Riemann Toplamı

Bir düzgün geometrik şeklin alanı kolayca formüle edilebilir. Kenarları düzgün olmayan kapalı bir bölgenin alanını bulmak için bu bölge kenarları düzgün olan daha küçük kapalı bölgelere ayrılır. Küçük bölgelerin alanları yardımıyla büyük bölgenin alanı hesaplanabilir. Herhangi bir [a, b] aralığı verilmiş olsun.

n∈ N ve kapalı aralığın sınır noktaları a ve b olmak üzere a ve b arasındaki artan sıralı x değerleri için;
 a = x0 < x1 < x2 < … < xn – 1 < xn = b şeklinde yazılıyorsa;
P= {x0, x1 , …, xn} şeklinde tanımlı P sonlu kümesine, [a, b] nın bir bölüntüsü denir.;
 [x0, x1 ], [x1 , x2], …, [xn – 1 , xn] kapalı aralıklarının her birine de kapalı aralık [a, b] nın bir P bölüntüsüyle ilgili alt aralıkları denir.

Bu tanımdaki alt aralıkların uzunlukları;
 Δx1 = x1 – x0 , Δx2 = x2 – x1 , ..., Δxn = xn – xn–1 dir.
Δx1 = Δx2 = ... = Δxn ise yani kapalı aralık eşit olarak aynı ölçüde alt aralıklara ayrılmışsa bu P bölüntüsüne bir düzgün bölüntü denir.

Örneğin [0,1] kapalı aralığını herbiri 1/5 birim olacak biçimde
{0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 , 1} şeklinde bölerek oluşturduğumuz bir
P, [0, 1] aralığının bir düzgün bölüntüsü olur.

Δx değeri verilen aralığın uç değerlerinin bölüntü sayısına bölümü ile bulunur. Bir kapalı [a, b] aralığı için n bölüntü sayısına göre;
Δx=(b-a)/n formüle edilebilir. 

Genelde düzgün bölüntüler hesaplamada daha kolay işlem yapabildiğimiz için tercih edilir. Düzgün ve düzgün olmayan bölüntünün daha net anlaşılması için bir örnek verelim.

 Aşağıdaki örnekte P1 düzgün bölüntü, P2 de düzgün olmayan bir bölüntü örneğidir. 

Bölümlemeler ne kadar küçülürse o kadar sık diziler meydana getirilir. Bu şekilde bir kapalı aralığı giderek incelenmiş parçalanmalardan oluşan elemanların oluşturduğu diziye de incelme dizisi denir.

f: [a, b] → R, sınırlı bir fonksiyon olsun. P parçalanmasına ait olan bir eğrinin altına çizilen dikdörtgenlerin alanlarının tamamının toplamına alt toplam, eğrinin üst tarafında kalan alanların toplamına da üst toplam adı verilir.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866): Matematik ve geometri dalında çok önemli çalışmaları ile modern kuramsal fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur. Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli integral kavramını literatüre kazandırmıştır.

Riemann toplamında alt ve üst toplamlar arasında şu şekilde bir ilişki vardır. Eğrinin altındaki gerçek alanın alt ve üst toplam arasındaki bağıntısı;  R alt toplamı < Gerçek Alan (integral Değeri) <R üst toplam  (eşitlik de yazılabilir) şeklinde ifade edilir. 
Riemann toplamının nasıl uygulandığını daha rahat anlayabilmek için bir örnek üzerinde çalışalım.Verilen bir fonksiyonun grafiğinin eğrinin alt ve üst bölgelerinde dikdörtgenler çizerek toplam alanı bulmaya çalışalım. Çizilen dikdörtgen sayısı ne kadar fazla ise oluşacak olan alan toplamı da o kadar net sonuç verecektir.

