Şapka Deseni (Einstein Aperiodic)

Doğada fraktal ve desen şeklinde, evlerimizde genellikle mutfak ve banyo duvarlarımızda, düzenli bir şekilde dizilmiş ve birbiri ardınca tekrarlanarak sıralanmış karo/fayans desenlerini görüyoruz. Acaba tekrarsız biçimde hiç boşluk kalmayacak şekilde bir düzlemi tamamen döşemek mümkün mü? İşte bu soru yıllarca matematikçileri meşgul etti. Böyle bir şekil, matematikte aperiodik bir monotil veya "einstein" şekli olarak bilinir. Bu isim,  tek parça anlamında kullanılacak şekilde Alman matematikçi Ludwig Danzer tarafından verilmiştir. 

Aperiodik şekil setinin ilk örneğinde çok fazla şekil vardı. Matematikçiler bu sayıyı zaman içinde düşürmek için çalıştılar. Aperiodik şekiller olarak adlandırılan bu özel durumlarda, düzlemdeki döşemeyi devam ettirmek için kopyalayıp yapıştırabileceğiniz tekrarlı bir desen yoktur. Mozaiği nasıl parçalarsak parçalayalım ortaya çıkan her bölüm birbirinden bağımsız ve benzersiz olacaktır. Bu aperiodik modeller,  matematikçilerin bu yöndeki çalışmalarda ilerlemesiyle bugüne kadar, birbirinden farklı şekillerde en az iki fayanstan oluşacak şekilde bir seviyeye kadar gelebilmişti. Acaba bu aperiodik modelleri, sadece tek bir şekle düşürebilmek mümkün müydü?

Matematikçiler, işte bu sorunun cevabı için 1960'lardan beri bir düzlemi boşluksuz döşeyebilecekleri bir karo modeli arıyorlar. Matematikçiler, aperiodik şekil setinin ilk örneğinde 20.000'den fazla şekil olabileceğini tespit ettiler. Elbette bu sayı bir,zemin döşemesiiçin oldukça fazlaydı bu nedenle matematikçiler, bu farklı model sayısını zaman içinde düşürmek için çok çalıştılar. İlk olarak yakın zamanda Berger’in çalışmaları, düzlemi aperiodik olarak döşeyen 20.426 modelin olduğunu gösterir. Takip eden yıllarda, matematikçiler aperiodik mozaikler oluşturabilecek daha küçük fayans setleri buldular. İlk olarak Berger çalışmasını ilerleterek, 104 farklı fayanslı başka bir model buldu. Daha sonra, 1968'de bilgisayar bilimcisi Donald Knuth, 92 benzersiz örnek ile bir tane daha buldu. 1969'da matematikçi Rafael Robinson, sadece altı karo tipi olan yeni bir model buldu ve son olarak 1974'te fizikçi Roger Penrose sadece iki karo ile bir bu döşeme fikri için çözüm sundu. Roger Penrose’un 1970'lerde sadece iki aperiodik fayans içeren setlerdeki keşfiyle sonuçlanan bu eğlenceli çalışma, matematikçiler arasında daha küçük aperiodik fayans setleri inşa etmek için bir yarış başlattı. 1982'de, 2011 Nobel kimya ödülünü kazandıran çalışmaları ile tanınan Dan Shechtman, Penrose şekillerinin benzer simetrilerinin doğada kuaskristal denilen yapılar şeklinde bulunduğunu keşfetti. O zamandan beri, matematikçiler iki boyutlu düzlemi boşluklar veya çakışmalar olmadan aperiodik olarak dolduran sadece tek bir karo bulmaya çalışıyorlar.

