Matrisin minörü ve kofaktörü

Matrisin minörü, bir matrisin her bir elemanının çıkarıldığı minör matrisi oluşturan işlemdir. Yani, bir matrisin herhangi bir satır ve herhangi bir sütunundan çıkarılan elemanlardan oluşan yeni bir matristir. Ana matristen bir sütun ve bir satır çıkartılarak elde edilen altmatrise kısa o mattidin minörü denir. Örneğin, 3x3'lük bir matrisin minörü, 2x2'lik bir altmatristir ve başlangıç matrisinden bir satır ve bir sütun çıkarılarak elde edilir. Hangi satır ve sütunun çıkarıldığı minörde indis biçiminde yazılarak gösterilir. Matrisin minörü, ana matrisin bir altkümesini temsil eder ve genellikle determinant ve ters matris hesaplamalarında kullanılır. Matrisin minörü, matrisin belirli bir elemanını dahil etmeyen kısmını ifade eder. Bu işlem, matris hesaplamalarında önemli bir rol oynar.Matris minörleri genellikle determinan hesaplamalarında ve lineer cebir problemlerinde kullanılır.

Bir matrisin minörü; genellikle o matrisin determinantını bulmak için kullanılır. Bir matrisin belirli bir minörünün determinantı, bu minör matrisin sütunları ve satırları üzerinden hesaplanarak belirlenebilir. Minörü bulmak, matrisin determinantını hesaplarken kritik bir rol oynar.

Kofaktör matrisi; bir matrisin her elemanının kofaktörlerini içeren matristir. Ana matrisin her elemanının kofaktörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan determinantın değeridir. Kofaktör matrisi, bir kare matrisin her bir elemanının kofaktörlerden oluşan bir matristir. Kofaktör, bir matrisin her bir elemanı için oluşturulan yardımcı bir matristir ve genellikle matrisin determinantını hesaplamakta kullanılır. Bir matrisin kofaktör matrisi genellikle şu adımlarla bulunur: 

1. Her bir elemana ait, satır ve sütunlar çıkarılarak minör matrisi bulun. 

2. Minör matrislerin determinantını  hesaplayın. 

3. Hesaplanan determinanta göre her bir elemanın ayrı ayrı kofaktörünü pozitif veya negatif olarak belirleyin. Kofaktör, determinantın pozitif veya negatif olması, elemanın bulunduğu satır ve sütunun toplam değerine bağlı olarak belirlenir. 

4. Satır ve sütun değerleri toplamı tek ise negatif, çift ise pozitif olur. Örneğin 2.satır 3.sütun elemanın kofaktörünü belirlerken (2+3=5 tek olduğundan) negatif işaret alınır. 

5. Bütün bu hesaplamalardan sonra kofaktör matrisi elde edilir.

Kofaktör matrisi genellikle transpoze edilince adjoint matrisi elde edilir. Adjoint matrisi, matrisin tersini bulmada kullanılır.

Bir matrisin transpozu

Bir matrisin transpozu (devriği) matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesiyle oluşan yeni bir matristir. Bir matrisin transpozunun tekrar transpozu alınırsa tekrar kendisini verir. Doğrusal (lineer) cebirde, bir A matrisinin transpozu Aᵀ şeklinde ifade edilir.

Skalerle çarpım işleminde transpoze işlemi geçerli olur. Yani bir matrisin skalerle çarpımının transpozu, o matrisin transpozunun aynı skalerle çarpımına eşit olur. Toplam matris üzerinde transpoz alınırsa ayrı ayrı matrislerin transpozları toplamına eşit olur.

İki matrisin çarpımının transpozu alınırsa bu matrislerin transpozlarının çarpımlarında iki matris yer değiştirere çapma işlemi yapılır.

 

Bir matrisin transpozu kendisine eşit ise bu matrise simetrik matris denir. (Simetrik matris: Aᵀ =A) Bir matrisin transpozu kendisinin ters işaretlisine eşit ise bu matrise ters simetrik matris denir.(Ters Simetrik matris: Aᵀ = -A)

Kare matrisin kuvveti

Karesel Matris: satır ve sütun sayısının eşit olduğu, yani kare şeklinde olan matristir. Kare matris, boyutu nxn tipinde bir matristir. Kare matrislerde determinant hesaplanabilir ve tersi alınabilir. Ayrıca özdeğerler ve özvektörler gibi önemli matris özellikleri kare matrislerle ilgilidir. Özellikle fizik, matematik ve mühendislik gibi alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar.

Bir kare matrisin kuvveti alınırken, verilen kuvvet kadar matris kendisi ile çarpılır. Birim matrisin tüm kuvvetleri kendisini verir. 

Yüksek dereceden kuvvet alma işlemi yapıldığında birim matrise ulaşma çalışılır. Daha sonra matrisin kuvveti buna göre düzenlenerek yüksek mertebeden kuvvet alınmış olur.

 

Matrislerde çarpma işlemi

Matrislerde çapma işlemi yaparken, ilk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı birbirine eşit olmalıdır. Çarpılacak iki matrisin sütun ve satır sayılarına dikkat ederek, çarpma işlemi sonucu oluşacak yeni matrisin elemanlarını hesaplamak için satır ve sütun elemanlarını çarparız, ardından sonuç matrisine bu çarpımları toplayarak yeni matrisi oluştururuz. Sonuç matrisinin boyutları, ilk matrisin satır sayısı ve ikinci matrisin sütun sayısı olacaktır.

