"VE" BAĞLACI: (mantıksal olarak ∧ sembolü ile gösterilir), iki önermenin birlikte doğru olması durumunda doğru olan bir mantıksal bağlaçtır. Başka bir deyişle, A ∧ B ifadesi (A ve B), her ikisi de doğruysa doğru olur; ancak biri bile yanlışsa, tüm ifade yanlıştır. "Ve" bağlacı, doğru bir sonucu elde etmek için her iki hükmün de yerine gelmesi gerekir. Bu bağlacın kullanıldığı bir bileşik önerme, yalnızca her iki önerme de doğruysa doğru olur. Bu nedenle kesin ayrım yapılması gereken durumlarda sıklıkla kullanılır.
"Evin içinde ışık yanıyor ve dışarıda güneşli bir hava var."
(Bu cümlede, "ışığın yanması" ve "dışarıda güneşli bir hava olması" koşulları, her ikisi de doğru olduğunda, tüm önerme doğru olur.)
"Bugün yağmur yağıyor ve hava -4 derece."
(Bu örnekte, hem "yağmur yağması" hem de "havanın -4 derece olması" durumunun doğru olması durumunda tüm önerme doğru olur.)
Ve bağlacı değişme özelliğine sahiptir, yani önermelerin sırası değiştirildiğinde doğruluk değeri değişmez. A ∧ B ≡ B ∧ A
Ve bağlacı birleşme özelliğine sahiptir, yani birden fazla önerme birleştiğinde, hangi parantezle gruplandığına bakılmaksızın doğruluk değeri değişmez. (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)
A ∧ A ≡ A Yani bir önerme kendisi ile birleşirse kendisine eşit olur.
A ∧ 1 ≡ A Yani bir önerme, doğru bir önerme ile birleşirse kendisine eşit olur.
A ∧ 0 ≡ 0 Yani bir önerme, yanlış bir önerme ile birleşirse yanlış olur.
A ∧ A' ≡ 0 Yani bir önerme, bu önermenin değili olan bir önerme ile birleşirse yanlış olur.
"Ve" bağlacı, matematiksel mantık, bilgisayar bilimleri, mantıklı çıkarım yapma ve mantıksal ifadelerin analizinde çok yaygın olarak kullanılır. Ve bağlacı Doğru/yanlış mantığı gerektiren sistemlerde, örneğin dijital devrelerde, elektrik devrelerinde ve çeşitli optimizasyon sistemlerinde karşımıza çıkar. Çıkarım yapma ve hipotez testi gibi mantıksal süreçlerde ve bilgisayar yazılımlarında da sıklıkla kullanılır.
"VE" ∧ sembolü, İngilizce karşılığı "AND" olup hesap makinelerinde ve bilgisayar yazılımlarında genellikle "and" olarak kullanılır.
"VEYA" BAĞLACI: (mantıksal olarak ∨ sembolü ile gösterilir), iki veya daha fazla önermeden en az birinin doğru olduğu durumda doğru olan bir bağlaçtır. "veya" bağlacı, verilen önermelerden birinin doğru olması durumunda, tüm önerme doğru olur. A ∨ B sembolü ile gösterilir. A ∨ B ifadesi, A veya B'den en az biri doğruysa doğrudur. Ancak, A ∨ B yalnızca her iki önerme de yanlışsa yanlış olur.
"Bugün yağmur yağıyor veya hava çok sıcak."
(Bu bileşik önermede; eğer iki hükümden biri gerçekleşmişse önerme doğru olur. Yani sadece "yağmur yağarsa" önerme doğru olur. Ya da sadece "hava sıcak" olursa önerme yine doğru olur. Ya da her iki hüküm de doğru olursa, yani "hem yağmur yağıyor hem de hava çok sıcak" oluyorsa önerme doğru olur. Özet olarak VEYA bağlacında iki önermeden birinin doğru olması yeterlidir.)
VEYA BAĞLACI ÖZELLİKLERİ
A ∨ B, yalnızca her iki önerme de yanlış olduğu durumlarda yanlıştır. Diğer durumlarda doğru olur.
Veya bağlacı değişme özelliğine sahiptir, yani, iki önermenin sırası değiştirildiğinde veya bağlacının doğruluk değeri değişmez. A ∨ B ≡ B ∨ A
Veya bağlacı birleşme özelliğine sahiptir, yani birden fazla önerme veya ile birleştiğinde, hangi parantezle gruplandığına bakılmaksızın doğruluk değeri değişmez. (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
A ∨ A ≡ A her zaman A'ya eşittir. Yani bir önerme kendisi ile birleşirse kendisine eşit olur.
A ∨ 1 ≡ 1 Yani bir önerme, doğru bir önerme ile birleşirse doğru olur.
A ∨ 0 ≡ A Yani bir önerme, yanlış bir önerme ile birleşirse kendisine eşit olur.
