütmelerin yer aldığı klasik sorulardan farklı soru tiplerini de içerisinde barındırmıştır. Sorular verilen süre içerisinde rahatlıkla yapılabilecek şekildedir. Zorluk düzeylerine göre iyi çalışmış konuya hakim öğrencilerin yapabileceği sorulardan oluşmuştur. Konu bütünlüğü olmayan sadece test çözüp cevap bulmaya odaklı öğrencilerin ise zorlanacağı bir test konumunda olmuştur.

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

https://www.osym.gov.tr/TR,15134/2018-yks-tyt-ayt-ydt-temel-soru-kitapciklari-ve-cevap-anahtarlari.html

2018 AYT Matematik Testi sorularına ve çözümlerine (PDF) ulaşmak için tıklayınız.

2018 TYT Matematik Soruları ve Çözümleri

TYT sınavında toplam 120 soru soruldu ve 120 soru için, 135 dakikada süre verildi. TYT’de Türkçe testi için 40 soru, Sosyal Bilimler testi; Tarih (5), Coğrafya (5), Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi (5), Felsefe (5) derslerinden olmak üzere toplamda 20 soru soruluyor. Temel Matematik Testi için 40 soru sorulmuştur. Fen Bilimleri testinde ise (Biyoloji, Fizik ve Kimya) Fizik 7 soru, Kimya 7 soru, Biyoloji 6 soru olmak üzere 20 soru soruldu. 
2018 TYT Temel Matematik sınavı genel itibariyle geçmiş yıllara nazaran daha fazla akıl yürütmenin gerektiği ayırıcı nitelikteki sorulardan oluşmuştur. Klasik tarzda soruların az olması sebebiyle öğrencilerimiz soruları anlayıp süreyi de iyi kullanıp çözmeye çabalamışlardır. Soruların okuduğunu anlamaya yönelik olması sebebiyle matematiksel okuma becerisinin gelişmiş olması temel istenen yeterliliktir. Sorular aşırı zor olmamakla birlikte içerik olarak öğrencilerin dikkatini ve süreyi doğru kullanma becerisini ölçmeye odaklı olarak hazırlanmıştır.

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

https://www.osym.gov.tr/TR,15134/2018-yks-tyt-ayt-ydt-temel-soru-kitapciklari-ve-cevap-anahtarlari.html

  

TYT 2018 Temel Matematik Testi PDF soru çözümlerine ulaşmak için tıklayınız. 

İslam Bilim Tarihçisi Fuat Sezgin

Prof. Dr. Fuat Sezgin (24 Ekim 1924 – 30 Haziran 2018), İslam bilim ve teknoloji tarihi alanında yaptığı araştırmalarla dünyanın önde gelen bilim insanlarından biri olmuştur. Fuat Sezgin, 24 Ekim 1924’te Bitlis’te doğmuştur. 1947 yılında İstanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi Arap ve Fars Filolojisi’nden “Bedî’ İlminin Tekâmülü ve İstanbul’da Bulunan Bedîiyyat Yazmalar Kataloğu” başlıklı lisans bitirme teziyle mezun olmuştur. Aynı üniversitenin Edebiyat Fakültesi Şarkiyat Enstitüsü’nde, İslami bilimler ve oryantalistik alanında önemli bir yere sahip olan Alman oryantalist Hellmut Ritter’in yanında öğrenim görmüştür. Doktora tez çalışmasını, Arap dili ve tefsir ilimleri âlimi Ebû Ubeyde Ma‘mer İbn el-Müsenna et-Teymî’nin (ö. 210/824-5) “Mecâzü’l-Kur’ân” adlı tefsiri üzerine yapmıştır. Tezde, Kur’ân-ı Kerîm’de gerçek anlamı dışında kullanılan mecazî ifadeleri konu edilmiştir. 1950 yılında tamamlanan bu çalışma, Kur’an’da mecazın bilinçli ve sistemli bir şekilde kullanıldığını ortaya koymuştur. Ayrıca, erken dönem İslami ilimlerdeki dilsel ve edebî analizlerin gelişmişliğine de ışık tutmuştur. Tezinin kabulüyle birlikte akademik çalışmalarına yoğun biçimde devam etmiş; Arap dili, tefsir, hadis ve bilim tarihi alanlarında pek çok eser kaleme almıştır. Kısa sürede alanında saygın bir akademisyen hâline gelmiştir.