İki matrisin çarpımı, yeni bir matris oluşturularak yapılır. Yeni matrisin her bir elemanı, ilk matrisin ilgili satırıyla ikinci matrisin ilgili sütununun elemanlarının çarpımının toplamıdır. Örneğin, A matrisi (m x n) boyutlu ve B matrisi (n x p) boyutlu ise, A ile B matrisi arasında çarpma işlemi tanımlanır ve bu çarpım sonucu elde edilen C matrisi (m x p) boyutlu yeni bir matris olacaktır. Son matrisin elemanları, bu oluşan toplam değerlere göre tek tek hesaplanır.

Matris çarpımı, iki matrisin içindeki elemanları uygun şekilde çarparak yeni bir matris oluşturma işlemidir. Örneğin, 2x3 boyutunda bir matris ile 3x2 boyutunda bir matrisi çarptığımızda, sonuç olarak 2x2 boyutunda bir matris elde edilir. 

Örneğin 2x3 boyutlu bir matris, A = [1 2 3; 4 5 6] oldun ve çarpımın tanımlı olması için 3x2 boyutlu bir matris B = [2 0; 1 3; 2 1] şeklinde iki farklı matris verilsin. Bu durumda yukarıdaki açıklamaya göre A*B matris çarpımı şu şekilde yapılır: A matrisinin 1. Satırdaki her bir elemanı B matrisinin 1. Sütunundaki aynı konuma gelen elemanlarla tek tek çarpılır ve bu sonuçlar toplanıp aynı konuma yazılır. Bu işlem tüm bileşenleriçin tek tek aynen yapılır. [1*2+2*1+3*2 1*0+2*3+3*1; 4*2+5*1+6*2 4*0+5*3+6*1] = [10 5; 20 18]. Bu çarpım işlemi sonucunda 2x2'lik bir matris elde edilir. 

 

Aşağıda farklı matrisler için çarpım örnekleri verilmiştir, inceleyiniz.

 

Matrislerde çarpma işleminin bazı önemli özellikleri şunlardır:

1. Matris çarpımı, kesinlikle boyut uyumu yeterliliği gerektirir. (A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır). A matrisi mxn boyutlu bir matris ise B matrisi kesinlikle n satırdan oluşan  nxk şeklinde bir matris olmalıdır. Buna göre A.B matrisi (mxn) ve (nxk) boyutlarından çarpım matrisi (mxk) boyutlu bir matris olur.

2.Matris çarpımı genellikle değiştirilebilir değildir, yani bu matrisler birbirinden farklı ise  AB çarpım matrisi sonucu BA matris çarpımına eşit olmaz.(A.B≠B.A)

3. Matris çarpımı birleşme özelliğini sağlar. Yani üç farklı matrisin çarpım sonucu ayrı ayrı gruplandırılarak bulunabilir. A.(B.C) = (A.B).C şeklinde gruplandırmaya bağlı olarak aynı sonucu verir.

4. Matris çarpımı, toplama işlemi üzerine dağılabilirdir, yani matrislerde toplama işlemi üzerine çarpım işlemi yapıldığında sonuç dağılma yoluyla bulunabilir.  (A+B).C = A.C + B.C şeklinde ifade edilebilir.

5. Bir matrisi bir reel sayı ile çarpma işlemine skalerle çarpım denir. Skalerle çarpma özelliğinde yani k skaleri ile bir matrisle çarpıldığında sonuç k.(AB) = (k.A).B'yi verir. Skalerle çarpım işleminde matrisin bütün elemanları o reel sayı ile tek tek çarpılarak, bulunan sonuçlar aynı konuma tekrar yazılır.

6. Birim matrisle (etkisiz eleman) çarpma, girdi matrisini değiştirmez (A*I = I*A = A). Birim matrisin kuvveti alınsa dahi yine kendisi oluşur.

7.Matrislerde çarpma işleminde, sıfır matrisi vardır: A*0=0 

8. Skalerle çarpım işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. İki farklı skalerle bir matris çarpıldığı zaman skalerin kendi içinde birleşme özelliği vardır.

 

"0" sıfır skaleri ile çarpım yapıldığında sıfır matrisi oluşur. 1 skaleri ile çarpıldığında matrisin kendisi oluşur, yani 1 matrislerde çarpma işlemine göre etkisiz elemandır. 

9. Matris çarpımı genellikle toplama işlemine göre önceliklidir (A*B + C ≠ A*(B + C)).

10. Bir matrisin tersi olan bir matris  ile kendisi çarpıldığında birim matrisi verir.

11. Bir matrisin başka bir matrisle çarpımının transpozesi, o matrislerin transpozelerinin çarpımında sıraları yer değiştirir.

Burada verilen özellikler matris çarpımının temel matematiksel özelliklerinden bazılarıdır.

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemi

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken aynı boyutta olan matrislerin karşılıklı elemanları toplanır veya çıkarılır. Yani iki matrisin toplanabilmesi veya çıkarılabilmesi için kesinlikle satır ve sütunları (mxn) boyutları aynı olmalıdır. Satır ve sütunları aynı ise karşılıklı elemanlar birbirleriyle toplanır veya çıkarılır ve işlem sonucunda aynı boyutta yeni bir matris oluşur.

