Riemann Toplamı

Bir düzgün geometrik şeklin alanı kolayca formüle edilebilir. Kenarları düzgün olmayan kapalı bir bölgenin alanını bulmak için bu bölge kenarları düzgün olan daha küçük kapalı bölgelere ayrılır. Küçük bölgelerin alanları yardımıyla büyük bölgenin alanı hesaplanabilir. Herhangi bir [a, b] aralığı verilmiş olsun. n∈ N ve kapalı aralığın sınır noktaları a ve b olmak üzere a ve b arasındaki artan sıralı x değerleri için; a = x₀, x₁ , x₂ … x_n-1 , x_n=b şeklinde yazılıyorsa; P= {x₀ , x₁ , …, x_n} şeklinde tanımlı P sonlu kümesine, [a, b] aralığının bir "bölüntüsü" denir.

 

[x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_n-1 , x_n] kapalı aralıklarının her birine de [a, b] kapalı aralığının bir P bölüntüsüyle ilgili "alt aralıkları" denir. 

Bu tanımdaki alt aralıkların uzunlukları; Δx₁ = x₁ – x₀ , Δx₂ = x₂ – x₁ , ..., Δx_n = x_n – x_n-1 şeklindedir. 

Δx₁= Δx₂ =Δx₃ ... = Δx_n ise yani kapalı aralık eşit olarak aynı ölçüde alt aralıklara ayrılmışsa bu P bölüntüsüne bir düzgün bölüntü denir. 

Örneğin [0,1] kapalı aralığını herbiri 1/5 birim olacak biçimde düzgün olarak parçalara ayırdığımızda {0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 , 1} şeklinde eşit bölüntüler oluşturabiliriz. Bu şekilde oluşturduğumuz bir P bölüntüsü, eşit aralıklarla bölündüğünden [0, 1] aralığının bir "düzgün bölüntüsü" olur. 

Δx değeri verilen aralığın uç değerlerinin bölüntü sayısına bölümü ile bulunur. Bir kapalı [a, b] aralığı için n bölüntü sayısına göre; Δx=(b-a)/n şeklinde formüle edilebilir. Genelde düzgün bölüntüler hesaplamada daha kolay işlem yapabildiğimiz için tercih edilir. Düzgün ve düzgün olmayan bölüntünün daha net anlaşılması için konuya bir örnek verelim.

 Aşağıdaki örnekte P₁ düzgün bölüntü, P₂ de düzgün olmayan bir bölüntü örneğidir. 

Bir eğrinin altındaki bölüntüler ne kadar küçülürse, yani ne kadar sıklaşırsa o kadar fazla dizi meydana getirilir. Bu şekilde bir kapalı aralığı giderek incelmiş parçalanmalardan oluşan elemanların oluşturduğu diziye de "incelme (indirgeme) dizisi" denir. İncelme dizisi (ya da inceltilmiş dizi, indirgenmiş dizi), bir dizinin bazı elemanlarının sırasını bozmadan aradan seçilmesiyle elde edilen yeni bir dizi çeşididir. Yani, orijinal dizideki elemanların sıralaması korunur ama bazı elemanları atlanabilir. Eğer (an) bir dizi ise, bu dizinin bir incelme dizisi: (a_nk) şeklinde yazılır. Burada: n₁<n₂<n₃<....şartı sağlanır. Yani, her yeni eleman, bir öncekinden sonraki bir indekste yer alacak şekilde sıralanır. (a_n)=$$(1,2,3,4,5,6,7,8,\dots )$$dizisinin bir incelme (indirgeme) dizisi sadece çift sayıların yer aldığı (a_2k)=$$(2,4,6,8,\dots )\; veya\; sadece\; tek\; sayıların\; yer\; aldığı\; ($$a_2k+1)=$$(1,3,7,\dots )$$$$dizisi$$olabilir. Bu dizilerde indis sırası değişmez, verilen orjinal dizinin elemanlarından istenen elemanlar seçilerek oluşturulur.

Alt ve Üst Toplam

f: [a, b] → R, sınırlı bir fonksiyon olsun. P parçalanmasına ait olan bir eğrinin altına çizilen dikdörtgenlerin alanlarının tamamının toplamına "alt toplam", eğrinin üst tarafında kalan alanların toplamına da "üst toplam" adı verilir.

Alt toplam hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun minimum değerini alıp, o yükseklikteki dikdörtgenin alanı hesaplanır. [0,1] aralığında alt toplam için → $f(0)alınırken$[1,2] aralığında alt toplamı hesabı için→ $f(1)$  alınır. Üst toplam hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun maksimum değerini alıp, o yükseklikteki dikdörtgenin alanı hesaplanır. [0,1] aralığında üst toplam için → f(1) alınırken [1,2] aralığında alt toplamı hesabı için→ f(2) değeri alınır.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866): Matematik ve geometri dalında çok önemli çalışmaları ile modern kuramsal fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur. Riemann toplam (integrali) olarak bildiğimiz "belirli integral" kavramını literatüre kazandırmıştır. Öklid dışı geometriyi geliştirerek Riemann geometrisini ortaya koymuştur. Özellikle asal sayıların dağılımıyla ilgili önemli bilgiler sağlayan Riemann Zeta Fonksiyonunu tanımlamış ve bu fonksiyonun sıfırlarının yerleriyle ilgili Riemann Hipotezini ortaya atmıştır.

