Matris, bir matematiksel kavram olup, sayıları düzenli olarak dörtgen
şeklinde düzenlemek için kullanılan bir tablodur.Matris, matematikte
genellikle tablo benzeri bir yapıda verilen verileri düzenlemek için
kullanılır. Katsayıların ve bilinmeyen değişkenlerin düzenli bir şekilde
temsil edilmesine olanak tanır. Matrisler genellikle boyutlarına ve içerdikleri öğelerin türüne göre sınıflandırılabilir. Temel matris türleri şunlardır:
1.
Karesel Matris: satır ve sütun sayısının eşit olduğu, yani kare
şeklinde olan matristir. Kare matris, boyutu nxn tipinde bir matristir.
Kare matrislerde determinant hesaplanabilir ve tersi alınabilir. Ayrıca
özdeğerler ve özvektörler gibi önemli matris özellikleri kare
matrislerle ilgilidir. Özellikle fizik, matematik ve mühendislik gibi
alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar.
2. Sütun Matrisi: Yalnızca bir sütun ve birden fazla satırdan oluşan matrislerdir. Sütun matrisinin boyutu mx1'dir.
3. Satır Matrisi: Yalnızca bir satır ve birden fazla sütundan oluşan matrislerdir. Satır matrisinin boyutu 1xn'dir.
4. Sıfır Matris: Tüm elemanları sıfır olan matrislerdir.
5.
Birim Matris: Diagonalindeki elemanların 1, diğer elemanların 0 olduğu
kare matrislerdir. Birim matrisler genellikle I harfi ile gösterilir.
6.
Dik Matris: Bir kare matris ile bunun transpozu olan matris
çarpıldığında birim matris bulunuyorsa bu matris dik (ortagonal)
matristir. Bir matrisin determinantı bulunduktan sonra bu değerin
karekökünün tersi ile bu ilk matris çarpıldığında ortaya çıkan kare
matrislerdir.
7.
Simetrik matrislerde ise elemanlar yatay veya dikey olarak simetridir.
Yani transpoze matrisi kendisiyle aynı olan matristir. Simetrik bir
matris, köşegeni etrafında simetrik olan kare matristir. Yani, matrisin
transpozunu aldığımızda başlangıçtaki matrisi aynen elde ederiz. Kare
matris olmayan bir matris simetrik veya ters simetrik matris olmaz.
Simetrik matrisler genellikle özel matris işlemlerinde, lineer cebirde
ve karmaşık sistemlerin analizinde yaygın olarak kullanılır. Bir
simetrik matris örneği aşağıdaki şekilde olabilir. Örnekte verilen bu
matris, simetrik bir matristir çünkü matrisin diagonal çizgisi (sol
üstten sağ alta doğru) aynı değerlere sahiptir ve matrisin üzerindeki ve
altındaki elemanlar simetriktir.
Matristeki verilen elemanlar, köşegene göre hem simetrik hem de işaretleri de değişmiş ise o zaman ters simetrik matris olur.
8.
Üçgensel matris, üçgen formda olan bir kare matristir. Üst üçgensel
matris ve alt üçgensel matris olmak üzere iki tür üçgensel matris
vardır. Üst üçgensel matrisde üst üçgen kısmı sıfırdan farklı elemanlar
ile doluyken, alt üçgensel matrisin alt üçgen kısmı sıfırdan farklı
elemanlar ile doludur. Kısaca, üst üçgensel matris: Köşegen altındaki
üçgenin tüm elemanları sıfır olan matristir. Alt üçgensel matris:
Köşegen üstündeki üçgenin tüm elemanları sıfır olan matristir. Üçgensel
matrisler, belirli matris işlemlerini daha kolay hale getirebilir ve
sistemin çözümünü hızlandırabilir. Bir üçgensel matrisin çözümü
genellikle daha hızlı ve daha basit olabilir çünkü sıfır olmayan
elemanlar belirli bir desen takip eder. Üçgensel matrislerin çözümü daha
kolay ve hızlıdır çünkü doğrudan uygulanan algoritmalarla daha düzgün
ve basit bir yapıya sahiptir. Bu tür matrisler genellikle Gaussian
eliminasyon yöntemi gibi işlemlerde tercih edilir.
9.
Diagonal matris: Köşegen üzerindeki elemanları farklı olan matristir.
Diagonal matris, köşegen dışındaki tüm elemanlarının sıfır olduğu bir
kare matristir. Yani bir kare matrisin sadece köşegen elemanlarından
oluşur. Örneğin, 3x3 boyutunda bir diagonal matris aşağıdaki gibi
olabilir:
Diagonal
matrisler genellikle lineer cebir ve matris hesaplamalarında
kullanılır. Özellikle matris denklemlerini çözerken, matriksin köşegen
elemanlarının dışındaki tüm elemanları sıfır olduğu için bazı
hesaplamaları kolaylaştırırlar. Diagonal matrisler ayrıca veri
analitiğinde, sinyal işlemede ve görüntü işlemede de kullanılır.
Örneğin, bir veri setindeki kovaryans matrisinin bir türü olan diyagonal
matrisler, değişkenler arasındaki ilişkiyi belirtirken kullanılabilir.
10.