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemleri, aynı boyuta sahip matrisler arasında gerçekleştirilir. İki matrisi toplamak için, aynı pozisyondaki (karşılıklı satır ve sütuna denk gelen aynı sıradaki) elemanları toplamanız yeterli olacaktır. Benzer şekilde iki matrisi çıkarmak için de aynı pozisyondaki elemanları çıkarmanız gerekmektedir.

Aşağıdaki örneklerde, iki matrisin toplamında veya fark işleminde aynı satır ve sütunda yer alan elemanları karşılıklı olarak topladık veya çıkardık.

Matrislerde toplama işleminde çıkan sonuç yukarıdaki gibi olacaktır. Benzer şekilde, matris çıkarma işlemi de aynı prensiple gerçekleştirilir.

Matris işlemlerinde dikkat etmeniz gereken nokta, işlem yapılacak matrislerin aynı boyuta sahip olmasıdır. Eğer matrislerin boyutları farklıysa toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştiremezsiniz.

Matrislerde toplama işleminde değişme özelliği ve birleşme özelliği vardır. Toplama işleminde etkisiz eleman (birim eleman) 0 matrisidir. Toplam işlemine göre A matrisi ile -A matrisi toplandığında birim matrisi( etkisiz matris olan 0 matrisini) verir.

 

Matris çeşitleri

Matris, bir matematiksel kavram olup, sayıları düzenli olarak dörtgen şeklinde düzenlemek için kullanılan bir tablodur.Matris, matematikte genellikle tablo benzeri bir yapıda verilen verileri düzenlemek için kullanılır. Katsayıların ve bilinmeyen değişkenlerin düzenli bir şekilde temsil edilmesine olanak tanır. Matrisler genellikle boyutlarına ve içerdikleri öğelerin türüne göre sınıflandırılabilir. Temel matris türleri şunlardır:

1. Karesel Matris: satır ve sütun sayısının eşit olduğu, yani kare şeklinde olan matristir. Kare matris, boyutu nxn tipinde bir matristir. Kare matrislerde determinant hesaplanabilir ve tersi alınabilir. Ayrıca özdeğerler ve özvektörler gibi önemli matris özellikleri kare matrislerle ilgilidir. Özellikle fizik, matematik ve mühendislik gibi alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar.

2. Sütun Matrisi: Yalnızca bir sütun ve birden fazla satırdan oluşan matrislerdir. Sütun matrisinin boyutu mx1'dir.

3. Satır Matrisi: Yalnızca bir satır ve birden fazla sütundan oluşan matrislerdir. Satır matrisinin boyutu 1xn'dir.

4. Sıfır Matris: Tüm elemanları sıfır olan matrislerdir.

5. Birim Matris: Diagonalindeki elemanların 1, diğer elemanların 0 olduğu kare matrislerdir. Birim matrisler genellikle I harfi ile gösterilir.

6. Dik Matris: Bir kare matris ile bunun transpozu olan matris çarpıldığında birim matris bulunuyorsa bu matris dik (ortagonal) matristir. Bir matrisin determinantı bulunduktan sonra bu değerin karekökünün tersi ile bu ilk matris çarpıldığında ortaya çıkan kare matrislerdir.

7. Simetrik matrislerde ise elemanlar yatay veya dikey olarak simetridir. Yani transpoze matrisi kendisiyle aynı olan matristir. Simetrik bir matris, köşegeni etrafında simetrik olan kare matristir. Yani, matrisin transpozunu aldığımızda başlangıçtaki matrisi aynen elde ederiz. Kare matris olmayan bir matris simetrik veya ters simetrik matris olmaz. Simetrik matrisler genellikle özel matris işlemlerinde, lineer cebirde ve karmaşık sistemlerin analizinde yaygın olarak kullanılır. Bir simetrik matris örneği aşağıdaki şekilde olabilir. Örnekte verilen bu matris, simetrik bir matristir çünkü matrisin diagonal çizgisi (sol üstten sağ alta doğru) aynı değerlere sahiptir ve matrisin üzerindeki ve altındaki elemanlar simetriktir.

Matristeki verilen elemanlar, köşegene göre hem simetrik hem de işaretleri de değişmiş ise o zaman ters simetrik matris olur.

8. Üçgensel matris, üçgen formda olan bir kare matristir. Üst üçgensel matris ve alt üçgensel matris olmak üzere iki tür üçgensel matris vardır. Üst üçgensel matrisde üst üçgen kısmı sıfırdan farklı elemanlar ile doluyken, alt üçgensel matrisin alt üçgen kısmı sıfırdan farklı elemanlar ile doludur. Kısaca, üst üçgensel matris: Köşegen altındaki üçgenin tüm elemanları sıfır olan matristir. Alt üçgensel matris: Köşegen üstündeki üçgenin tüm elemanları sıfır olan matristir. Üçgensel matrisler, belirli matris işlemlerini daha kolay hale getirebilir ve sistemin çözümünü hızlandırabilir. Bir üçgensel matrisin çözümü genellikle daha hızlı ve daha basit olabilir çünkü sıfır olmayan elemanlar belirli bir desen takip eder. Üçgensel matrislerin çözümü daha kolay ve hızlıdır çünkü doğrudan uygulanan algoritmalarla daha düzgün ve basit bir yapıya sahiptir. Bu tür matrisler genellikle Gaussian eliminasyon yöntemi gibi işlemlerde tercih edilir.