Riemann toplamında alt ve üst toplamlar arasında şu şekilde bir ilişki vardır. Eğrinin altındaki gerçek alanın alt ve üst toplam arasındaki bağıntısı şu şekildedir: 

R alt toplamı < Gerçek Alan (integral Değeri) <R üst toplam  

Yani bir eğrinin altında kalanın gerçek değeri, bu eğirinin altına dikdörtgenler çizilerek hesaplanan Riemann alt toplam değeri ile Riemann üst toplam değeri arasında yer alır.
Riemann toplamının nasıl uygulandığını daha rahat anlayabilmek için bir örnek üzerinde çalışalım. Verilen bir fonksiyonun grafiğinin eğrinin alt ve üst bölgelerinde dikdörtgenler çizerek toplam alanı bulmaya çalışalım. Çizilen dikdörtgen sayısı ne kadar fazla ise oluşacak olan alan toplamı da o kadar net sonuç verecektir.

Aynı kapalı aralık çok daha fazla dikdörtgen alanlarına ayrılırsa gerçek alana daha yakın alan değeri ile karşılaşırız. Eğrinin altında kalan alanlar (A) ve ve eğrinin üst bölgesinde kalan alanalar (Ü) değeri Parça sayısına göre değişiklik gösterecektir. Eğrinin altındaki bölüntü sayısı ne kadar çoksa, eğrinin altında kalan alan değeri de o kadar gerçek alana yakın net sonuç verecektir. Aşağıdaki tabloda eğrinin altındaki dikdörtgen sayılarının değişimi ve buna bağlı olarak da alt ve üst toplamın değeri gösterilmiştir.

Tablo incelendiğinde eğrinin altı, daha çok sayıda eşit uzunluktaki alt aralıklara böldüğümüzde eğrinin alt toplamlar değeri artarak üst toplamlar değeri de azalarak aynı sayıya yaklaşmaktadır. Bu sayı tablodan da görüldüğü üzere 9 dur. Alt ve üst toplamlarının ulaştığı bu limit değerine fonksiyonun o kapalı aralıktaki belirli integrali denir. Burada belirtilen alan hesabının görsel olarak geogebra yazılımıyla da rahatlıkla görebilirsiniz. https://www.geogebra.org/m/cfQQKDx7 Materyali indirip geogebra yazılımında kendiniz de çalıştırıp görebilirsiniz.

Riemann İntegrali alt ve üst toplamlarını bulduktan sonra, parçalanma bölüntüsünü sonsuz sayıda tekrarladığımızda limit değerine ulaşmış oluruz ve kesin alanı net olarak hesaplamış oluruz. Bu nedenle Riemann integrali limit yaklaşımıyla belirli integrale dönüşür ve şu şekilde formüle edilir. 

Aşağıda Riemann toplamının kullanıldığı çeşitli örnekler verilmiştir. Konuyu anlamak için örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Bazı integral alma sonuçları belirsiz integral kuralları kullanılarak alınmıştır. Bu nedenle türev ve integral arasındaki ilişkiyi iyi bilmek, bu konuyu anlamada büyük fayda sağlayacaktır.

Örnek: Bir fonksiyonun  [0,4] aralığındaki eğri altında kalan alanı 4 eşit parçaya ayıracak biçimdeki düzgün parçalanma bölüntüsü P kaçtır?

Çözüm:
Δx = (4-0)/4 = 4/4=1 eşit olan aralıkların uzunlukları bulunur. Dolayısıyla parçalanma P={0,1,2,3,4} olur.

Örnek: [0,4] aralığından R 'e tanımlı bir fonksiyon olan f(x)=3x fonksiyonun grafiğinin altını bu aralıkta 4 eşit parçaya ayıran P parçalanmasına ait olan alt ve üst toplamları bulunuz.

Çözüm:
Δx = (4-0)/4=4/4=1 eşit olan aralıkların uzunlukları bulunur. Dolayısıyla parçalanma P={0,1,2,3,4} olur.
f(1)=3.1=3
f(2)=3.2=6
f(3)=3.3=9
f(4)=3.4=12

R(A)= 1.3+1.6+1.9=18
R(Ü)=12.1+9.1+6.1+3.1=30

Alt dikdörtgenlerin ve üst dikdörtgenlerin toplam alanlarının, [0, 4] aralığındaki f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni ile arasındaki alana yaklaştığı görülmektedir. Dolayısıyla buradan f: [0, 4] → R, f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğinin, x-ekseni ile arasında kalan alan Riemann toplamı yardımıyla 24 birimkare olarak tahmin edilebilir.

Çözüm: R alt toplamı Gerçek Alan (integral Değeri) R üst toplam (eşitlik de yazılabilir) Soruda [1,4] kapalı aralığındaki eğrinin bir parçalanmasına air gerçek alan değeri 10 olarak verilmiştir. Buna göre Alt toplamı integral değeri üst toplam eşitsizliğine göre verilen ifadeleri düzenlersek;

Alt toplam < 10 < Üst toplam Eşitsizlikteki alt toplamın maksimum değeri x<10 olduğundan x=9 olur.  Eşitsizliğin diğer tarafından 10<üst toplam olduğundan üst toplamın minimum değeri  10<y buradan y=11 bulunur. Soruda istenen ifade de 2x-y=2.9-11=7 olur. 

Şimdi limit sorularına benzer nitelikte Riemann toplamlarına örnekler verelim. Riemann toplam sorularında fonksiyon genellikle toplamın içerisinde gizli bir halde bulunur. Limitli Riemann toplamı sorularında önce verilen ifadeden Δx bulunur. Sonra x_k yazılır. Verilen toplamdaki ifadeyi f(x_k) ile ilişkilendirerek, limitli toplam ifadesi integrale çevrilir. En sonunda elde edilen belirli integral hesaplanarak toplamın sonucu bulunur.