1990'larda, Petra Gummelt (1996) ve Hyeong-Chai Jeong and Paul J. Steinhardt (1997) iki farklı çalışma ile düzlemi, aperiodik olarak döşemek için tek bir 10 taraflı döşemenin bitişik kopyalarının bir düzlemi boşluksuz örtebileceğini gösterdi. Yaklaşık on yıl sonra 2000'li yıllarda,Tazmanya'da amatör bir matematikçi olan Joan Taylor, benzer bir şekil keşfetti. 2010 yılında Joshua Socolar yine benzer bir çalışma sundu. 2022 yılında, Los Angeles, California Üniversitesi'nden matematikçiler Rachel Greenfeld ve Terence Tao,  benzer çalışmalar ile yüksek boyutlu bir şekil/desenin döndürülmesine veya yansıtılmasına gerek kalmadan bir düzlemi aperiodik olarak döşeyebileceğini duyurdu. Ancak hiç kimse bir düzlemi aperiodik olarak döşeyen basit iki boyutlu tek bir şekil bulamadı. Sonunda, matematikçiler böyle bir karonun var olup olmadığını merak etmeye başladılar. Birçok matematikçi o zamandan beri tek karo çözüm olan einstein'i aradı, ama hiçbiri maalesef başaramadı.Sonunda bu yönde çalışmalar durdu.

Yapboz, bulmaca ve fraktal meraklısı emekli teknisyen 64 yaşındaki David Smith, 2022 Kasım ayı ortalarında en sevdiği şeylerden birini yaparken ilginç bir şey keşfetti. Şapka şeklinde bir karo ile bir düzlemi boşluk olmadan o karonun kopyalarıyla tamamen doldurabilmenin mümkün olabileceğini gördü. Genellikle fayans döşemesi oluşturduğunda, ya tekrar eden bir desene yerleşirler ya da ekranın çoğu yeri tam olarak boşluksuz döşenemez. Ama bu şapka döşemesi öyle görünmüyordu. David Smith, bu oyun deneyinde, kart stoğundaki şapkanın 30 kopyasını kesti ve bir masaya monte etti. Sonra 30 tane daha kesti ve bu şekilde devam ederek daha önce görülmemiş zor ve küçük bir mozaik karo modeli ürettiğini fark etti. Smith, çalışmasının bir sonucunu görmek amacıyla, Kanada Waterloo Üniversitesi'ndeki bilgisayar bilimcisi Craig Kaplan'a şekli incelemesi için karolarının bir tanımını gönderdi. 

Craig Kaplan, hemen şeklin özelliklerini araştırmaya başladı. David Smith ve Craig Kaplan bu çalışmayı araştırmacılar, Chaim Goodman-Strauss ve Joseph Myers yardımlarıyla birlikte ilerlettiler, sonunda bu şapka modeli döşemesinin matematikçilerin beş yıldan fazla bir süredir aradığı bir şey olduğunu: tekrarlanan bir fayans bloğundan oluşmayan desenlerden oluşan kopyalar ile tüm bir düzlemi tamamen doldurabilen tek bir karo olduğunu keşfettiler. Araştırmacılar, birlikte bu modelin gerçekten bir einstein şekli olabileceğini doğruladılar. Her ne kadar şapka şekline benzemese de bu modele şapka ismini vererek deseni kamuoyu ile paylaştılar.

Matematikçiler, düzlemi tekrarlayan “ veya tam terim olarak periyodik ” biçimde kaplayabilen kareler veya altıgenler gibi şekillerin aksine böyle bir karo veya karo setini (aperiodik) olarak adlandırırlar. Şapka döşemesi, tüm ölçeklerde periyodik düzeni zorla bozacak kadar karmaşık olmasına rağmen oldukça basit formda iki boyutlu bir desen olması açısından, bu türden sonsuz farklı fayanslardan farklıdır.  Yeni keşfedilen şapka döşemesi, bu açıdan bakıldığında aperiodik fayansların sürekliliğinden sadece biri denilebilir. Şapka deseni, bir simetriye sahip değildir ve basitliğinde neredeyse sıradandır. 

Şapka döşemesi esasında, matematiksel açıdan bakıldığında periyodik ve aperiodik döşemelerin birbiriyle daha yakından bağlantılı olduğunu gösteriyor. Her şapka deseninin 13 tarafı vardır: Bu kenar/taraflar altı uzun ve altı kısa uçurtma kenarına karşılık gelen ve iki kısa uçurtma kenarından yapılmış farklı bir tane daha kenar bulundurur. Bu tarafların uzunluklarını kendi aralarında değiştirerek, yeni şekillerin bir sonsuzluğu oluşturulur. Bir kaydırıcı çubuk yardımıyla bu kenarlar üzerinde: Çubuk sola doğru hareket ettirildiğinde, kısa taraflar (gibi yalnız çift kısa taraf) kısalır; sağa doğru hareket ettirildiğinde uzun taraflar kısalır. Bu şekilde kaydırma çubuğu çeşitli uzunluklarda hareket ettirildiğinde sonradan kaplumbağa adı verilen tıpkı şapka deseni gibi yeni bir desen daha bulunabilir. Sonunda bulunan periyodik olmayan tek parça ile aynı özelliklere sahip şapkanın değiştirilmiş bir versiyonu, kaplumbağa deseni olur.

