Çemberin çevresi ve ispatı

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. Çevre formülünün hesabı yapılırken, Archimedes’in (Arşimet) π sayısının değerini elde etmek için kullandığı yaklaşımdan yola çıkılarak ispatlama yapılabilir. Bu yaklaşımda pi sayısı şu gerçeğe dayanır: Bir çemberin çevre uzunluğu, n kenarlı düzgün kirişler ve teğetler dörtgenlerinin çevre uzunlukları arasındadır ve n arttırılarak iki çevre uzunluğu arasındaki sapma azalır. Bu gösterim, çokgenler ile çemberin çevre uzunluğu arasındaki fark yavaş yavaş tüketidiği için "tüketme yöntemi" olarak bilinir. Tüketme yöntemini kullanan Archimedes, π sayısının olduğu aralığı 3+10/71< Pi sayısı<22/7 olarak hesaplamış ve buna göre pi sayısının yaklaşık değerini de 3,14 olarak bulmuştur. 

Archimedes’in Pi saysısının bulunması için gösterdiği bu yaklaşımı, çemberin çevresi için kullandığımızda, çemberin içine çizilen kirişlerin oluşturduğu düzgün çokgenlerin kenar sayısı, ne kadar çok arttırılırsa çokgenin çevresi ile çemberin çevresi birbirine o kadar yakın olur. Buna göre düzgün çokgenin kenar sayısı, sonsuza yaklaştığında ise düzgün çokgen, artık çembere dönüşmüş olur ki bu durumda düzgün çokgenin çevresinin limit değeri, çemberin çevresini verir.

Çemberin çevresi, yay uzunluğunun toplamını veren integral bağıntısı ile de hesaplanabilir. Bunun için Çember üzerinde alınan rastgele bir P noktasının kutupsal biçimi yazıldıktan sonra çemberin yay uzunluğunun toplamını veren integral yazılır. Aynı metod dairenin alanını veren bağıntı içinde kullanılır. (Bkz. Dairenin Alanı integral ispatı)

O merkezli, r yarıçaplı dairede AOB merkez açısının gördüğü yay uzunluğunun ölçüsü |AB|;  oran ve orantı yardımıyla bulunur. Daireyi sınırlayan çember, ölçüsü 360° olan bir yay olarak kabul edilebilir. Buna göre orantı yapılırsa merkez açıya karşılık gelen yayın uzunluğu bulunmuş olur.