Dairenin alanı integralle ispatı

Bir düzgün çokgende kenar sayısı ne kadar fazla olursa, düzgün çokgen o kadar çembere benzer. Bu durumda bir düzgün çokgende kenar sayısını sonsuza yaklaştırdığımızda, (limit değeri) düzgün çokgen artık çembere dönüşmüş olur. Dolayısıyla n kenarlı (sonsuz kenarlı) çokgenin alanı hesaplandığında, meydana gelen dairenin de alanı bulunmuş olur.  (Bkz. Dairenin Alanı) Bu şekilde dairenin alanın hesaplanmasında, limit yaklaşımı metodu kullanılır. 

Benzer şekilde dairenin alanı, elipsin alanında olduğu gibi integral yardımıyla da hesaplanabilir.  (Bkz. Elipsin alan ispatı) Bu yöntem ile dairenin alanı hesaplanırken; belirli integral ve açısal (kutupsal) dönüşüm kullanılır.

Yarıçapı "r" olan dairenin alanı, integral yardımıyla da hesaplanabilir. Bunun için 4 tane eş daire dilimlerinden birinin alanı, belirli integralle hesaplandıktan sonra bulunan sonuç, 4 ile çarpılarak tüm dairenin alanı hesaplanır. İntegral hesabında temel fonksiyon tek değişkene göre yazılırken, açısal (kutupsal) dönüşüm uygulanır.