9. Diagonal matris: Köşegen üzerindeki elemanları farklı olan matristir. Diagonal matris, köşegen dışındaki tüm elemanlarının sıfır olduğu bir kare matristir. Yani bir kare matrisin sadece köşegen elemanlarından oluşur. Örneğin, 3x3 boyutunda bir diagonal matris aşağıdaki gibi olabilir:

Diagonal matrisler genellikle lineer cebir ve matris hesaplamalarında kullanılır. Özellikle matris denklemlerini çözerken, matriksin köşegen elemanlarının dışındaki tüm elemanları sıfır olduğu için bazı hesaplamaları kolaylaştırırlar. Diagonal matrisler ayrıca veri analitiğinde, sinyal işlemede ve görüntü işlemede de kullanılır. Örneğin, bir veri setindeki kovaryans matrisinin bir türü olan diyagonal matrisler, değişkenler arasındaki ilişkiyi belirtirken kullanılabilir.

10. Skaler matris: Bir matrisin köşegen üzerindeki tüm elemanları aynı reel sayı olan ve diğer bütün elemanları 0 olan matristir. Birim matrisin, bir  skaler ile çarpımı, birim matrisin her elemanını bir sabit sayı değeriyle çarpmaktır. Bu işlem, matris elemanlarını ölçeklendirmek için kullanılır ve matrisin boyutunu değiştirmez. Örnek olarak, A matrisi için k sabiti ile skaler çarpım işleminde birim matrisin tüm elemanları k sayısı ile tek tek çarpılır ve aynı konuma yazılarak yeni bir matris B matrisi şeklinde gösterilir, burada ilk matris A ve son matris B matrislerinin elemanları tamsayı, ondalık sayı veya diğer sayı türleri çarpım şeklinde olabilir. Aşağıda k=5 skaler matridine karşılık gelen 4x4 bir kare matris örneği verilmiştir. Skaler matriste sıfırlar yazılmadan sadece köşegen üzerindeki sayı yazılarak matris formu gösterilebilir.

11. Dairesel matris, her satır ve her sütunun bir önceki satır ve sütunla dairesel bir şekilde bağlantılı olduğu matristir. Bir satırın bitiminde yer alan eleman ile bu satırdan sonraki gelen ilk satırın ilk elemanı aynı şekilde başlar ve bu şekilde zincir gibi devam eder. Bu dairesel matrisler genellikle dairesel simetriye veya döngüsel yapıların temsiline uygun olan durumlar için kullanılır. Köşegenin dışındaki elemanların sırası, bir döngü oluşturacak şekilde düzenlenmiştir. Dairesel matris, kare matrisin bir türüdür ve köşegeni etrafında simetrik olarak düzenlenmiş elemanları içerir. Bu matris türü genellikle hassas döner sistemlerin ve simetrik yapıların modellenmesinde kullanılır. Dairesel matrislerde genellikle köşegen dışındaki elemanlar sıfır olabilir, bu da matrisin özel bir formunu oluşturur. Matematik ve mühendislikte yaygın olarak kullanılan bu matris türü, özellikle dairesel simetri özellikleri taşıyan sistemleri analiz etmek için yararlıdır. Dairesel matrisler, lineer cebir ve diferansiyel denklemler gibi birçok alanda önemli bir rol oynar.

Bu temel türler matrislerin bazı örnekleridir. Matrisler daha karmaşık çeşitlere de sahip olabilir.

Matrisin minörü, bir matrisin her bir elemanının çıkarıldığı minör matrisi oluşturan işlemdir. Yani, bir matrisin herhangi bir satır ve herhangi bir sütunundan çıkarılan elemanlardan oluşan yeni bir matristir. Ana matristen bir sütun ve bir satır çıkartılarak elde edilen altmatrise kısa o mattidin minörü denir. Örneğin, 3x3'lük bir matrisin minörü, 2x2'lik bir altmatristir ve başlangıç matrisinden bir satır ve bir sütun çıkarılarak elde edilir. Hangi satır ve sütunun çıkarıldığı minörde indis biçiminde yazılarak gösterilir. Matrisin minörü, ana matrisin bir altkümesini temsil eder ve genellikle determinant ve ters matris hesaplamalarında kullanılır. Matrisin minörü, matrisin belirli bir elemanını dahil etmeyen kısmını ifade eder. Bu işlem, matris hesaplamalarında önemli bir rol oynar.Matris minörleri genellikle determinan hesaplamalarında ve lineer cebir problemlerinde kullanılır.

Bir matrisin minörü; genellikle o matrisin determinantını bulmak için kullanılır. Bir matrisin belirli bir minörünün determinantı, bu minör matrisin sütunları ve satırları üzerinden hesaplanarak belirlenebilir. Minörü bulmak, matrisin determinantını hesaplarken kritik bir rol oynar.