1950 yılında, doktoraya devam ettiği İstanbul Üniversitesi’nden ayrılarak Ankara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi’nde asistanlık görevine başlamıştır. Burada, Prof. Muhammet Tayyib Okiç’in başında bulunduğu Dogmatik İlimler Kürsüsü’nde (Temel İslam Bilimleri Bölümü) ilk asistanlardan biri olmuştur. Bu görevini 1953 yılına kadar sürdürmüştür. Aynı dönemde askerlik hizmetini yedek subay olarak ifa etmiştir. Asistanlık yıllarında, doktora tezinde incelediği Mecâzü’l-Kur’ân’ı yayımlamak amacıyla bir süre Kahire’de bulunmuştur. 1953 yılında, İstanbul Üniversitesi’ne dönmek üzere Ankara’daki görevinden ayrılmıştır. 28 Şubat 1953 tarihinde, İstanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi bünyesindeki Umumi Türk Tarihi Kürsüsü’nde, Prof. Zeki Velidi Togan’ın başkanlığında asistan olarak göreve başlamıştır. Bu dönemde araştırmalarını sürdürürken, Buhârî’nin hadis kitabındaki bazı bölümlerin Mecâzü’l-Kur’ân’dan alındığını fark etmiştir. Buhârî’nin yazılı kaynaklardan yararlandığını ortaya koymuş; böylece, hadis derlemelerinin yalnızca sözlü geleneğe dayandığını savunan oryantalist tezleri geçersiz kılmıştır.

Prof. Dr. Hellmut Ritter’in danışmanlığında hazırladığı “Buhârî’nin Kaynakları Hakkında Araştırmalar” adlı doçentlik tezini Fuat Sezgin 1956 yılında yayımlamıştır. Bu çalışmasında, Buhari’nin derlediği hadislerin sözlü değil, erken dönem İslam kaynaklarına ve hatta 7. yüzyıla kadar uzanan yazılı metinlere dayandığını öne sürmüştür. Bu tez, hâlâ Avrupa merkezli oryantalist çevrelerde tartışılmaya devam etmektedir. 1954 yılında, İstanbul Üniversitesi İslam Araştırmaları Enstitüsü’nde doçent olmuştur. 27 Mayıs 1960 askeri darbesi sırasında üniversiteden uzaklaştırılan ve “147’ler” olarak bilinen akademisyenler arasında yer almıştır. Bir valizle yurt dışına çıkmak zorunda kalmış; Almanya’ya giderek akademik çalışmalarına burada devam etmiştir. Aynı alanda çalışan bazı oryantalistlerin kıskançlıklarıyla karşılaşmış ancak karşılaştığı tüm zorluklara rağmen bilimsel çalışmalarından vazgeçmemiştir. Bu dönemde yaşadığı sıkıntılara dair, “Ben şuna inanmıştım artık: Tüm musibetler karşısında sadece Allah’a inanacaksın, başka hiçbir şeye değil.” sözlerini söylemiştir. Fuat Sezgin, Süryanice, İbranice, Latince, Arapça ve Almanca dâhil 27 dili çok iyi derecede biliyordu. Prof. Dr. Fuat Sezgin, Arapça yazma eserler literatürüne dair kapsamlı bir çalışma olan en öenmli eseri Arap-İslam Bilim Tarihi adlı eserinde; Kur’an ilimleri, hadis ilimleri, tarih, fıkıh, kelam, tasavvuf, şiir, tıp, farmakoloji, zooloji, veterinerlik, simya, kimya, botanik, ziraat, matematik, astronomi, astroloji, meteoroloji ve bu alanlarla ilişkili konular; dil bilgisi, matematiksel coğrafya, İslam’da kartografya (haritacılık) ve İslam felsefe tarihi gibi birçok konuyu ele almıştır. Almanya’da kurduğu Arap-İslam Bilimleri Tarihi Enstitüsü için bilimsel araç ve gereçlerin birebir benzerlerini yaptırarak, bu modellerin 25 Mayıs 2008 tarihinde Kültür ve Turizm Bakanlığı’na bağlı olarak açılan İstanbul İslam Bilim ve Teknoloji Müzesi'nde sergilenmesini sağlamıştır. 

