Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar, (arcsin, arccos, arctan arccot) trigonometride değeri bilinen bir fonksiyon için o değeri veren açıyı bulmak için kullanılır. Yani “bir trigonometrik oranı verildiğinde, o orana sahip fonksiyon adını ve açıyı bulmak” için ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. Ters trigonometrik fonksiyonlar sadece soyut matematikte değil, mühendislikten fiziğe kadar birçok alanda kullanılır. Eğim açısı, fırlatma açısı, yansıma açısı gibi durumlarda kullanılır. Örneğin bir topu fırlatıldığında, topun hızı ve yer değiştirmesi biliniyorsa, atış açısını bulmak için arctan kullanılır. Örneğin Trigonometride cos değeri 1/2 olan açı için arccos(1/2) yazılır ve buradan 60⁰ açısı elde edilir.  GPS sistemlerinde iki nokta arasındaki açısal yön hesaplanırken ve nesnelerin yönünü, kameraların bakış açısını veya robot kollarının dönme açısını hesaplamak gibi sebeplerle ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. 

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyon olduğundan belirli aralıklarda tanımlanarak ters fonksiyonları bulunur. 

(Bkz. Periyodik Fonksiyonlar)

 

Sinüs Fonksiyonun Tersi

Bir fonksiyonun tersi olabilmesi için birebir (injective) ve örten olması gerekir. Birebir olma hali; tanım kümesindeki her x değeri için tek bir görüntüsü olmalıdır. Bir eleman sadece tek bir elemana eşlenmelidir.  Örtenlik için de değer kümesi ile  görüntü kümesi elemanları birbirine eşit olmalıdır. Buna göre sinüs fonksiyonu, tanımlandığı tüm reel sayılarda birebir değildir, çünkü periyodiktir. Dolayısıyla sinüsün tersini tanımlayabilmek için tanım aralığını birebir olacak şekilde kısıtlamamız gerekir. Sinüs fonksiyonunun birebir olduğu bir aralık olarak [- π/2, π/2] aralığı seçilebilir. Buna göre bu aralıktan [-1,1] aralığına sinüs ters fonksiyonu tanımlanır.

Peki sinüs farklı tanım aralıklarında da birebir ve örten olduğundan fonksiyonun tersini almak için neden özellikle  [-π/2, π/2] aralığı seçiliyor? Trigonometrik fonksiyonlar genellikle küçük açılarda hesaplama yapması daha kolaydır.  Birim çemberde 0 açısının yakınlarında artan ve azalan aralıklarını gösteren en küçük aralık [-π/2, π/2] aralığıdır. Taylor serileri, türev, integral, simetri ve limit gibi hesaplamalarda 0 civarında açılımlar ve tanımlamalar kullanılır. Ters fonksiyonun da 0 civarında tanımlı ve düzgün olması daha  anlamlıdır. Sinüs seçilen bu  [-π/2, π/2] aralıkta monoton artan, tek fonksiyondur. Grafiği de düzgün bir S eğrisidir. Dolayısıyla ters fonksiyonu da düzgün ve kolay yorumlanabilir bir şekli olur. Trigonometri, analiz, hesap makineleri, programlama dilleri gibi her yerde aynı ters tanımın kullanılması gerekir. Yani standartlaşma için tanım aralığının hep aynı seçilmesi gerekir. Aksi halde hesaplamalarda farklı sonuçlar elde edilir.

Cosinüs Fonksiyonun Tersi 

Kosinüs fonksiyonu da sinüs gibi periyodik bir fonksiyondur. Dolayısıyla kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda birebir değildir, bu yüzden tersini tanımlamak için aralığı kısıtlamamız gerekir. Kosinüs fonksiyonu, birebir olduğu [0, π] aralığında azalan bir fonksiyondur. Tanım kümesindeki her x için karşılığında sadece tek bir rileşme vardır yani bu aralıkta her y değerinin -1 ile 1 arasında tek bir x değeri vardır. Dolayısıyla tersi bu aralıkta tanımlanabilir.