Kofaktör matrisi; bir matrisin her elemanının kofaktörlerini içeren matristir. Ana matrisin her elemanının kofaktörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan determinantın değeridir. Kofaktör matrisi, bir kare matrisin her bir elemanının kofaktörlerden oluşan bir matristir. Kofaktör, bir matrisin her bir elemanı için oluşturulan yardımcı bir matristir ve genellikle matrisin determinantını hesaplamakta kullanılır. Bir matrisin kofaktör matrisi genellikle şu adımlarla bulunur: 

1. Her bir elemana ait, satır ve sütunlar çıkarılarak minör matrisi bulun. 2. Minör matrislerin determinantını  hesaplayın. 3. Hesaplanan determinanta göre her bir elemanın ayrı ayrı kofaktörünü pozitif veya negatif olarak belirleyin. Kofaktör, determinantın pozitif veya negatif olması, elemanın bulunduğu satır ve sütunun toplam değerine bağlı olarak belirlenir. Satır ve sütun değerleri toplamı tek ise negatif, çift ise pozitif olur. Örneğin 2.satır 3.sütun elemanın kofaktörünü belirlerken (2+3=5 tek olduğundan) negatif işaret alınır. 4. Bütün bu hesaplamalardan sonra kofaktör matrisi elde edilir.

Kofaktör matrisi genellikle transpoze edilince adjoint matrisi elde edilir. Adjoint matrisi, matrisin tersini bulmada kullanılır.

Matrisler ve kullanım yerleri

Matris, bir matematiksel kavram olup, sayıları düzenli olarak dörtgen şeklinde düzenlemek için kullanılan bir tablodur. Matris, matematikte genellikle tablo benzeri bir yapıda verilen verileri düzenlemek için kullanılır. Katsayıların ve bilinmeyen değişkenlerin düzenli bir şekilde temsil edilmesine olanak tanır. Bir matris, satır ve sütunlardan oluşan bir düzen içindeki sayıların oluşturduğu bir dizi veridir. Özellikle lineer cebirde sıkça kullanılır ve birçok matematiksel işlemde temel bir rol oynar. Matrisler, matematiksel denklemleri ve sistemleri etkili bir şekilde çözmek için yaygın olarak kullanılır.

Matris, matematikte, belirli bir düzen içinde sıralanmış sayıların oluşturduğu bir dizi olarak tanımlanır. Matrisler, satırlar ve sütunlar olmak üzere iki boyutlu matematiksel bir yapıya sahiptir. Bir matrisin boyutu, satır ve sütun sayılarının çarpımı olan bir tam sayı ile gösterilir. Matrisin boyutu, genellikle m satır, n sütun olmak üzere "m x n" seklinde gösterilir. (2x3 şeklinde verilen bir matris 2 satır ve 3 sütundan oluşan toplam 6 elemanlı bir matristir.) 

Örnek olarak 3x3 boyutunda bir matris örneği aşağıda verilmiştir. Bu matriste 3 satır ve 3 sütun bulunmaktadır. Matrisin elemanların indisleri soldan sağa ardışık olarak artmaktadır. Bu matris, toplamda 3x3=9 adet elemana sahiptir. 

 

Farklı bir yazım biçimine örnek olarak 4 satır ve 2 sütundan oluşan bir matris aşağıdaki şekilde yazılabilir. Satır ve sütunlardaki sayılar aynı sırayla yer değiştirildiğinde matrisin transpozu elde edilir. Matrisin satır ve sütunlarında her türlü reel sayı, karmaşık sayı, harf, kelime yapıları ve sembol kullanılabilir.

Matrisler, lineer cebir, istatistik ve mühendislik gibi çeşitli matematiksel konularda yaygın bir şekilde kullanılır. Matris, matematikte genellikle gelecekteki bir dizi işlemde işimize yarayan verileri düzenli bir şekilde saklayarak kolay erişim ve işlem yapmamızı sağlar. Matris, matematikte birçok sayısal veriyi düzenli bir şekilde gruplamak için kullanılan bir yapıdır. Her bir eleman pozisyonu belirli bir sayısal değeri temsil eder ve matris işlemleri kullanılarak çeşitli matematiksel hesaplamalar, şifre algoritmaları, denklem çözümleri yapılabilmektedir. Matrisler, lineer cebir, istatistik, grafik teorisi gibi birçok alanda kullanılır. Örneğin, bilgisayar grafiklerinde dönüşüm matrisleri kullanılır. Matrisler ayrıca katlı denklem sistemlerinin çözümünde, veri analizinde ve mühendislik problemlerinde de yaygın olarak kullanılır. Matrisler; edebi metinler, sanat ve estetik konularına da ilham olmuştur. Mesela Cihan devleti Osmanlı'nın büyük sultanı askeri dehasının yanında edebi niteliğini de ortaya çıkaran Yavuz Sultan Selim, matrislerdeki transpoz işlemine benzer nitelikte ünlü bir şiir örneği yazmıştır.(Bkz. Yavuz Sultan Selim Şiiri ve matris örneği)

Mühendislikte matrisler, birden fazla denklemi ve bilinmeyeni içeren sistemleri modellemek ve çözmek için kullanılır. Matrisler aynı zamanda mühendislik problemlerini analiz etmek, verileri işlemek, görselleştirmek ve dönüştürmek için de önemli bir araçtır. Matrisler, doğrusal cebirde ve sayısal analizde geniş bir uygulama alanına sahiptir ve mühendislerin karmaşık problemleri çözmelerine yardımcı olur. Bu nedenle, matrisler mühendislik alanında temel bir matematik aracı olarak kullanılır.

