Bir paralelkenarda, alan hesabı için taban uzunluğu ve yükseklik bilinmelidir. Paralelkenarın yüksekliği, paralelkenar içerisinde bir köşeden karşı kenara dik uzaklık olarak çizilebileceği gibi, o kenarın uzantısına da çizilebilir.
Paralelkenar Özellikleri
Paralelkenar, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir.
Eşlik ve Benzerlik Teoremleri
Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 
Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı
Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği hakkında detaylı açıklama ve geometrik yorumu için aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz. (Bkz. Üçgen eşitsizliği)
Üçgen Eşitsizliğinin Cebirsel İspatı:Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu mutlak değer ve eşitsizlik kavramları ile birlikte:||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y|şeklinde ifade edilir ve mutlak değer teoremleri ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği yardımıyla ispatlanır.
Aşağıda verilen teoremler, alt alta sırayla incelendiğinde, bütün bu teoremlerin birlikte sonucu olarak cebirsel üçgen eşitsizliğine ulaşılır.
Üçgen eşitsizliği ve ispatı
**Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği, üçgenin bütün kenarları için ayrı ayrı uygulanmak zorundadır.
Üçgenin bütün kenarları, üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır. Eğer üçgenin herhangi bir kenarı üçgen eşitsizliğini sağlamazsa bu üçgen çizilemez. Üçgende kenar bağıntıları ile ilgili ayrıntılı yazımızı okumak için bağlantıya tıklayabilirsiniz.
https://muallims.blogspot.com/2021/03/ucgende-kenar-bagintilari.html
ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ GEOMETRİK İSPATI: Geometrik ispatını yapabilmek için herhangi bir ABC üçgeni çizelim. Bu üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük olduğunu göstermeliyiz. Bunun için her hangi bir kenarını örneğin a kenarını alalım. a<b+c olduğunu gösterebilirsek aynı işlemi diğer kenar uzunlukları içind uygulayabiliriz. Bu nedenle ABC üçgeninde c kenarına eşit olacak biçimde b kenarı doğrultusunda yeni bir c kenarı çizelim. Yani b kenarını c br kadar uzatalım. Yeni bir üçgen DBC üçgeni meydana gelir.
Çizilen DBC üçgeninde, |BC|=a ve |DC|=b+c olur. a kenarını D açısı görürken b+c kenarını da B açısı görmektedir. Buna göre kenar uzunluklarını karşılaştırmak için B ve D açılarını karşılaştırmak yeterli olacaktır. ADB üçgeni ikizkenar üçgendir. Buna göre taban açıları birbirine eşittir. Aşağıdaki şekilde bu ikiz olan açılar, m(CDB)=m(DBA)=x olarak işaretlenmiştir. m(ABC)= y olsun. Buna göre üçgende açılar yardımıyla, BAC açısı, m(BAC)=2x ve DBC açısı da m(DBC)=x+y ölçüsüne sahip olur. Dolayısıyla,m(DBA)<m(DBC) veya m(CDB)<m(DBC) olur.
Bir üçgende, daima büyük açı karşısında büyük kenar olacağından, DBC açısının karşısındaki kenar uzunluğu, CDB açısının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyük olacaktır. Buna göre a<b+c eşitsizliği doğrulanmış olur. Aynı şekilde diğer kenarlar da uzatılarak eşitsizlik bütün kenarlar için doğrulanmış olur. Aşağıda üçgenin bütün kenarları için üçgen eşitsizliği çizilerek gösterilmiştir.
**Geniş açılı bir üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır. Dik üçgendeki pisagor bağıntısı bu geniş açılı üçgende uygulandığı zaman, üçgen eşitsizliği ile birlikte pisagor bağıntıs kuralı da yazılır. Yani geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha büyük olur. Buna mukabil dar açılı bir üçgende de, dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha küçük olur.
**Dar ve geniş açılı üçgenlerde üçgen eşitsizliği yazıldıktan sonra, bazı durumlarda cosinüs teoremi de yazılarak uzunluğu bilinmeyen bir kenarın en küçük veya en büyük değerin bulunması sağlanabilir.
