Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

Trigonometrik Fonksiyonlar, merkezi orijin ve yarıçapı 1 br olan birim çember üzerinde gösterilerek buradaki geometri ve analitik bilgileri yardımıyla tanımlanır. Birim çember üzerinde alınan herhangi bir noktanın orijinde oluşturduğu merkezil açının, sinüs, cosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik değerleri analitik geometri yardımıyla ifade edilir. Birim çember üzerinden rastgele seçilen bir P noktasının apsis değeri o merkezil açıya ait cosinüs değerini verir. Aynı şekilde P noktasının ordinat değeri o merkezil açıya ait sinüs değerini verir. Sinüs ve cosinüs fonksiyonları ile ilgili ayrıntılı yazımızı bağlantıyı tıklayarak okuyabilirsiniz. (Bkz. Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları)

Birim çember üzerindeki (1,0) noktasından y eksenine paralel olacak şekilde bir teğet doğrusu (yani x=1 doğrusu) çizilirse bu doğru tanjant ekseni olur. Aynı şekilde (0,1) noktasından x eksenine paralel olacak şekilde bir teğet doğrusu (yani y=1 doğrusu) çizilirse bu doğru kotanjant ekseni olur. Dolayısıyla birim çember üzerinde rastgele bir P noktası alınıp, çember merkezi ile bir açı oluşturulduğunda bu açının kollarının tanjant eksenini (x=1 doğrusunu) kestiği noktanın ordinat değeri açının tanjantını verir. Aynı şekilde bu açının kollarının kotanjant eksenini (y=1 doğrusunu) kestiği noktanın apsis değeri de açının kotanjantını verir.

 

Bir dik üçgende bir dar açının tanjant değerini karşı dik kenar uzunluğunu, komşu dik kenar uzunluğuna bölerek de bulabiliriz. Aynı şekilde bir dik üçgende bir dar açının kotanjant değerini, komşu dik kenar uzunluğunu karşı dik kenar uzunluğuna bölerek de bulabiliriz. Birim çember üzerinde tanımladığımız herhangi bir açının sinüs değerini kosinüs değerine bölerek yine tanjant değerini, kosinüs değerini sinüs değerine bölerek kotanjant değerini bulabiliriz. Tanjant esasında sinüs ve cosinüs gibi esas fonksiyonlar değildir. Sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının birbirine bölümleri ile tanjant ve kotanjant fonksiyonları elde edilmiştir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirinin tersi fonksiyonlardır. Dolayısıyla tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanımsız olmayan aynı açısal değerlerinin çarpımı 1 olur.

Tanjant ekseni (x=1 doğrusu) birim çemberi x ekseniyle kesiştiği noktalarda teğet geçer. Grafik inceledndiğinde bir alfa açısının uzantısı konumundaki doğru tanjant ekseni olan x=1 doğrusunu T noktasında ve kotanjant eksenini de K noktasında kesiyor. Oluşan OAT üçgeninine baktığımızda T noktası nereye denk gelirse gelsin açısına göre komşu dik kenarımızın uzunluğu her zaman 1 olacağı için karşı dik kenar olan T noktasının yüksekliği (y eksenindeki dikey uzunluk değeri |AT|) tanjant değerini verecektir. Aynı şekilde OBK üçgeninde de K noktası nereye gelirse gelsin alfa açısına göre karşı dik kenarımızın uzunluğu, her zaman 1 olacağı için komşu dik kenar olan K noktasının yataydaki uzunluğu  (x eksenine paralel olarak çizilen uzunluk değeri |BK|) kotanjant değerini verecektir. 

Bir alfa açısını 180º veya 360º ‘den çıkarmak bu açıyı x eksenine veya y eksenine göre simetriğini almak olduğu için bu açının tanjant değerini negatif yapar. Çünkü tanjant değeri sinüs ve kosinüs değerlerine bağlı olduğu için x eksenine göre simetri almak sinüsü, y eksenine göre simetri almak kosinüsü negatif yapacağı için tanjant değeri de negatif olacaktır. Aynı şekilde verilen bir alfa açısını 180º veya 360º ‘den çıkarmak tanjant da olduğu gibi sinüs veya kosinüsten birini negatif yapacağından kotanjant değeri de negatif olacaktır. Bir alfa açısına 180º eklediğimiz veya çıkardığımız zaman hem sinüs hem de kosinüsün işareti değişir ki bu durumda; kotanjantın işareti, kotanjant kosinüs ve sinüslerin birbirine bölümü olduğu için aynı kalacaktır. 