Kimya alanında matris kullanımı genellikle kimyasal denge, reaksiyon kinetiği, moleküler yapının analizi gibi konularda karşımıza çıkar. Matrisler, kimyasal denge denklemlerinin matematiksel olarak çözülmesi, reaksiyon hızlarının belirlenmesi ve kimyasal bileşenler arasındaki etkileşimlerin incelenmesi gibi birçok alanda kullanılabilir. Örneğin, kimyasal reaksiyonlarda matrisler, farklı reaksiyon hızlarını temsil eden denklemler halinde kullanılabilir. Bu denklemler matris formunda ifade edilip, reaksiyonların gidiş yönü ve hızı hakkında bilgi sağlayabilir. Ayrıca moleküler yapının analizi için matrisler kullanılarak, kimyasal bileşikler arasındaki bağların gücü, uzunluğu ve türü gibi özellikler incelenebilir. Matrisler, kimyanın matematiksel modellenmesinde ve analizinde önemli bir araçtır ve çeşitli kimya problemlerinin çözümünde başvurulan bir yöntemdir. Matrisler ayrıca spektroskopik verilerin işlenmesi ve kimyasal sistemlerin dinamik modellemesi için de kullanılır. Kimya alanındaki hesaplamalarda matrislerin etkin kullanımı, karmaşık sistemleri daha iyi anlamamıza ve tahmin etmemize olanak tanır. Matrisler, kimyanın analitik, deneysel ve teorik yönlerini bir araya getirerek kapsamlı bir analiz ve çözüm sağlar.

Fizikte matrisler, denklemleri ve sistemleri etkili bir şekilde modellemek için sıkça kullanılır. Örneğin, hareket denklemleri matris formunda yazılabilir ve bu şekilde karmaşık fizik problemleri çözülebilir. Matrisler aynı zamanda elektrik devre sistemleri, titreşim analizi, moment denge denklemleri, elektrik alan Maxwell denklemleri, manyetizma, ışığın kırılması, akışkan dinamiği, ısı transferi ve kuantum mekaniği gibi çeşitli fizik alanlarında da yaygın olarak kullanılır. Matrisler ayrıca vektörlerin dönüşümlerini temsil etmek, vektör ve tensor hesaplamaları yapmak ve veri analizinde kullanılmak gibi alanlarda da önemlidir.

Biyoistatistik ve genetik konularında matrisler sıkça kullanılır. Genetikte, gen ekspresyon verileri veya DNA dizileri matrisler şeklinde temsil edilebilir. Biyolojik organizmaların benzerliklerini veya farklılıklarını incelemek için matrisler kullanılır. Ayrıca filogenetik analizlerde, taksonomik ilişkileri göstermek için evrimsel ağaçlar matrislerle oluşturulur. Örneğin, genetik değişkenlikleri karşılaştırmak için amino asit dizileri matrislerde kıyaslama yapılabilir. Matrisler ayrıca protein-etkileşim ağları, hücresel sinyal iletimi ve metabolik yollar gibi biyolojik süreçlerin modellenmesinde de kullanılır. Genetik araştırmalarda ve epidemiyolojide matrisler sıkça kullanılır. Genetik araştırmalarda genetik benzerlikleri göstermek için genetik matrisler kullanılırken, epidemiyolojide hastalık yayılımını ve etkileşimleri analiz etmek için kullanılır. Matrisler, genetik verileri depolamak, analiz etmek ve genetik ilişkileri incelemek için etkili bir araçtır. Aynı zaman da protein-protein etkileşim ağlarını modellemek ve anlamak için sistem biyolojisi alanında da yaygın olarak kullanılırlar.

Şifreleme işlemlerinde de matrisler kullanılır. Şifrelemede veriyi daha karmaşık hale getirmek için matris biçimleri kullanılır. Örneğin, veriler matrislere yerleştirilir ve belirli bir algoritma kullanılarak şifrelenir. Şifre çözme işlemi ise aynı algoritmayı kullanarak matris üzerinde ters işlemler yaparak gerçek veriye ulaşmayı sağlar. Bu şekilde matrisler, şifreleme algoritmalarında verinin gizliliğini artırmak için kullanılır. Matrislerin boyutları, verinin nasıl parçalara ayrılacağı ve karmaşıklaştırılacağı konularında belirleyici bir rol oynar.

Matris kullanarak şifreleme yöntemleri arasında en yaygın olanları, Hill Cipher ve Playfair Cipher'dir. Hill Cipher'da, metin blokları matrisler olarak işlenir ve matrisler arasında modüler aritmetik işlemleri yapılır. Hill cipher, matris işlemlerini kullanarak metinleri şifrelemek veya çözmek için kullanılır. Matrislerle çalışarak her harfi sayıya çevirip matris çarpımıyla şifreleme işlemi gerçekleştirilir. Hill cipher, çoklu formların kullanıldığı bir blok şifreleme tekniğidir. Anahtar matrisleri kullanılarak metin blokları üzerinde matris çarpımı işlemi gerçekleştirilir. Bu işlemle metin bloğu şifrelenir ve ardından şifreli metin bloğu elde edilir. Hill cipher şifresini oluşturmak için şu adımları takip edebilirsiniz: 1. Anahtar şifre çözücü matrisini oluşturun: İlk adım, şifreleme için kullanılacak anahtar matrisini oluşturmaktır. Bu matris, metni şifrelemek ve ardından şifreyi çözmek için kullanılacaktır. Genellikle tüm matris elemanları mod 26'ya göre olan tam sayılar içeren bir matris olmalıdır. 2. Metin bloğunu oluşturun: Şifrelenecek metni bloklara bölme işlemi yapın. Bloklar genellikle belirli bir boyuta sahip olmalıdır. Burada boyut işlemine kullanıcı karar verir. 3. Her bloğu uygun biçimde şifreleyin: Her metin bloğunu anahtar matrisiyle çarpın. İşlem sonucunda şifreli metin bloğu elde edilecektir. 4. Şifreli metin bloklarını birleştirin: Her bloğu şifreledikten sonra şifreli metin bloklarını birleştirerek tam şifreli bir metin elde edebilirsiniz. Hill cipher, daha karmaşık şifreleme yöntemlerinden biri olduğu için doğru bir şekilde uygulamak ve anahtar matrisini düzgün bir şekilde oluşturmak önemlidir. Şifreleme ve şifreyi çözme işlemlerini doğru bir şekilde gerçekleştirmek için dikkatli olmak gerekir.

