Bir merkez etrafında dönme

Bir nokta veya cisim, sabit bir merkeze bağlı olarak çember şeklinde hareket eder, merkezden geçen çizgi (yarıçap) belli bir açı kadar dönerek noktanın veya cismin yeni konumunu belirler, bu açı zamanla artarsa açısal hız oluşur ve nokta çember boyunca yol alır. Bir nokta P(x,y) merkez O(0,0) etrafında α açısı kadar döndüğünde yeni koordinatları x' = x.cos(α) - y.sin(α), y' = x.sin(α) + y.cos(α) olur, eğer dönme merkezi C(h,k) olursa bu yeni koordinatlar; x' = h + (x - h).cos(α) - (y - k).sin(α), y' = k + (x - h).sin(α) + (y - k).cos(α) şeklinde ifade edilir.

Örnek: A(1,4) noktasını orjin etrafında 30 derece döndürüldüğünde yeni koordinatlar ne olur?

Çözüm:  A(1,4) noktasını orjin etrafında 30 derece döndürüldüğünde yeni koordinatlaı bulmak için x' = x.cos(α) - y.sin(α), y' = x.sin(α) + y.cos(α) formülünü kullanalım. Döndürme açısı olarak 30 dereceyi formüldeki (α) yerine yazalım.

 

Herhangi bir A(x,y) noktası, orijin etrafında özel açılarla (saat yönünün tersine pozitif açılarla) dönerse bu açılarda koordinatlar ve işaretler dönme durumuna göre değişir: 

90°  A(x,y)→ A'(-y,x), 

180° A(x,y)→ A'(-x,-y), 

270° A(x,y)→ A'(y,-x), 

360° A(x,y)→ A'(x,y) olur. 

Herhangi bir A(x,y) noktası, orijin etrafında özel açılarla (saat yönünde, negatif açılar) dönerse bu açılarda koordinatlar ve işaretler dönme yönüne göre değişir:
-90° A(x,y) → A'(y,-x),
-180° A(x,y) → A'(-x,-y),
-270° A(x,y) → A'(-y,x),
-360° A(x,y) → A'(x,y) olur.

 

Bir cismin dönme sonucunda sadece konumu değişir. Büyüklüğünde veya şeklinde bir değişme meydana gelmez. Örneğin bir doğru parçası, merkez olarak orijin etrafında özel açılarla döndürüldüğünde doğru parçasının konumu değişir. Buna bağlı olarak koordinatlar belirlenir. Doğru parçası şekli aynen kalır.

 

Örnek: A(1,2) noktası,  B(-4,1) noktası etrafında 90 derece döndürülürse yeni koordinatlar ne olur?

Çözüm: Merkez noktası orijinden farklı olduğu için ikinci formülü x' = h + (x - h).cos(α) - (y - k).sin(α), y' = k + (x - h).sin(α) + (y - k).cos(α) kullanmamız gerekir.  Formülde A(1,2) ve B(-4,1) noktaları için h=−4, k=1, x=1, y=2, cos90° =0, ve sin90° =1 değerleri yerlerine yazılmalıdır. Bunun yerine aynı soruyu formül kullanmadan, orijine göre noktayı öteleyerek yeni koordinatları bulduktan sonra buna göre döndürme işlemi ile de döndürülmüş koordinatları bulabiliriz. A(1,2) noktasını B(-4,1) etrafında +90° döndürmek için önce A'yı merkeze göre kaydıralım: (1+4, 2-1) = (5,1), sonra orijin etrafında +90° döndürelim: (-1,5), sonra bulduğumuz koordinatları geri öteleyerek işlemi tamamlayalım: (-1-4, 5+1) = (-5,6) sonucu elde edilir. A' = (-5,6) Yani A(1,2) noktası B(-4,1) noktası etrafında 90 derece döndürülürse yeni koordinatlar: A' = (-5,6) bulunur.