Diferansiyel kavramı

Türevlenebilir bir fonksiyonun belli bir aralıkta x değişkeninde meydana gelen sıfıra yakın değişim miktarı dx olmak üzere buna bağlı olarak y değişkeninde meydana gelen değişim miktarıdy ile gösterilirse; fonksiyonun değişim hızı dy/dx olarak ifade edilir.  

Fonksiyonun türevi f'(x)=dy/dx olarak gösterilirse; bu fonksiyonun x değişkenine göre türevi alınırsa dy/dx=f'(x) şeklinde ifade edilir. Türevi alınan fonksiyonda içler dışlar çarpımı yapılırsa: dy=f'(x).dx elde edilir. Bu ifade f(x) fonksiyonun x değişkenine bağlı olarak yazılan diferansiyelidir. Yani bir fonksiyonun diferansiyeli; fonksiyonun türevi ile hangi değişkene göre türev alındığının (dx) çarpımı olarak yazılır. 

Otomotivde de kullanılan diferansiyel kavramı, hareket ile ilgili önemli bir terimdir. Buradaki diferansiyel kavramı bir akstaki iki teker arasındaki devir dengesini sağlar. Özellikle virajlara sol ve sağ tekerler farklılık gösterdiği için gereklidir. Arka köprüde bulunan bir düzendir, arka tekerleklerin farklı dönmesini ve tork artışını sağlar.  Diferansiyel, motorlu taşıtlarda kullanılan bir aktarma organıdır. Diferansiyel, motor gücünü tekerleklere iletir. Aynı zamanda tekerleklerin farklı hızlarda dönmesi sağlar. 

Matematikçiler için diferansiyel kavramı türevle ilişkili bir kavramdır. Bir fonksiyonun hangi değişkene göre türevi alınacağını bildiren bir kavramdır, türevden farklıdır. Türev fonksiyonun direkt bir noktadaki eğimini verirken, diferansiyel kavramı böyle bir şey söylemez. df(x) fonksiyonun diferansiyelini gösterirken, df(x)/dx veya dy/dx veya f'(x) ifadesi de fonksiyonun türevini gösterir. Matematikte diferansiyel kavramı; "sonsuz küçük farklar" ve "fonksiyonların anlık değişim hızları" gibi sıkı bir temele oturtulmuş çeşitli kavramları içine alan sezgiselbir tanımdır. Diferansiyel terimi; matematik, diferansiyel geometri, cebirsel geometri ve cebirsel topoloji gibi matematiğin çeşitli dallarında, fizik, kimya, jeoloji gibi pek çok alanda kullanılır. 

Diferansiyel terimi, matematikte değişen miktarlardaki sonsuz küçük ("ihmal edilecek kadar sonsuz küçük") değişimi ifade etmek için sıklıkla kullanılır. Örneğin, eğer x bir değişkense, x'in değerindeki bir değişiklik genellikle Δx (delta x) ile gösterilir. Diferansiyel dx, x değişkenindeki sonsuz küçük bir değişikliği temsil eder. Sonsuz derecede küçük veya fonksiyonun sonsuz derecede yavaş bir değişimi fikri sezgisel olarak matematikte son derece faydalı olmuştur.

Tarihte bilinen kaynaklara göre diferansiyeli kavramı kısmen Arşimet tarafından sonsuz küçükleri içeren argümanların kesin olduğuna inanmamasına rağmen çalışmalarında kullanılmıştır. Ayrıca Isaac Newton diferansiyeli çalışmalarında kullanmış ve buna "akış" adını vermiştir.  Bununla birlikte "sonsuz küçük miktarlar" için diferansiyel terimini bugünkü anlamda kullanan ve gösterimini literatürde ortaya koyan Gottfried Leibniz'dir. Leibniz'in gösteriminde, eğer x değişken ise, o zaman dx, x değişkenindeki sonsuz küçük bir değişikliği veya farkı belirtir. Dolayısıyla, eğer y, x'in bir fonksiyonu ise, o zaman y'nin x'e göre türevi genellikle dy/dx ile gösterilir. Newton veya Lagrange diferansiyeli çalışmalarında (ẏ veya y') olarak göstermiştir. Diferansiyellerin bu biçimde kullanılması, örneğin Berkeley'in ünlü "The Analyst" çalışmasında olduğu gibi diferansiyel gösteriminin uygun olmayacağı konusunda çok fazla eleştiri almasına rağmen dy/dx gösterimi popülerliğini koruyarak, "sonsuz küçükler" hesabından yararlanarak, türev kavramı ortaya atılmıştır. y=f(x)'in x değişkenine göre türevinin, Δy/Δx oranı sonsuz için limiti alınarak elde edilebilecek anlık değişim oranı veya hızı grafiğin teğet çizgisinin eğimi olduğu fikrini yani türev kavramını belirlemiştir.

 

Fonksiyonun hangi değişkene göre diferansiyeli alınacaksa o değişken çarpım halinde yanına yazılmalıdır. Aşağıdaki örnekte u fonfsiyonun diferansiyeli du: fonksiyon t değişkenine bağlı olarak yazıldığı için du diferansiyeli alındıktan sonra dt çarpım halinde yanına yazılır.