Playfair şifreleme tekniği, klasik bir matris şifreleme tekniğidir. Playfair şifrelemesi, iki harfli blokları kullanan bir şifreleme oluşturur. Metindeki harfleri dönüştürmek için bir anahtara dayanır ve genellikle bir 5x5 kare matrisi kullanılarak şifreleme işlemi gerçekleştirilir. Aynı kare matrisi içinde bulunmayan iki harf için kurallar belirlenir ve bu kurallara göre metin şifrelenir. Matriste harflerin yer değiştirmesiyle anahtar kelime oluşturulur. Metin, çift harfler halinde gruplandırılır ve değiştirilerek yönergeler doğrultusunda şifreleme işlemi gerçekleşir. Daha güçlü olabilmek için tekrarlanan harflerin arasına rastgele ekstra harfler konabilir. Güçlü ve basit bir yöntem olmasına rağmen, modern şifreleme yöntemleri tarafından güvenlik açısından önerilmemektedir. Playfair şifrelemesi, tarihsel olarak askeri ve diplomatik iletişimde kullanılmıştır, ancak günümüzde daha güvenilir şifreleme teknikleriyle yer değiştirmiştir.

Matris Çeşitleri

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemi

Matrislerde çarpma işlemi

Kare matrisin kuvveti

Matrisin transpozu

Matrisin kofaktörü ve minörü

Doğrusal denklem sistemleri ve matris

Doğrusal denklem sistemlerinde matris çözümü

Çokgenden Pi Sayısına

Pi sayısı, matematikte ilginç bir sayıdır. Herhangi iki sayının birbirine bölümü olarak ifade edilemeyen yani Rasyonel olmayan iraasyonel bir matematik sabitidir. Kısaca tanımlamak gerekirse bir pi sayısı; çemberin çevre uzunluğunun çapına bölümü olarak ifade edebiliriz. 

Pi sayısı için çokgenlerden yola çıkılarak sezgisel olarak yaklaşık bir değere ulaşılabilir. Düzgün çokgenler kullanılarak çevre uzunlukları çap diyebileceğimiz ağırlık merkezlerini herhangi bir köşeye birleştiren doğru parçasına bölerek işlemi sonsuza kadar devam ettiğimizde pi sayısının bilinen 3.14159265359.... değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu işlem defalarca çeşitli çokgenler için denendiğinde pi'nin değeri ortaya çıkar. 

Pek çok matematikçi, pi sayısının değerini yüksek bir doğruluk derecesine göre hesaplayarak, π hakkındaki anlayışlarını genişletmeye çalıştılar. Mısırlılar ve Babilliler de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru π yaklaşımları buldular. MÖ 250 civarında, Yunan matematikçi Arşimet, π'ye yaklaşmak için bir algoritma oluşturdu ve bu algoritmaya dayanarak (π) sayısının ondalık açılım değerini kullandı. Arşimet, 223/71< π < 22/7 rasyonel sayıları arasında (yani 3.1408 < π < 3.1429) olduğunu hesaplamalarda kullanması sayının "Arşimet sabiti" olarak da anılmasını sağladı. MS 5. yüzyılda, geometrik teknikler kullanılarak, Çinli matematikçiler π'yi yedi ondalık basamağa yaklaştırırken, Hintli matematikçiler de beş ondalıklı bir sonuç buldular. π için sonsuz seri'ye dayanan bilinen ilk hesaplama formülü, bunlardan yaklaşık bin yıl sonra keşfedildi. Batlamyus, π değeri için (π ≈ 3,141666..) değerini hesaplamıştır. Gıyaseddin Cemşid Arşimed'in pi sayısının hesaplanması için önerdiği iç içe poligonlar yöntemini kullanarak virgülden sonra 14. basamağa kadar hesaplama yapmış ve pi sayısını kendi zamanının en iyi sonucunu bulmuştur. O güne kadar bilinen en iyi sonuç; Çinli Zu Chongzhi tarafından 6. ondalık basamağa kadar olan sonuçtu. Çinli matematikçi Zu Chongzhi, MS 480 civarında, 3.1415926 < π < 3.1415927 olduğunu belirleyerek, rasyonel bir kesir olarak pi sayısı için π≈355/113=3,14159292035... ve π≈22/7= 3.142857142857... hesaplamış  ve bulunan bu sonuçlar uzun yıllar bilim dünyasında kullanılmıştır. Gıyaseddin Cemşid tarafından kullanılan yöntem, döneminin en iyi sonucunu vermesi açısından büyük bir önem taşıyordu. 