Skaler matris: Bir matrisin köşegen üzerindeki tüm elemanları aynı reel
sayı olan ve diğer bütün elemanları 0 olan matristir. Birim matrisin,
bir skaler ile çarpımı, birim matrisin her elemanını bir sabit sayı
değeriyle çarpmaktır. Bu işlem, matris elemanlarını ölçeklendirmek için
kullanılır ve matrisin boyutunu değiştirmez. Örnek olarak, A matrisi
için k sabiti ile skaler çarpım işleminde birim matrisin tüm elemanları k
sayısı ile tek tek çarpılır ve aynı konuma yazılarak yeni bir matris B
matrisi şeklinde gösterilir, burada ilk matris A ve son matris B
matrislerinin elemanları tamsayı, ondalık sayı veya diğer sayı türleri
çarpım şeklinde olabilir. Aşağıda k=5 skaler matridine karşılık gelen
4x4 bir kare matris örneği verilmiştir. Skaler matriste sıfırlar
yazılmadan sadece köşegen üzerindeki sayı yazılarak matris formu
gösterilebilir.
11.
Dairesel matris, her satır ve her sütunun bir önceki satır ve sütunla
dairesel bir şekilde bağlantılı olduğu matristir. Bir satırın bitiminde
yer alan eleman ile bu satırdan sonraki gelen ilk satırın ilk elemanı
aynı şekilde başlar ve bu şekilde zincir gibi devam eder. Bu dairesel
matrisler genellikle dairesel simetriye veya döngüsel yapıların
temsiline uygun olan durumlar için kullanılır. Köşegenin dışındaki
elemanların sırası, bir döngü oluşturacak şekilde düzenlenmiştir.
Dairesel matris, kare matrisin bir türüdür ve köşegeni etrafında
simetrik olarak düzenlenmiş elemanları içerir. Bu matris türü genellikle
hassas döner sistemlerin ve simetrik yapıların modellenmesinde
kullanılır. Dairesel matrislerde genellikle köşegen dışındaki elemanlar
sıfır olabilir, bu da matrisin özel bir formunu oluşturur. Matematik ve
mühendislikte yaygın olarak kullanılan bu matris türü, özellikle
dairesel simetri özellikleri taşıyan sistemleri analiz etmek için
yararlıdır. Dairesel matrisler, lineer cebir ve diferansiyel denklemler
gibi birçok alanda önemli bir rol oynar.
Bu temel türler matrislerin bazı örnekleridir. Matrisler daha karmaşık çeşitlere de sahip olabilir.
Matrisin minörü,
bir matrisin her bir elemanının çıkarıldığı minör matrisi oluşturan
işlemdir. Yani, bir matrisin herhangi bir satır ve herhangi bir
sütunundan çıkarılan elemanlardan oluşan yeni bir matristir. Ana
matristen bir sütun ve bir satır çıkartılarak elde edilen altmatrise
kısa o mattidin minörü denir. Örneğin, 3x3'lük bir matrisin minörü,
2x2'lik bir altmatristir ve başlangıç matrisinden bir satır ve bir sütun
çıkarılarak elde edilir. Hangi satır ve sütunun çıkarıldığı minörde
indis biçiminde yazılarak gösterilir. Matrisin minörü, ana matrisin bir
altkümesini temsil eder ve genellikle determinant ve ters matris
hesaplamalarında kullanılır. Matrisin minörü, matrisin belirli bir
elemanını dahil etmeyen kısmını ifade eder. Bu işlem, matris
hesaplamalarında önemli bir rol oynar.Matris minörleri genellikle
determinan hesaplamalarında ve lineer cebir problemlerinde kullanılır.
Bir
matrisin minörü; genellikle o matrisin determinantını bulmak için
kullanılır. Bir matrisin belirli bir minörünün determinantı, bu minör
matrisin sütunları ve satırları üzerinden hesaplanarak belirlenebilir.
Minörü bulmak, matrisin determinantını hesaplarken kritik bir rol oynar.
Kofaktör matrisi; bir
matrisin her elemanının kofaktörlerini içeren matristir. Ana matrisin
her elemanının kofaktörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun
çıkarıldıktan sonra kalan determinantın değeridir. Kofaktör matrisi, bir
kare matrisin her bir elemanının kofaktörlerden oluşan bir matristir.
Kofaktör, bir matrisin her bir elemanı için oluşturulan yardımcı bir
matristir ve genellikle matrisin determinantını hesaplamakta kullanılır.
Bir matrisin kofaktör matrisi genellikle şu adımlarla bulunur:
1.
Her bir elemana ait, satır ve sütunlar çıkarılarak minör matrisi bulun.
2. Minör matrislerin determinantını hesaplayın. 3. Hesaplanan
determinanta göre her bir elemanın ayrı ayrı kofaktörünü pozitif veya
negatif olarak belirleyin. Kofaktör, determinantın pozitif veya negatif
olması, elemanın bulunduğu satır ve sütunun toplam değerine bağlı olarak
belirlenir. Satır ve sütun değerleri toplamı tek ise negatif, çift ise
pozitif olur. Örneğin 2.satır 3.sütun elemanın kofaktörünü belirlerken
(2+3=5 tek olduğundan) negatif işaret alınır. 4. Bütün bu
hesaplamalardan sonra kofaktör matrisi elde edilir.
Kofaktör
matrisi genellikle transpoze edilince adjoint matrisi elde edilir.
Adjoint matrisi, matrisin tersini bulmada kullanılır.