Tümevarım İspat Yöntemi ve Örnekleri

Matematiğin en temel ve en önemli işlerinden biri, teoremleri ispatlamaktır. Varlık bildiren teoremler hariç, bir teoremin doğru olduğunu gösteren tek bir örnek vermek hatta örnekler göstermek bir teoremin ispatı için yeterli değildir. Çünkü teorem, verilen bu örnek veya örnekler için doğrulandığı halde başka bir örnek veya örnekler için doğrulanmayabilir. Bu nedenle verilen bir hükmün doğruluğu matematikte kesin olarak gösterilmek durumundadır. Bu uygun akıl yürütme etkinliklerine de ispat denir. Tümevarım yöntemi de ispat yöntemlerinden bir tanesidir. Tümevarım yöntemi genellikle domino taşlarına benzetilerek akılda somut hale getirilebilir. Bildiğimiz üzere, ilk domino taşı istenilen yönde itildiği zaman, diğer domino taşları da sırasıyla düşmektedir. Bütün domino taşlarının düştüğünden emin olmak için iki temel önermeyi bilmemiz yeterlidir: 1) İlk domino taşı düşer. 2)Herhangi bir domino taşı düştüğünde onun ardışığı olan domino taşı da düşmelidir. İşte; matematiksel tümevarım ilkesinin temeli, bu iki temel önermeyi içine alan domino taşlarının düşmesi durumuna benzetilmektedir.

Matematiksel olarak tümevarım ilkesi şu şekilde özetlenebilir. Her n pozitif tamsayısı için herhangi bir P(n) önermesi verildiğinde; bu önermede P(1) doğru ve bir k pozitif tamsayısı için P(k) doğru ise P(k + 1) de doğrudur. O zaman her n pozitif tamsayısı için P(n) doğru olur. Bu ispat yöntemine, matematiksel tümevarım ilkesi denir. 

ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik önermesi mantık kuralları gereği 1⇒0 durumunda kesin olarak yanlış olacağı için; P(k)⇒P(k+1) bileşik önermesinin doğru olduğunu göstermek için; P(k) önermesi doğru varsayıldığında (kabul edildiğinde) , P(k + 1) önermesinin de matematiksel olarak doğru olduğunu göstermemiz gerek ve yeter şarttır. Tümevarım yöntemiyle ispat yaparken, bu basamağa dikkat edilmesi gerekir. Matematiksel tümevarım ilkesinin yukarıda sayılan üç basamaktan  birincisi olan i) basamağına temel basamak, ikincisi olan (ii) basamağına ise tümevarım basamağı denir. Yukarıda gösterilmiş olan tümevarım ilkesinde (ii). adımdaki, P(k)⇒P(k + 1) koşullu önermesini ispatlamak için genellikle doğrudan ispat yöntemleri kullanılır.
Tümevarım bir ispat yöntemi olarak, önceki yüzyıllarda matematik dünyasını ciddi manada meşgul etmiş olmasına rağmen sonraki yüzyıllardaki matematikçiler ve felsefeciler tarafından eleştirilere de maruz kalmıştır. Bir matematikçi olan B. Russell tümevarım yönteminin acizliğini Hristiyan dünyasına şöyle bir misalle aktarmıştır.“…Mantıklı bir hindi çiftliğe varır varmaz her sabah saat 9′da yem verildiğini fark etti. Ama iyi bir tümevarımcı olduğu için hemen bir sonuca varmak istemedi. Bekledi ve her gün tekrar tekrar gözlemledi. Bu gözlemlerini değişik koşullarda tekrar etti: Çarşambaları, perşembeleri, sıcak ve soğuk günler, yağmurlu ve yağmursuz günler. Her gün yeni bir gözlem ekledi ve sonunda bir sonuç çıkardı: “Her sabah saat 9′da yemek veriliyor bana”. Fakat bir yılbaşı günü kural bozuldu: Mantıklı hindi saat 9′da yemini beklerken boynu kesildi….”
Matematikçi ve epistemolog Bertrand Russell‘ın bu örneği bize tümevarım yönteminin zayıflığını ispat etmeye yetecek bir örnektir. Yukarıda verdiğimiz domino taşı örneğinde domino taşlarının her zaman ve durumda ardışık olarak yıkılmasını gerektirecek bir olay ortaya çıkmış olmayabilir. Bu örneğin oluşabilmesi için hiçbir tesir ve etkinin olmadığı herşeyin aynı şekilde devam edeceği bir his ile bu ispatlamalarını yapıldığı tezi vardır ki bu özellikle sosyal bilimler için kesinlikle yanlış bir tez olur. İçinde yaşadığımız dünyada gelecek olayların hep bir sebep sonuç çizgisi içinde anılması ve bu şekilde hayatımızın irdelenmesi aslında yetersiz bir anlayışın ürünüdür. Geçmişte yaşanmış sebepler ve olmuş şeylere bakarak gelecekteki olacak olan olayları kestirmeye çalışmak her zaman doğru sonuçlar vermeyebilir. Tümevarım yöntemi bu şekilde işlediğinden son dönemlerde daha tutarlı sonuçlar veren farklı ispat yöntemlerinin de kullanılmaya başlandığı pratikte ve teoride ortaya çıkmıştır. Burada tümevarım yöntemiyle ispat edilebilen bazı matematiksel önermeleri göstermeye çalışalım.

Bazen bazı formüller 1 sayısından başlamayabilir. Bu durumlarda formülün hangi sayıdan itibaren sağlanacağı formül üzerinde belirtilir. Dolayısıyla tümevarımla bu şekilde bir formülün ispatı yapılırken de 1 den başlanarak ispat yapılmaz. Çünkü verilen formül zaten 1 için sağlanmayacaktır. Formülde verilen sayıdan itibaren ispat basamağının temel basamağı yazılarak tümevarım ispatına başlanır.