Toplam-Fark Formülleri ve İspatları

Etiketler :
Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir. Bu formüllerin iyi bilinmesi yarım açı, dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerinin çıkarılması için gerekli olacaktır. Aşağıda sinüs,cosinüs,tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri verilmiş ve bunların nasıl ortaya çıktığı ispatlanarak gösterilmiştir. Kotanjant formülünün ispatı ayrıca gösterilmemiştir. Bu formülün ispatı için tanjantın ispatı bulunduktan sonra çarpma işlemine göre tersi alındığında kotanjantın değeri bulunmuş olur. 

cos fonksiyonun toplam ve fark eşitliği bulunduktan sonra trigonometrik fonksiyonların birbirine dönüşümleri kullanılarak sinüs fonksiyonun da toplam ve fark formülü elde edilir. Bu iki formülden yararlanarak da tanjant fonksiyonu ile cotanjant fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri bulunur.  Tanjatın toplam formülü bulunurken finüs ve cosinüs fonksiyonlarının toplam fark formülleri yazıldıktan sonra birbirine oranlanır. sin(a+ b) ve cos (a+b) ifadelerinin eşiti yerlerine yazıldıktan sonra pay ve payda cosa.cosb ile bölünür. 


Başka bir ispat biçimi olarak aşağıdaki dik üçgenden, eş uzunluk parçaları kullanılarak toplam fark formülleri elde edilebilir.
Öğrencilerimizin sınavlara hazırlanırken sinüs,cosinüs ve özellikle tanjantın toplam ve fark formüllerini bilmesi yararlı olacaktır. Bu formüllerden sadece tanjantı ezberlemeniz durumunda bile pek çok soruyu çözebilirsiniz. Tanjantın formülünden bulduğunuz toplam veya fark açısından yola çıkarak tanjanta uygun bir üçgen çizerseniz trigonometrik oranlardan biri belli iken diğerinin bulunmasından yola çıkarak sizden istenen trigonometrik fonksiyonun değerini bu üçgen yardımıyla bulabilirsiniz.

Farklı bir yoldan,  bu formüllerin birim çember yardımıyla da ispatı mümkündür. Örnek olarak cosinüs fark formülünü birim çemberden şu şekilde ispatlayabiliriz.


Toplam ve fark formüllerinin ispatları cebirsel olarak gösterilebildiği gibi, geometrik olarak da gösterilebilir.Konu ile ilgili diğer yazımız için; (Bkz. Toplam/Fark Formüllerinin Geometrik İspatı) adresini inceleyebilirsiniz. 

Aşağıda yer alan örnekleri inceleyerek, formüllerin nasıl kullanıldığına dair bilgi sahibi olabilirsiniz.




8 yorum:

  1. hocam cos(a-b) ve cos(a+b) nin ispatını ayrıntılı ve şekilli olarak bana gönderebilirseniz çok sevinirim

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. sevgili okurumuz; bu yazımızda trigonometrik fonksiyonların toplam ve fark formüllerinin cebirsel ispatları yapılmıştır. bu formüllerden sin ve cos fonksiyonlarının toplam ve fark formüllerinin geometrik gösterimleri için http://muallims.blogspot.com.tr/2014/05/toplam-ve-fark-formulleri-geometrik.html yazımıza bakmanız rica olunur.

      Sil
  2. Hocam Başka ispatıda var bunun

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. elbette başka şekillerde de ispatlama yapabilirsiniz. Eğer ispatınızı bizimle paylaşırsanız ismizinle yayınlayabiliriz.iyi çalışmalar

      Sil
  3. Hocam tan bölümünde neden cosx.cosy ye bölüyoruz a b x y fark etmez

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Bölümden sonra aynı cins açıları elde ederek tanjant fonksiyonu yazılabilir.

      Sil
  4. hocam cosa.cosb bölme sebebimiz ne

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Bölüm yapılıp sadeleştirildiğinde tan değerleri ortaya çıkar. tan(a+b) ifadesinin karşılığı tanjant a ve b cinsinden bulunmuş olur

      Sil

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • Paul Hoffman, Yalnızca Sayıları Seven Adam17.02.2013 - 0 Yorum Günümüzün en üretken ve eksantrik matematikçisi Paul Erdös, hayatı boyunca sayılarla çalışmak için -oturacak bir ev de dahil olmak üzere- tüm dünyevi konforlardan vazgeçti. En basit günlük işleri yapmayı beceremese de, akıl alamaz bir düşünce…
  • El Harezmi (MS 770-840)08.01.2010 - 0 Yorum Harezmi 770 yılında Özbekistan'ın Karizmi kendinde dünyaya gelmiştir. Tam olarak ismi Ebu Abdullah Muhammed bin Musa El-Harezmi'dir. Kendisini matematik tarihinin en büyük bilim adımı olarak tanımlayabiliriz. Çünkü cebirin ve algoritmanın…
  • Beni Musa (Ahmed, Muhammed ve Hasan)19.04.2013 - 0 Yorum Abbasî halîfesi Me’mûn devrinde yetişen üç büyük matematik ve fen âlimi. İsimleri, Ahmed, Hasen ve Muhammed’dir. Halîfe Me’mûn’un sarayında astronomi ilmiyle uğraşan Mûsâ bin Şâkir’in oğullarıdır. Bağdâd’da doğup yetiştiler. Doğum târihleri…
  • 2023 AYT Matematik testi çözümleri (PDF)07.07.2023 - 0 Yorum17 Haziran 2023 tarihinde uygulanan 2023-YKS 1. Oturum Temel Yeterlilik Testi (TYT), 18 Haziran 2023 tarihinde uygulanan 2023-YKS 2. Oturum Alan Yeterlilik Testleri (AYT)sınavlarının ardından ÖSYM tarafından soru kitapçıkları erişime açılmıştır.…
  • İlitam 1.Sınıf 1.Yarıyıl Arasınav-Final 201225.02.2013 - 0 YorumANKARA ÜNİVERSİTESİ (YARIYILLIK) İLAHİYAT LİSANS TAMAMLAMA UZAKTAN EĞİTİM PROGRAMI 2011- 2012 EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI ARA SINAVI -FİNAL SINAVI BÜTÜNLEME SINAVI SORULARI soruları indirmek için tıklayınız I.SINIF I.…
  • Deltoid ve Özellikleri15.04.2021 - 0 YorumÇocukluğumuzda mutlaka uçurtma yapmayı denemiş veya satın alınan bir uçurtmayı uçurmak için yoğun çaba sarf etmişizdir. Hazır olarak alınanlarda belli bir denge olduğu için, daha kolay uçabilmektedir. Kendi yaptıklarımızın da sağlıklı bir şekilde…
  • Logaritma nerede kullanılır?12.08.2024 - 0 YorumLogaritma, matematikte ve diğer bilim dallarında kullanılan önemli bir kavramdır. Logaritma, matematikte özellikle büyük sayılar ve karmaşık hesaplamaların daha basit şekilde ifade edilmesi için kullanılır. Bilimsel hesaplamalar, mühendislik,…
  • Belirli integral03.07.2024 - 0 Yorumf(x) fonksiyonu bir [a,b] kapalı aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere F'(x)=f(x) olmak üzere f(x) grafiğinin a alt sınırı ile b üst sınırı arasında kalan alanını gösteren ifadeye "belirli integral" denir. Belirli integralde c…