Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir. Bu formüllerin iyi bilinmesi yarım açı, dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerinin çıkarılması için gerekli olacaktır. Aşağıda sinüs,cosinüs,tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri verilmiş ve bunların nasıl ortaya çıktığı ispatlanarak gösterilmiştir. Kotanjant formülünün ispatı ayrıca gösterilmemiştir. Bu formülün ispatı için tanjantın ispatı bulunduktan sonra çarpma işlemine göre tersi alındığında kotanjantın değeri bulunmuş olur.
cos fonksiyonun toplam ve fark eşitliği bulunduktan sonra trigonometrik fonksiyonların birbirine dönüşümleri kullanılarak sinüs fonksiyonun da toplam ve fark formülü elde edilir. Bu iki formülden yararlanarak da tanjant fonksiyonu ile cotanjant fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri bulunur. Tanjatın toplam formülü bulunurken finüs ve cosinüs fonksiyonlarının toplam fark formülleri yazıldıktan sonra birbirine oranlanır. sin(a+ b) ve cos (a+b) ifadelerinin eşiti yerlerine yazıldıktan sonra pay ve payda cosa.cosb ile bölünür.
Başka bir ispat biçimi olarak aşağıdaki dik üçgenden, eş uzunluk parçaları kullanılarak toplam fark formülleri elde edilebilir.
Öğrencilerimizin sınavlara hazırlanırken sinüs,cosinüs ve özellikle tanjantın toplam ve fark formüllerini bilmesi yararlı olacaktır. Bu formüllerden sadece tanjantı ezberlemeniz durumunda bile pek çok soruyu çözebilirsiniz. Tanjantın formülünden bulduğunuz toplam veya fark açısından yola çıkarak tanjanta uygun bir üçgen çizerseniz trigonometrik oranlardan biri belli iken diğerinin bulunmasından yola çıkarak sizden istenen trigonometrik fonksiyonun değerini bu üçgen yardımıyla bulabilirsiniz.
Farklı bir yoldan, bu formüllerin birim çember yardımıyla da ispatı mümkündür. Örnek olarak cosinüs fark formülünü birim çemberden şu şekilde ispatlayabiliriz.
Toplam ve fark formüllerinin ispatları cebirsel olarak gösterilebildiği gibi, geometrik olarak da gösterilebilir.Konu ile ilgili diğer yazımız için; (Bkz. Toplam/Fark Formüllerinin Geometrik İspatı) adresini inceleyebilirsiniz.
Aşağıda yer alan örnekleri inceleyerek, formüllerin nasıl kullanıldığına dair bilgi sahibi olabilirsiniz.
hocam cos(a-b) ve cos(a+b) nin ispatını ayrıntılı ve şekilli olarak bana gönderebilirseniz çok sevinirim
YanıtlaSilsevgili okurumuz; bu yazımızda trigonometrik fonksiyonların toplam ve fark formüllerinin cebirsel ispatları yapılmıştır. bu formüllerden sin ve cos fonksiyonlarının toplam ve fark formüllerinin geometrik gösterimleri için http://muallims.blogspot.com.tr/2014/05/toplam-ve-fark-formulleri-geometrik.html yazımıza bakmanız rica olunur.
SilHocam Başka ispatıda var bunun
YanıtlaSilelbette başka şekillerde de ispatlama yapabilirsiniz. Eğer ispatınızı bizimle paylaşırsanız ismizinle yayınlayabiliriz.iyi çalışmalar
SilHocam tan bölümünde neden cosx.cosy ye bölüyoruz a b x y fark etmez
YanıtlaSilBölümden sonra aynı cins açıları elde ederek tanjant fonksiyonu yazılabilir.
Silhocam cosa.cosb bölme sebebimiz ne
YanıtlaSilBölüm yapılıp sadeleştirildiğinde tan değerleri ortaya çıkar. tan(a+b) ifadesinin karşılığı tanjant a ve b cinsinden bulunmuş olur
Sil