A ∨ A' ≡ 1 Yani bir önerme, bu önermenin değili olan bir önerme ile birleşirse doğru olur.
"VEYA" ∨ sembolü, İngilizce karşılığı "(disjunction)" olup hesap makinelerinde ve bilgisayar yazılımlarında genellikle "or" olarak kullanılır.
Augustus De Morgan (1806-1871) ve De Morgan Yasası
Augustus De Morgan (1806-1871), 19. yüzyılda yaşamış, Hint kökenli bir matematikçidir. De Morgan özellikle mantık ve cebirsel yapılar konularına yaptığı katkılarla tanınır. De Morgan, mantığın sembollerle gösterilmesi fikrini geliştirerek, daha sonra George Boole’un cebirsel mantığını etkileyen temelleri atmıştır. Formal Logic, Trigonometry and Double Algebra, On the Study and Difficulties of Mathematicsgibi eserleri vardır. Modern bilgisayar bilimi, dijital devre tasarımı, matematiksel mantık gibi alanlar, onun kurduğu mantıksal yapıların üstüne inşa edilmiştir. De Morgan Yasaları, bugün hâlâ mantık problemleri, algoritmalar ve yazılım geliştirmede kullanılır.
(A ∨ B)' ≡ (A' ∧ B') Bu mantık yasasına göre A ∨ B nin değilinin, A'nın değilinin ve B nin değilinin birleştirilmesiyle elde edileceği anlamına gelir. Yani, bir "veya" bağlacı içeren bir önermenin değili, her iki önerme için ayrı ayrı olumsuzlanmış bir ve bağlacı ile birleşimi olur. Bu durum ve bağlacı ile kurulan bir önerme için de aynen geçerli olur. Yani (A ∧ B)' ≡ (A' ∨ B') olur. Buna göre A ∧ B nin değilinin, A nın değilinin veya B nin değilinin birleştirilmesiyle elde edileceği anlamına gelir. Yani, bir "ve" bağlacı içeren bir önermenin değili, her iki önerme için ayrı ayrı olumsuzlanmış bir veya bağlacı ile birleşimi olur.
YA DA BAĞLACI: A, B gibi önermelerin “ya da” bağlacı ile bağlanması ile elde edilen bileşik önermeye A ya da B bileşik önermesi denir. A ya da B bileşik önermesi A ⊻ B şeklinde gösterilir. A ⊻ B bileşik önermesi, A ile B önermelerinden yalnız biri doğru olduğu durumda doğru, diğer durumlar da ise yanlış olur. A ya da B bileşik önermesi, doğruluk durumu olarak A' ya da B' bileşik önermesine denk olur. (A ⊻ B) ≡ (A' ⊻ B')
|
1 ⊻ 1 = 0 |
A ⊻ 1 = A' |
|
0 ⊻ 1 = 1 |
A ⊻ A = 0 |
|
1 ⊻ 0 = 1 |
A ⊻ 0 = A |
|
0 ⊻ 0 = 0 |
A ⊻ A' = 1 |
"Ayşe, öğretmendir ya da tıp doktorudur" önermesi, (p ⊻ q) Ayşe'nin iki meslekten birine sahip olması durumunda doğru olur. Ayşe, her iki mesleği de aynı anda yapamaz. Yani Ayşe hem öğretmen hem de doktor olursa (1 ⊻ 1 = 0) bileşik önerme yanlış olur. Ayşe, öğretmen ile doktor mesleklerinden hiçbirisi de olmazsa (0 ⊻ 0 = 0) verilen önerme yine yanlış olur.
"Ya da" ⊻ sembolü, mantıkta esasında özel bir veya sembolüdür, yani ⊻ sembolü, "önermelerden yalnızca birinin doğru olduğu durum" anlamına geldiğinden bu bağlaç, "dışlayıcı veya" olarak da bilinir. İngilizce karşılığı "exclusive or" olup hesap makinelerinde ve bilgisayar yazılımlarında genellikle "XOR" olarak kısaltılır.
Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder
Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz samimiyetle insanlara yararlı olmaktır, akıbetimiz bu vesileyle güzel olsun. Dua eder, dualarınızı beklerim...
"Allah'ım; bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."
“Allahım! Sana teslim oldum, sana inandım, sana güvendim. Yüzümü, gönlümü sana çevirdim. İşlediğim tüm günahlarımı affeyle! Ey kalbleri çeviren Allahım! Kalbimi dînin üzere sâbit kıl. Beni Müslüman olarak vefât ettir ve beni sâlihler arasına kat!”
“Rabbim! Bizi doğru yola ilettikten sonra kalplerimizi eğriltme! Bize tarafından bir rahmet bağışla.Öne geçiren de sen, geride bırakan da sensin. Muhakkak ki lütfu en bol olan Sen’sin. Senden başka ilâh yoktur."
Lâ ilâhe illallah Muḥammedürrasulüllâh
KADİR PANCAR