Sinüs fonksiyonunda olduğu gibi, kosinüs için de başka birebir aralıklar seçilebilirdi. Ama en küçük aralık olan [0, π] aralığında cos(x) fonksiyonu monoton azalan ve birebirdir. Değerleri -1 ile 1 arasında tüm aralığı kapsar. Kosinüs ekseni üzerindeki açılar (birim çemberin üst kısmında) kullanıldığı için geometrik olarak daha doğal görünür. Ters türev alındığında türev pozitif işaretli olur. Tüm matematik ve mühendislik hesaplamalarında standartlaşma sağlar. Bu nedenle  [0, π] aralığında cos fonksiyonun tersi tanımlanır.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonların Tersi 

Tanjant ve kotanjant, tüm tanım aralıklarında bire bir değildir çünkü periyodik olduklarından aynı değeri birden fazla noktada alırlar. Bu yüzden terslerini tanımlayabilmek için tanım aralığını daraltmamız gerekir.

Tanx fonksiyonu, periyodik fonksiyon olduğu için tüm reel sayılar üzerinde birebir değildir. Bu yüzden, sin⁡(x) ve cos⁡(x) fonksiyonu gibi terslenebilir yapmak için  fonksiyonun 1-1 olduğu bir aralık seçmemiz gerekir. Tanjant fonksiyonunun 1-1 olduğu aralık olarak en yaygın (-π/2, π/2) aralığı kullanılır. Tanjant fonksiyonu, seçilen bu aralıkta tersi alınabilir.

Kotanjant fonksiyonu için bire bir olan standart aralık (0, π) olarak seçilir. Kotanjant fonksiyonu seçilen bu aralıkta tersi alınabilir. Kotanjant fonksiyonu, bu aralıkta sürekli ve monoton azalan bir fonksiyon olduğu için her değer için yalnızca bir karşılık verir. Bu yüzden ters fonksiyonu olan arkkotanjant, $(0, \pi)$ aralığında tanımlıdır ve fonksiyonun değer kümesini bu aralıkta alır. Böylece, kotanjantın tersini alırken bu aralık kullanılarak her değere karşılık gelen tek bir açı bulunabilir.

Aşağıda bazı trigonometrik fonksiyonların terslerinin alınmasıyla ilgili karışık örnekler verilmiştir. Ters alma işleminin genel mantığı buradaki örneklerde açıklanmıştır. Verilen bir fonksiyonun tersini bulmak ise klasik ters alma işlemi ile aynıdır. Yani fonksiyonda f(x)=y denilerek x değeri yalnız bırakılmaya çalışılır. En son x çekilirken trigonometrik fonksiyonlar için ters ibaresi olan "arc" kullanılır. Ters fonksiyon tanımından dolayı en sonunda x değişkenine bağlı olarak ters fonksiyon yazılır.

Ters trigonometrik fonksiyonlarda tanım kümesi bulunurken, fonksiyonun içindeki ifadenin ilgili ters trigonometrik fonksiyonun tanım aralığına uygun olması sağlanır ve bu koşuldan değişkenin alabileceği değerler belirlenir. Bu işlem, genellikle bir eşitsizlik kurularak yapılır ve bu eşitsizlik çözülerek değişkenin hangi aralıkta tanımlı olduğu bulunur. Böylece, fonksiyonun tanım kümesi o aralık olarak belirlenir. Bu yöntem, arcsin, arccos, arctan ve arccot gibi tüm ters trigonometrik fonksiyonlarda aynı mantıkla uygulanır. Her fonksiyonun kendi tanım aralığı dikkate alınarak, verilen ifadenin bu aralığa uygunluğu denetlenir ve buna göre tanım kümesi belirlenmiş olur.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, bazı durumlarda toplam-fark formülleriyle veya yarım açı formülleriyle birlikte kullanılabilir. Böyle durumlarda önce ters trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunur, yani hangi açıya karşılık geldikleri belirlenir. Daha sonra kullanılacak olan toplam veya fark formülü seçilerek yazılır. Bu formüldeki trigonometrik oranlar, verilen bilgiler veya çizilen üçgen yardımıyla yerine konur. Son adımda ise gerekli işlemler yapılarak istenen trigonometrik değer hesaplanır. Bu yöntem, özellikle birden fazla ters trigonometrik ifadenin yer aldığı sorularda işlemleri sadeleştirmek için kullanılır.