İntegralle hacim hesabı

Bir geometrik forma sahip olan geometrik cisimlerin (prizma, piramit, silindir, koni,küre) hacimleri katı cisimlerin alan formülleri yardımıyla bulunabilir. (Bkz. Katı cisimlerin hacimleri) Düzgün bir geometrik formu olmayan cisimlerin veya bir fonksiyonun bir eğri/eksen etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cisimlerin hacimleri integral yardımıyla hesaplanır.

Herhangi bir f(x) eğrisinin bir [a,b] kapalı aralığında bir eksen etrafında (x ekseni, y ekseni, herhangi bir doğru veya eğri etrafında) 360 derece döndürülmesiyle ortaya üç boyutlu bir dönel cisim çıkar. Bu cismin sınırladığı bölgenin hacmi integralle bulunur. Eğri x ekseni etrafında döndürülüyorsa fonksiyon x değişkenine bağlı olarak yazılır buna göre hacim hesaplaması yapılır.

Herhangi bir f(x) eğrisinin bir [a,b] kapalı aralığında bir eksen etrafında (x ekseni, y ekseni, herhangi bir doğru veya eğri etrafında) 360 derece döndürülmesiyle ortaya üç boyutlu bir dönel cisim çıkar. Bu cismin sınırladığı bölgenin hacmi integralle bulunur. Eğri y ekseni etrafında döndürülüyorsa fonksiyon y değişkenine bağlı olarak yazılır buna göre hacim hesaplaması yapılır.

Bazı fonksiyonlar, x ve y ekseni dışında bir doğru etrafında da 360 derece dödürülerek bir dönel cisim meydana getirilebilir. Bu durumda öncelikle verilen eğri ile doğrunun ortak kesişim noktaları bulunmalıdır. Daha sonra bu kesişim noktalarını aralık kabul eden sınırlar içinde integralle hacim hesabı yapılır.

 

Fonksiyon herhangi bir eksen etrafında 360 dereceden daha az bir derece ile döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi döndürme açısına bağlı olarak oranlanarak hesaplanır. Örneğin fonksiyon eksen etrafında 90 derece döndürülmüşse 90/360 oranından tüm hacim 1/4 oranında olur.

Bir fonksiyonun grafiği başka bir fonksiyon grafiği eksen kabul edilerek bunun etrafında da döndürülerek dönel bir cisim oluşturulabilir. Bu durumda her iki fonksiyonun denklemleri birbirinden çıkarılarak kalan bölgenin döndürülmesiyle elde edilen hacim hesabı integral yardımıyla bulunur.

 

Bazı özel fonksiyon eğrilerinin aralarında kalan düzlemsel bölgenin, bir eksen etrafında belli bir açıyla döndürülmesiyle oluşan hacmi bulunurken, sınırlanan bölgenin alt ve üst sınırları (uç noktaları) farklı işlemler yapılarak bulunabilir. Örneğin trigonometrik bir fonksiyon verilmişse, bunların sınırladığı kapalı aralığın bulunmasında trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerinden yararlanılır. (Bkz. Temel Trigonometrik denklemler) Eğer logaritmalı veya üstel biçimli bir fonksiyon verilmişse, burada sınır değerleri bulunurken logaritma denklemlerinin çözüm kümesinden yararlanılır. Daha sonra integral alma işlemlerine geçilerek hacim hesabındaki aynı işlemler tekrarlanır. Özel fonksiyonların grafiklerinin doğu çizilmesi ve döndürülmesi istenen bölgenin doğru bir biçimde belirlenmesi hacim hesabının öncelikli şartıdır.

 

Küre cisminin hacmi de bir daire parçasının döndürülmesiyle oluşan bir dönel cisim olduğundan integral yardımıyla hacmi hesaplanabilir. (Bkz. Küreni alan ve hacmi) Çember denkleminde x²+y²=r²  y eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak, y=f(x) biçiminde fonksiyon oluşturulduktan sonra dairenin yarıçapına kadar olan parçası x ekseni etrafında 360 derece döndürülerek integral yardımıyla yarım küre hacmi bulunur. Bu bulunan hacim 2 ile çarpılarak tam kürenin hacmi elde edilir.