Noktanın x=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın x = k dikey doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan yatay uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar uzakta olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası x koordinatında değişim gösterir, y koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (2k - x, y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın x=k doğrusuna olan yatay uzaklığı: x - k kadardır. Simetri noktası olan noktada, bu uzaklığı diğer tarafa aynen alır: k - (x - k) kadar birim olur.  

Bir A(x, y) noktasının x=k doğrusu göre simetrisi; A'(2k - x, y)  olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının x = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası x koordinatı da 2.3 - 5 = 1 olarak bulunur ve y koordinatı değişmediği için sonuç A'(1, 2) olur.

 

Noktanın x=k doğrularına göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:  

A(3,5) noktasının x = 4 doğrusu göre simetri noktası, k=4 için A(3, 5)→ A'(2.4-3, 5)" = A’(5, 5) olur.

B(-2, 1) noktasının x = 0 doğrusu göre simetri noktası, k=0 için B(-2, 1)→ B'(2.0-(-2), 1) = B'(2, 1) olur.

C(6, -3) noktasının x = 5 doğrusu göre simetri noktası, k=5 için C(6, -3)→ C'(2.5-6, -3) = C'(4, -3) olur.

D(-1, -4) noktasının x = -2 doğrusu göre simetri noktası, k=-2 için D(-1, -4)→ D'(2.(-2)-(-1), -4) = D'(-3, -4) olur.

E(0, 0) noktasının x = 3 doğrusu göre simetri noktası, k=3 için E(0, 0)→ E'(2.3-0, 0) = E'(6, 0) olur.

F(2, -5) noktasının x = 1 doğrusu göre simetri noktası,  k=1 için F(2, -5)→ F'(2.1-2, -5) = F'(0, -5) olur.

G(-3, 4) noktasının x = -1 doğrusu göre simetri noktası, k=-1 için G(-3, 4)→ G'(2.-1-(-3), 4) = G'(1, 4) olur. 

---

ÖRNEK: P(m, 3m+1) noktasının, önce x=1 doğrusuna göre simetrisi alınıyor sonra çıkan noktanın orijine göre simetrisi alındığında B noktası oluyor. Elde edilen ikinci simetri noktası, 2x+y−6=0doğrusunun üzerinde olduğuna göre m değeri nedir?

 

Çözüm:  

P(m, 3m+1) noktasının x=1 doğrusuna göre simetrisi P' (2.1 - m, 3m + 1) = P' (2 - m, 3m + 1) olur. Bu noktanın orijine göre simetrisi koordinatlar işaretlerle birlikte yer değiştirir.

B (m - 2, -3m - 1) olur. Elde edilen B noktası, 2x + y - 6 = 0 doğrusunun üzerinde olduğuna göre, 

2(m - 2) + (-3m - 1) - 6 = 0 denkleminden 2m - 4 - 3m - 1 - 6 = 0, -m - 11 = 0, m = -11 olarak bulunur. 

ÖRNEK: K(2c-4, 4+c) noktasının x = 2 doğrusu göre simetrisi alınıyor sonra çıkan noktanın M(1,3) noktasına göre simetrisi alındığında T noktası oluyor. Elde edilen T noktası 4x - 3y - 10 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre c değeri nedir?

Çözüm: 

K(2c-4, 4+c) noktasının x = 2 doğrusu göre simetrisi:

K' = (22 - (2c-4), 4+c) = (4 - 2c + 4, 4+c) = (8 - 2c, 4+c) olur. 

Bu noktanın M(1,3) noktasına göre simetrisi:

T = (21 - (8 - 2c), 23 - (4+c)) = (2 - 8 + 2c, 6 - 4 - c) = (-6 + 2c, 2 - c) olur. 

T noktası, 4x - 3y - 10 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre 

4(-6 + 2c) - 3.(2 - c) - 10 = 0 → -24 + 8c - 6 + 3c - 10 = 0 → 11c - 40 = 0 → 11c = 40 → c = 40/11 olur.