Sinüs 0º ve 180º ‘lerde sıfıra eşit olur ve tanjant değerini bulurken sinüsü kosinüse böldüğümüz zaman, sinüs pay kısmını sıfır yaptığı için tanjant bu açılarda sıfıra eşit olur. tan0º=0 ,tan180º=0 Benzer şekilde, Kosinüs 90º ve 270º derecelerde kosinüs fonksiyonu sıfıra eşit olduğu için, kotanjantın pay kısmını sıfır olacağından kotanjant da 90º ve 270º derecelerde sıfıra eşit olacaktır. cot90º=0,  cot270º=0 olur. Kosinüs 90º ve 270º derecelerde ise kosinüs fonksiyonu sıfıra eşit olur ve tanjantı değerini bulunurken bu açılar, paydayı sıfır yaptığı için sonuç tanımsız olacağından tanjant 90º ve 270º derecelerde tanımsız olur. Bir başka deyişle bu açılardan tanjant eksenine çizilen bir doğru  tanjant eksenine paralel gider ve hiç kesişmez. Biz tanjant doğrusunda bir değer göremediğimiz için sonuç tanımsızdır. tan90º= tanımsız, tan270º= tanımsız olur. Benzer şekilde, sinüs 0º ve 180º derecelerde sinüs fonksiyonu sıfıra eşit olur ve kotanjant değeri bulunurken kosinüsü sinüse böldüğümüz için, sinüs payda kısmını sıfır yaptığından kotanjant bu açılarda tanımsız olur. Diğer bir deyişle bu açılardan çizilen bir doğru, hiçbir zaman kotanjant eksenini kesmez. Dolayısıyla bu açılarda bir kotanjant değeri bulunamaz. Biz kotanjant doğrusunda bir değer göremediğimiz için de sonuç tanımsız olur. cot0º = tanımsız ve cot180º = tanımsız bulunur. Tanjant ve kotanjant fokiyonlarının en küçük ya da en büyük değeri yoktur, eksi sonsuz ile artı sonsuz arasında değer alabilir. 

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları istenen bölgelerdeki açılara dönüştürülebilir. Burada dikkat edilmesi gereken husus, tanjant ve kotanjant fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin değişebileceğidir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonları, 90 ve 270 derece baz alınarak birbirine dönüştürülebilir. 

Mesela 3. bölgede yer alan 240 derecelik bir açının tanjantını bulurken, öncelikle hangi fonksiyona dönüştüreceğimizi belirlemiz gerekir. Daha sonra tanjantın 3.blölgedeki işareti tespit edilir. Eğer fonksiyonun yine tanjant olarak kalmasını istiyorsak bu durumda, tan240= tan(180+60)=+tan60 olur. Eğer fonksiyonu kotanjanta dönüştürmek istiyorsak,, o zaman tan240=tan(270-30)=+cot30 olur. 

Bazı 30, 45, 60, ...vs gibi özel açıların tanjant ve kotanjant değerleri, sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının bu açılarda aldıkları değerler birbiriyle bölünerek veya birim çember yardımıyla bulunabilir. 

Bir trigonometrik fonksiyonun verilen bir açıdaki değeri bilinirse, buna bağlı olarak bir dik üçgen çizilir ve bölgeye dikkat edilerek, istenen fonksiyonun trigonometrik değeri bulunur. 

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarda büyüklük ve küçüklük sıralaması yapılırken mümkün olduğunca aynı cins fonksiyona dönüştürülmeye çalışılır. Aynı zamanda fonksiyonun aynı bölgede ve özellikle dar açı formunda olması, trigonometrik fonksiyonların sıralama işlemini kolaylaştıracaktır. 

Sıralama işlemi birim çemberde tanjant ve kotanjant eksenleri çizilerek de yapılabilir. Fonksiyonların bölgelere göre dönüşümleri yapıldıktan sonra birim çember üzerinde açıları belli edilerek çizilir ve eksenlerde geldiği yerler işaretlenerek büyüklük sıralaması yapılır.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyotları 2𝜋’dir. Bu yüzden kosekant ve sekant fonksiyonları sırasıyla sinüs ve kosinüsün çarpmaya göre ters fonksiyonları olduğundan onların periyotları da 2𝜋’dir. Sekant ve kosekant fonksiyonları ile ilgili ayrıntılı bilgi için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Sekant ve Cosekant Fonksiyonları)

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyotları 𝜋’dir. Trigonometrik fonksiyonların periyotları bilindiği zaman bu aralıkta grafikleri çizilebilir. Buna göre tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının grafiklerini istenen periyot aralığında çizebiliriz. 

Trigonometrik Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/05/sinus-ve-cosinus-fonksiyonlar.html

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/06/tanjant-ve-kotanjant-fonksiyonlar.html

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2013/05/secant-ve-cosecant-fonksiyonlar.html