Arkansas Üniversitesi'nde matematikçi ve İngiltere'nin Cambridge kentinde kombinatorik doktorası olan bir yazılım mühendisi Joseph Samuel Myers, bu yöntem sayesinde kaplumbağa modeli gibi şapka deseninin sağında veya solunda bir yerlerde, sonsuz sayıda buna benzer başka şekil ve desenler bulunabileceğini gördü. Kaydırıcıyı sola doğru iterseniz, şapkanın kısa kenarları kaybolur ve altı taraflı bir şekil (chevron) kalır; sağa doğru iterseniz, uzun taraflar kaybolur yedi taraflı (kuyruklu yıldız) olarak adlandırılan bir şekil bırakır. Uzun ve kısa kenarların eşit olduğu kaydırıcı çubuğunun ortasında da yeni bir şekil de olabilir. 

Chevron ve kuyruklu yıldız desenleri de bir düzlemi/bir uçağı kaplamayı periyodik olarak tam bir şekilde döşeyebilir. Bu yöntem, artık daha büyük şapka döşemeleri yapmanın bir yolunu sağlamıştır. Buna göre yukarıdaki şekilde bir H ile başlayabilir, boyutunu büyütebilir, ardından yukarıdaki dört şeklin kombinasyonuyla bu kaplamayı doldurabilirsiniz. Ardından, tüm bu montajı şişirebilir ve (artık çok büyük olan) H içindeki tüm şekilleri H, T, P ve F şekil çeşitleriyle doldurabilirsiniz. Şekiller içinde giderek daha büyük bir şekil hiyerarşisi oluşturarak bu adımları süresiz olarak tekrarlayabilirsiniz. Hiyerarşinin en alt basamağında ise daima şapka deseni yer alır.

Joseph Samuel Myers, kaydırıcıdaki tüm şekillerin iki uç ve orta nokta hariç, aperiodik bir şekil olduğunu kanıtlamak için chevron ve kuyruklu yıldızın geometrisini kullanılabileceğini fark etti.

Bu yöndeki çalışmalar, bilişim dünyasının yardımıyla halen bilişim dünyasının desteği ile devam ediyor. Bundan sonraki çalışmalarda matematikçiler, yeni desenler için bu şekilde bir tür kaynak belirleyebilecek mi? İşte merak edilen genel soru bu.

Stanford Üniversitesinden matematikçi Rafe Mazzeo, buluşun bilimsel değerlendirme süreci tamamlanarak kesinleşmesi durumunda, araştırma alanında büyük bir çığır açacağını söyleyerek "Döşemelerin fizik, kimya ve daha birçok alanda, örneğin kristallerin incelenmesinde birçok işe yarayacağını söyledi. Bu yeni keşif, çarpıcı derecede basit bir örnek olması açıdından önemli. Yeni periyodik olmayan döşemeler bulmak için bilinen standart bir teknik yoktu. Bu yüzden bu yöntem, gerçekten yeni bir fikir içeriyor ve heyecan verici." ifadelerini kullandı.(AA Haber Metni)

Einstein Aperiodic Monotile Lego (Youtube)

Kaynak:

https://www.scientificamerican.com/article/newfound-mathematical-einstein-shape-creates-a-never-repeating-pattern/

https://www.quantamagazine.org/hobbyist-finds-maths-elusive-einstein-tile-20230404/

https://www.thetimes.co.uk/article/retired-yorkshireman-solves-elusive-einstein-tile-maths-problem-vqw7xgt3p

https://www.theguardian.com/science/2023/apr/03/new-einstein-shape-aperiodic-monotile