Prof. Dr. Fuat Sezgin, 30 Haziran 2018 tarihinde İstanbul’da 93 yaşında vefat etmiştir. Cenazesi, Fatih Camii’nde kılınan namazın ardından, Gülhane Parkı içerisindeki İslam Bilim ve Teknoloji Tarihi Müzesi'nin önünde ayrılan alana defnedilmiştir. Allah rahmet eylesin, çalışmalarını mizanına koysun. 

Trigonometri Cetveli ve Tanjant Değişim Tablosu

Trigonometrik değerler tablosu, 0 ila 360 derece arasında belirli bir açı için trigonometrik fonksiyonların hesaplanmış değerlerini içerir. Geniş açıların trigonometrik değerleri dar açıya dönüştürülerek hesaplanır. Genellikle 0 ile 90 dereceden oluşan açıların yer aldığı trigonometri tabloları kullanımda yaygınlık kazanmıştır.

Teknik resim çizimlerinde de sıklıkla trigonometri cetvellerinden yararlanılır. Tanjant ve kotanjant değişimleri için de trigonometri cetvelleri kullanılır. Örneğin torna hesap işlemlerinde tanjant cetvelleri kullanılır. Tanjant cetvelleri, geçmişte trigonometrik hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanılan trigonometrik değer tablolarıdır. Bu cetvellerde, belirli açılara karşılık gelen tanjant (tan) değerleri yazılıdır. Tanjant, dik üçgenlerde bir açının karşısındaki dik kenarın, komşu dik kenara oranıdır. Yani bir açının tanjantını bulmak demek, eğim hesaplamak demektir. Eskiden hesap makineleri veya bilgisayarlar yaygın olmadığı için, bu tür trigonometrik hesaplamalar elle yapılırdı. Bu nedenle tanjant cetvelleri, mühendisler, haritacılar, mimarlar ve matematikçiler için çok önemliydi. Örneğin bir üçgende bir açının tanjantını bilerek diğer kenar uzunluklarını hesaplamak mümkündür. Tanjant cetveli sayesinde açının tanjant değeri kolayca bulunur, sonra bu değer kullanılarak problem istenen uzunlukta parça kesimleri yapılabilir.

Tanjant cetvelleri genellikle derece (°) cinsinden açılar için hazırlanır. Örneğin 30°, 45°, 60° gibi açılar için tanjant değerleri cetvelde yer alır. Derecenin alt birimleri olan dakika cinsinden de tanjant cetvelleri oluşturulabilir. Bu sayede daha hassas ölçümler yapılabilir. Tanjant cetveli kullanıcısı, açıyı cetvelden bulup karşısındaki değeri alarak hesaplama işlemine devam eder ve böylece istediği açı sonucunu bulabilir. Kısacası, tanjant cetvelleri trigonometrik işlemleri kolaylaştırmak için kullanılan açılar ve onların tanjant değerlerini gösteren tablolardır. Günümüzde artık pek kullanılmasalar da geçmişte matematiksel hesaplamalarda önemli bir yere sahip olmuştur.

Örneğin torna veya benzeri işlemlerde, konik bir parçanın yüzey eğim açısını bulmak için tanjant cetveli kullanılır. Büyük çap ile küçük çap arasındaki fark, uzunlukla orantılanır ve buradan tanjant değeri bulunur. Böylece cetvel yardımıyla gereken eğim açısı hesaplanmış olur. Bu işlem için genel bir formül vardır: 

Büyük Çap (R) Küçük Çap:(r) Konik Boyu (L) olmak üzere ß açısının tanjant değeri: tanjantß=(R-r)/2*L formülü ile bulunur. Bu formülden yararlanarak şöyle bir hesaplama yapılabilir: Büyük çap 60mm, küçük çap 35 mm ve konik boyu 20 mm için hesaplama: tanjantß=(60-35)/2*20 buradan tanjantß=0,625 olur ki aşağıdaki tanjant değişim tablosundan da görüleceği gibi ß açısı yaklaşık 32 derece olur.

