Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Etiketler : cosinüs fonksiyonu grafik çizimi matematik sinüs fonksiyonu tanjant fonksiyonu trigonometri trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde bazı ortak özellikler bulunur. Bunlar periyodiklik, süreklilik, kesiklik ve simetridir. Periyodiklik, grafiğin belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları sürekli, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise belirli aralıklarda kesiklidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyon, kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ise çift fonksiyon özelliği gösterir. Bu durum grafiğin eksenlere göre yansımasını ve genel şeklini belirler. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi, bu fonksiyonların temel özelliklerinin ve bu özelliklerin grafik üzerindeki etkilerinin sistematik biçimde incelenmesiyle yapılır. Bu süreçte genellikle periyot, genlik, faz farkı ve dikey kayma gibi ortak nitelikler dikkate alınır. 

Grafikler çizilirken belli adımlara dikkat etmek gerekir. y=a.sin⁡(bx+c)+d şeklindeki bir trigonometrik fonksiyonda a fonksiyonun genliği, b fonksiyonun periyodu, c faz değeri (yatay kayma değeri), d dikey kayma değeri olarak tanımlanır. a, b, c ve d değişkenlerine göre grafik çizimi yapılır.

1. Fonksiyonun temel biçiminin belirlenmesi: Her trigonometrik fonksiyonun, örneğin sinüs, kosinüs veya tanjant fonksiyonlarının, kendine özgü bir temel grafiği vardır. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları dalga biçiminde, periyodik ve sürekli fonksiyonlardır. Buna karşılık, tanjant ve kotanjant fonksiyonları belirli aralıklarla tanımsız oldukları için bu noktalarda dikey asimptotlar oluştuğundan kesikli grafiklere sahiptir. 

2. Genliğin incelenmesi: Fonksiyonun önündeki katsayı, yani a değeri, grafiğin genliğini belirler. Bu katsayının mutlak değeri birden büyükse grafik dikey olarak genişler. Birden küçük fakat sıfırdan büyükse grafik dikey olarak daralır. Katsayı negatif ise grafik x eksenine göre yansıtılır.  Fonksiyon y=asin⁡x veya y=acosx biçimindeyse, |a| değeri grafiğin genliği olur. ∣a∣>1 olduğunda grafik dikey olarak genişler. 0<∣a∣<1 olduğunda grafik dikey olarak daralır. a<0 ise grafik, x-eksenine göre yansıtılır. Bu işlem, grafiğin maksimum ve minimum noktalarının konumunu etkiler. 

3. Periyodun belirlenmesi: Fonksiyonda x değişkeninin katsayısı, yani b değeri, fonksiyonun periyodunu belirler. Genel biçimi $y=\sin (bx)$ veya $y=\cos (bx)$ olan fonksiyonlarda b katsayısına göre, fonksiyonun periyodunu belirlenir. Fonksiyondaki b katsayısı için $|b|>1$ olduğunda grafik yatay olarak sıkışırken $0<|b|<1$ olduğunda grafik yatay olarak genişler. Genel olarak fonksiyonun durumuna göre periyot $T$ veya $T$ Periyot, fonksiyonun tekrar etme sıklığını belirler.

4. Faz kaymasının belirlenmesi: Fonksiyonun içinde x değişkeniyle birlikte bulunan sabit bir c değeri varsa, bu faz kayması oluşturur. Faz kayması, grafiğin yatay düzlemde sağa veya sola ötelenmesi anlamına gelir. Bu özellik, dalganın başlangıç noktasını değiştirir. Fonksiyon $y=\sin (bx+c)$ biçiminde yazıldığında, faz kayması -c/b kadar olur. Bu, grafiğin yatay düzlemde sağa veya sola ötelenmesi anlamına gelir. $c>0$  olduğunda grafik x ekseninde yatayda sola kayarken $c<0$ olduğunda grafik sağa kayar.

5. Dikey kaymanın incelenmesi: Fonksiyon y=a.sin⁡(bx+c)+d biçiminde olduğunda fonksiyona eklenen sabit bir d değeri, grafiğin tamamının yukarı veya aşağı kaymasına neden olur. d pozitif olduğunda grafik yukarı, negatif olduğunda aşağı kayar. Dolayısıyla grafik dikey yönde d birim kadar ötelendiği için artık x ekseninin etrafında değil, başka bir yatay doğru (y=k doğrusu) etrafında salınım yapar. Bu kayma, grafiğin orta çizgisini veya denge doğrusunu değiştirir.

6. Temel noktaların belirlenmesi ve grafiğin çizimi: Tüm bu dönüşümler uygulandıktan sonra, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları grafik çizimi için kullanılacak temel noktalar belirlenir. Genellikle başlangıç noktası, maksimum noktası, sıfır geçişleri ve periyod içindeki bitiş noktaları belirlenir. Bu noktalar dönüşüm kurallarına göre değerleri hesaplanır ve grafik bu değerlere göre çizilir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında ise, tanımsız oldukları noktalar belirlenerek dikey asimptotlar çizilir ve grafik bu sınırlar içinde oluşturulur.

Fonksiyonların ayrıntılı grafik çizimleri için aşağıdaki bağlantıları kullanabilirsiniz:

Sinüs Fonksiyonun Grafiği

Cosinüs Fonksiyonun Grafiği

Tanjant ve kotanjant Fonksiyonun Grafiği

Sekant ve Kosekant Fonksiyonun Grafiği