**Bazı üçgenlerde üçgenin bir açısı, dar veya geniş açılı olarak verilmeyebilir. Bu durumda üçgen eşitsizliği uygulandıktan sonra, bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak için, üçgenin yardımcı elemanları kullanılarak açının dar veya geniş açılı olma durumu tepit edilir buna göre pisagor bağıntısından yararlanarak kenar eşitsizliği yazılır. Özellikle ikizkenar üçgenlerde ikiz kenarlara ait bir dış açının geniş açılı olduğu unutulmamalıdır.
Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu ve ispatı ile ilgili olarak, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.
Üçgende Kenar Bağıntıları
Bir üçgenin çizilebilmesi için belirli şartlar vardır. Bu nedenle üçgen çizimlerini iki adımda inceleyebiliriz. Birincisi; verilen elemanlar üçgen olma özelliğini taşımalıdır. Yani üçgen eşitsizliği ve üçgende açı kenar bağıntıları kurallarına uygun olmalıdır. İkincisi ise, üçgenin çizilebilmesi için verilen elamanların bir üçgenin çizimi için yeterli olmasıdır. Yani üçgen temel çizim kurallarına uygun olmalıdır. Gerek birinci adımın gerek ikinci adımın ele alınmasından önce, ilk yapılması gereken şey, üçgenin belirli olup olmadığının belirlenmesi için bir taslak üçgen çizmek ve taslak üçgen üzerinde, üçgen olma kurallarına uygunluğu ve daha sonra da üçgenin belirli olma özelliği kontrol edilmelidir. Çizilmesi istenen üçgenlerin açı veya kenarları ile birlikte, açortay, kenarortay, yükseklik gibi yardımcı elemanları verilebilir. Bu durumda da temel üçgen çizim kuralları düşünülerek çizim yapılır. Gerekirse çizim yapılıp yapılamayacağı veya kaç farklı üçgen çizilebileceği kontrol edilerek irdelenir.İki kenar uzunluğu ve bir açısı verilen üçgen çizimlerinde; Büyük kenarın karşısındaki açı ölçüsü veriliyor ise tek bir üçgen çizimi vardır buna karşılık küçük kenarın karşısındaki açı ölçüsü veriliyorsa, verileri inceleyerek tek veya iki farklı üçgen çizilebildiğini ya da verilerin üçgen kurallarına uygun olup olmadığını irdelemek gerekir.
Bir üçgen, en az biri uzunluk olmak üzere en az 3 elemanı ile birlikte belirlenebilir/çizilebilir, aksi halde üçgen çizilemez veya belirli bir üçgen belirtmez. Açı, uzunluk veya üçgenin yardımcı elemanlarından az biri kenar olmak üzere, 3 ayrı eleman verildiği zaman üçgen çiziminden söz edilebilir. Buna göre bir üçgenin çizilebilmesi için şu çizilebilme sonuçlarına ulaşılır. İki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın oluşturduğu açının ölçüsü verilen üçgenler, çizilebilen üçgenlerdir. İki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu verilen üçgenler, çizilebilen üçgenlerdir. Üç kenar uzunluğu verilen üçgenler çizilebilen üçgenlerdir. Bu şekilde ulaşılan çizilebilme şartları (üçgenin belirli olması) ikinci adımda üçgen eşitsizliği ile kontrol edilmeli ve üçgenin çizimi konusunda nihai sonuca ulaşılmalıdır.
Üçgen çizimi ile ilgili yukarıdaki örnek incelendiğinde, iki kenar uzunluğu ve bir açı verilmiş olmasına rağmen belirli bir üçgenin çizilemediği görülür. Bu aşamadan sonra sonucun irdelenmesi, bu şartlarda bir üçgenin neden çizilemediği incelenmeli ve hangi durumlarda üçgenin çizilebileceği hangi durumlarda da belirli bir üçgenin çizilemeyeceği/ yada belirli olamayacağı tespit edilmelidir. Buna göre verilen kenar uzunluğu (örnekte c kenar uzunluğu) değiştirildiğinde üçgenin çizilip çizilemeyeceği ile ilgili bir yargıya ulaşmış oluruz. Aşağıda bu duruma örnek verilmiştir.
**Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, büyük kenar karşısında büyük açı bulunur. Dik üçgende en büyük açı 90 derece olduğu için hipotenüs en uzun kenar olacaktır. Bu durumda sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: Geniş açılı üçgenlerde en büyük kenar uzunluğu, geniş açının karşısındaki kenardır.
***Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği, üçgenin bütün kenarları için ayrı ayrı uygulanmak zorundadır. Üçgenin bütün kenarları, üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır. Eğer üçgenin herhangi bir kenarı üçgen eşitsizliğini sağlamazsa bu üçgen çizilemez. Üçgen eşitsizliğinin geometrik ve cebirsel ispatlarına aşağıdaki bağlantıyı kullanarak ulaşabilirsiniz. (Bkz. Üçgen Eşitsizliği)
**Orta Taban:Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru, üçüncü kenara paralel ve uzunluğu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir. Bu uzunluğa üçgende orta taban adı verilir. Esasında bu orta taban uzunluğu, benzer iki üçgenin benzerlik oranından yola çıkarak bulunmuş bir uzunluktur.
**Geniş açılı bir üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır. Dik üçgendeki pisagor bağıntısı bu geniş açılı üçgende uygulandığı zaman, üçgen eşitsizliği ile birlikte pisagor bağıntıs kuralı da yazılır. Yani geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha büyük olur. Buna mukabil dar açılı bir üçgende de, dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha küçük olur.
**Dar ve geniş açılı üçgenlerde üçgen eşitsizliği yazıldıktan sonra, bazı durumlarda cosinüs teoremi de yazılarak uzunluğu bilinmeyen bir kenarın en küçük veya en büyük değerin bulunması sağlanabilir.
**Bazı üçgenlerde üçgenin bir açısı, dar veya geniş açılı olarak verilmeyebilir. Bu durumda üçgen eşitsizliği uygulandıktan sonra, bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak için, üçgenin yardımcı elemanları kullanılarak açının dar veya geniş açılı olma durumu tepit edilir buna göre pisagor bağıntısından yararlanarak kenar eşitsizliği yazılır. Özellikle ikizkenar üçgenlerde ikiz kenarlara ait bir dış açının geniş açılı olduğu unutulmamalıdır.
**Bir üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir noktadan üçgenin köşelerine doğru parçaları çizildiğinde bu doğru parçalarının uzunlukları toplamı, üçgenin kenar uzunlukları toplamından (üçgenin çevresinden) küçüktür. Bir başka deyişle, üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir noktadan üçgen köşelerine çizilen doğru parçalarının uzunlukları toplamının iki katı üçgenin çevre uzunluğundan daha büyüktür. Bu durum üçgen eşitsizliğinin bir sonucudur. Rastgele bir nokta ile meydana gelen üç ayrı üçgende, üçgen eşitsizlikleri tek tek yazılıp toplanırsa bu sonuca ulaşılır.
**Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu kenara ait olan yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Bu nedenle; Alan formülünde a.ha = b.hb = c.hc olduğuna dikkat edilirse, bir üçgeninin kenarlarının uzunlukları ile yüksekliklerinin ters orantılı olduğu görülür. Yani kenar uzunluğu büyürse yükseklik küçülür. Veya tersi olarak kenar uzunluğu kısalırsa, yükseklik büyür.
Kenarortay Eşitsizliği: Üçgende herhangi bir kenara ait kenarortay uzunluğu, üçgenin diğer iki kenarının toplamının yarısından daima küçüktür.
**Bir üçgende kenarortay uzunluklarının toplamı, üçgenin yarı çevresinden büyük ve üçgenin çevresinden küçüktür.
B ve C dar açıların olduğu bir üçgende, eğer B açısının ölçüsü, C açısının ölçüsünden büyük ise, A kenarına ait yükseklik, açıortay ve kenarortay uzanlukları sırasıyla h yükseklik, n açıortay ve Va kenarortay olmak üzere; h<n<Va olarak sıralanır.
Kenarortay Eşitsizliği
Kenarortay Eşitsizliği: Üçgende herhangi bir kenara ait kenarortay uzunluğu, üçgenin diğer iki kenarının toplamının yarısından daima küçüktür.