TANJANT DEĞİŞİM CETVELİ (PDF)

DERECE	TANJANT dakikaları  0° ... 45°
	0'	10'	20'	30'	40'	50'	60'
0	0.0000	0.0029	0.0058	0.0087	0.0116	0.0145	0.0175	89
1	0.0175	0.0204	0.0233	0.0262	0.0291	0.0320	0.0349	88
2	0.0349	0.0378	0.0407	0.0437	0.0466	0.0495	0.0524	87
3	0.0524	0.0553	0.0582	0.0612	0.0641	0.0670	0.0699	86
4	0.0699	0.0729	0.0758	0.0787	0.0816	0.0846	0.0875	85
5	0.0875	0.0904	0.0934	0.0963	0.0992	0.1022	0.1051	84
6	0.1051	0.1080	0.1110	0.1139	0.1169	0.1198	0.1228	83
7	0.1228	0.1257	0.1287	0.1317	0.1346	0.1376	0.1405	82
8	0.1405	0.1435	0.1465	0.1495	0.1524	0.1554	0.1584	81
9	0.1584	0.1614	0.1644	0.1673	0.1703	0.1733	0.1763	80
10	0.1763	0.1793	0.1823	0.1853	0.1883	0.1914	0.1944	79
11	0.1944	0.1974	0.2004	0.2035	0.2065	0.2095	0.2126	78
12	0.2126	0.2156	0.2186	0.2217	0.2247	0.2278	0.2309	77
13	0.2309	0.2339	0.2370	0.2401	0.2432	0.2462	0.2493	76
14	0.2493	0.2524	0.2555	0.2586	0.2617	0.2648	0.2679	75
15	0.2679	0.2711	0.2742	0.2773	0.2805	0.2836	0.2867	74
16	0.2867	0.2899	0.2931	0.2962	0.2994	0.3026	0.3057	73
17	0.3057	0.3089	0.3121	0.3153	0.3185	0.3217	0.3249	72
18	0.3249	0.3281	0.3314	0.3346	0.3378	0.3411	0.3443	71
19	0.3443	0.3476	0.3508	0.3541	0.3574	0.3607	0.3640	70
20	0.3640	0.3673	0.3706	0.3739	0.3772	0.3805	0.3839	69
21	0.3839	0.3872	0.3906	0.3939	0.3973	0.4006	0.4040	68
22	0.4040	0.4074	0.4108	0.4142	0.4176	0.4210	0.4245	67
23	0.4245	0.4279	0.4314	0.4348	0.4383	0.4417	0.4452	66
24	0.4452	0.4487	0.4522	0.4557	0.4592	0.4628	0.4663	65
25	0.4663	0.4699	0.4734	0.4770	0.4806	0.4841	0.4877	64
26	0.4877	0.4913	0.4950	0.4986	0.5022	0.5059	0.5095	63
27	0.5095	0.5132	0.5169	0.5206	0.5243	0.5280	0.5317	62
28	0.5317	0.5354	0.5392	0.5430	0.5467	0.5505	0.5543	61
29	0.5543	0.5581	0.5619	0.5658	0.5696	0.5735	0.5774	60
30	0.5774	0.5812	0.5851	0.5890	0.5930	0.5969	0.6009	59
31	0.6009	0.6048	0.6088	0.6128	0.6168	0.6208	0.6249	58
32	0.6249	0.6289	0.6330	0.6371	0.6412	0.6453	0.6794	57
33	0.6494	0.6536	0.6577	0.6619	0.6661	0.6703	0.9745	56
34	0.6745	0.6787	0.6830	0.6873	0.6916	0.6959	0.7002	55
35	0.7002	0.7046	0.7089	0.7133	0.7177	0.7221	0.7265	54
36	0.7265	0.7310	0.7355	0.7400	0.7445	0.7490	0.7536	53
37	0.7536	0.7581	0.7627	0.7673	0.7720	0.7766	0.7813	52
38	0.7813	0.7860	0.7907	0.7954	0.8002	0.8050	0.8098	51
39	0.8098	0.8146	0.8195	0.8243	0.8292	0.8342	0.8391	50
40	0.8391	0.8441	0.8491	0.8541	0.8591	0.8642	0.8693	49
41	0.8693	0.8744	0.8796	0.8847	0.8899	0.8952	0.9004	48
42	0.9004	0.9057	0.9110	0.9163	0.9217	0.9271	0.9325	47
43	0.9325	0.9380	0.9435	0.9490	0.9545	0.9601	0.9657	46
44	0.9657	0.9713	0.9770	0.9827	0.9884	0.9942	1.0000	45
	60'	50'	40'	30'	20'	10'	0'	DERECE
KOTANJANT dakikaları  45° ... 90°