Aynı kapalı aralık çok daha fazla dikdörtgen alanlarına ayrılırsa daha net alan değeri ile karşılaşırız. Eğrinin altında kalan alanlar (A) ve ve eğrinin üst bölgesinde kalan alanalar (Ü) değeri Parça sayısına göre değişiklik gösterecek ve bölüntü ne kdar çok olursa eğrinin altında kalan alan değeri de o kadar net sonuç verecektir. Aşağıdaki tabloda eğrinin altındaki dikdörtgen sayılarının değişimi ve buna bağlı olarak da alt ve üst toplamın değeri gösterilmiştir.

Tablo incelendiğinde eğrinin altı, daha çok sayıda eşit uzunluktaki alt aralıklara böldüğümüzde eğrinin alt toplamlar değeri artarak üst toplamlar değeri de azalarak aynı sayıya yaklaşmaktadır. Bu sayı tablodan da görüldüğü üzere 9 dur. Alt ve üst toplamlarının ulaştığı bu limit değerine fonksiyonun o kapalı aralıktaki belirli integrali denir. Burada belirtilen alan hesabının görsel olarak geogebra yazılımıyla da rahatlıkla görebilirsiniz. https://www.geogebra.org/m/cfQQKDx7 Materyali indirip geogebra yazılımında kendiniz de çalıştırıp görebilirsiniz.

Riemann İntegrali alt ve üst toplamlarını bulduktan sonra parçalanma bölüntüsünü sonsuz sayıda tekrarladığımızda limit değerine ulaşmış oluruz ve kesin alanı net olarak hesaplamış oluruz. Bu nedenle Riemann integrali limit yaklaşımıyla belirli integrale dönüşür ve şu şekilde formüle edilir. 

Aşağıda Riemann toplamının kullanıldığı çeşitli örnekler verilmiştir. Konuyu anlamak için örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Bazı integral alma sonuçları belirsiz integral kuralları kullanılarak alınmıştır. Bu nedenle türev ve integral arasındaki ilişkiyi iyi bilmek, bu konuyu anlamada büyük fayda sağlayacaktır.

Örnek: Bir fonksiyonun  [0,4] aralığındaki eğri altında kalan alanı 4 eşit parçaya ayıracak biçimdeki düzgün parçalanma bölüntüsü P kaçtır?


Çözüm:
Δx = (4-0)/4=4/4=1 eşit olan aralıkların uzunlukları bulunur.
Dolayısıyla parçalanma P={0,1,2,3,4} olur.


Örnek: [0,4] aralığından R 'e tanımlı bir fonksiyon olan f(x)=3x fonksiyonun grafiğinin altını bu aralıkta 4 eşit parçaya ayıran P parçalanmasına ait olan alt ve üst toplamları bulunuz.

Çözüm:
Δx = (4-0)/4=4/4=1 eşit olan aralıkların uzunlukları bulunur.
Dolayısıyla parçalanma P={0,1,2,3,4} olur.
f(1)=3.1=3
f(2)=3.2=6
f(3)=3.3=9
f(4)=3.4=12

R(A)= 1.3+1.6+1.9=18
R(Ü)=12.1+9.1+6.1+3.1=30

Alt dikdörtgenlerin ve üst dikdörtgenlerin toplam alanlarının, [0, 4] aralığındaki f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni ile arasındaki alana yaklaştığı görülmektedir. Dolayısıyla buradan f: [0, 4] → R, f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğinin, x-ekseni ile arasında kalan alan Riemann toplamı yardımıyla 24 birimkare olarak tahmin edilebilir.

Çözüm: R alt toplamı < Gerçek Alan (integral Değeri) <R üst toplam  (eşitlik de yazılabilir) Soruda [1,4] kapalı aralığındaki eğrinin bir parçalanmasına air gerçek alan değeri 10 olarak verilmiştir. Buna göre Alt toplamı<integral değeri< üst toplam eşitsizliğine göre verilen ifadeleri düzenlersek;
alt toplam<10<üst toplam
alt toplamın maksimum değeri x<10 buradan x=9 olur.
10<üst toplam
üst toplamın minimum değeri  10<y buradan y=11 olur. 2x-y=2.9-11=7 bulunur.