Calculüs'ün ortaya çıkmasıyla kısa sürede π'nin yüzlerce basamağının hesaplanması da mümkün hale geldi. Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri, artan hesaplama gücüyle π'nin ondalıklı gösterimini trilyonlarca basamağa kadar genişleten yeni yaklaşım ve yazılımlar keşfettiler. Bu teknik hesaplamalar, yeni serileri hesaplamak için verimli algoritmaların geliştirilmesinin yanında, insanın rekor kırma arayışını da motive etti.  

Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı da 1706'da William Jones tarafından yapılmıştır. 16. ve 17. yy kadar geometrik  yöntemler kullanılarak (π) nin ondalık basamaklı sayılarının açılımı yapılırken sonraları sonsuz seriler kullanılmaya başlanmış ve (π) nin açılımı, 71 ondalıklı basamağa kadar ulaşmıştır. 1706'da John Machin, pi'nin odalık açılımı için çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullanarak 100 basamaklı açılımını hesapladı. Gregory-Leibniz, John Machin, Nilakantha serisi, Chudnovsky serisi, Gauss–Legendre algoritması, Srinivasa Ramanujan, Franciscus Vieta, Isaac Newton, Ludolph Van Ceulen, Zacharias Dase yöntemi, Bailey-Borwein-Plouffe, William Shanks, Fabrice Bellard, Adamchick-Wagon formülü gibi yöntem ve seri açılım formülleri, bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kalmıştır. Bu tür yöntemler bilgisayar çağına kadar yaklaşık 250 yıl boyunca yeni rekorlar kırmak için kullanıldı. 1946'da Daniel Ferguson tarafından yeni bir yaklaşımla bilgisayar benzeri bir hesaplama aracı kullanmadan sadece elle yapılan bir hesaplama ile pi nin basamak sayısı 620 basamağa ulaşarak bu çağ sonuçlandı. 

Bilgisayar ve teknik çağında 1949 yılında John Wrench ve Levi Smith, bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye kadar (π) ui gösterdiler. ENIAC bilgisayar üzerinde George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip, (arctan) sonsuz serisini kullanarak 70 saatlik bilgisayar çalışmasıyla 2.037 basamaklı bir açılım elde etti. 1973'te bilgisayar çalışmaları ile bu açılım rekoru, 1 milyon haneye ulaşmıştır. Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpımı ve Fourier seri dönüşümleri ile (π) basamak hesaplama adımları çeşitlenerek hızlandı. Bill Gosper, 1985 yılında Srinivasa Ramanujan yöntemi ile 17 milyon basamaklı yeni bir açılım rekoru kırarak, π hesaplamasındaki Machin'in formülü benzeri çoğu arctan serisinden daha hızlı bir formül geliştirdi. 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon haneli (π) ondalığı açılımları bu alanda bilinen yeni rekorlardandır.

İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert, 1768'de π'nin irrasyonel olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı. Lambert bu ispatını, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı. Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre, 1794'te π²'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın olduğunu gösterdi. (π) sembolü daha önceki yıllarda çeşitli şekil ve sembollerde ifade edilse de matematik literatüründe ilk defa Euler tarafından π≈3.14... olarak 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullanılarak yaygınlık kazandı.

(π) nin tanımı, daire ile ilgili olduğu için π, trigonometri ve geometri'deki birçok formülde, özellikle daireler, elipsler ve kürelerle ilgilenen pek çok alanda kullanılır. Ayrıca kozmoloji, fraktal geometri, termodinamik, mekanik ve elektromanyetizma gibi çeşitli bilimlerdeki farklı formüllerde de (π) bulunur. Modern matematiksel analizde, (π) nin tanımında genellikle geometriye herhangi bir referans olmaksızın tanımlama yapılır. Bu nedenle, sayılar teorisi ve istatistik gibi geometri ile çok az ilgisi olan alanlarda da (π) sayısı kullanılır. π'nin her yerde bulunması, onu bilimin içinde ve dışında en çok bilinen matematiksel sabitlerden biri yapmıştır.

π irrasyonel olmasının yanı sıra bir aşkın sayıdır. π aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, π, rasyonel sayılar ve kareköklü sayılar (√3, √5, √37 gibi) veya n-inci derece köklerin (∛7 gibi) herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı pergel ve cetvel ile oluşturulamadığından, "daireyi kareleştirme" problemi mümkün gözükmez. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak mevcut verilere göre mümkün değildir. π için rasyonel bir sayı bulmak ve kullanmak hesaplamalarda kolaylık sağlamıştır. Gündelik hesaplamalarda (π) yerine kolaylık olması açısından {3,  22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102} rasyonel sayıları ve π nin en sık kullanılan ilk 40 ondalık basamağa kadar açılımı olan 3.1415926535897932384626433832795028841971... değeri kullanım için sıklıkla tercih edilmiştir. Eski Ahit’ in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, Hristiyanlardan bazıları, (π) değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesi gerektiğini savunurlar.

Pi sayısı, ilk çağlardan beri gündemde olan farklı ve özel bir sayıdır. Bazı bilim insanları tarafından pi sayısının, "tabiatı açıklamaya yarayan evrensel bir matematik dili" olduğu ifade edilir. Kainatta bir yaratıcıyı kabul etmeyen, bilime adeta tapan çeşitli insan grupları, pi sayısına da  büyük anlamlar yükleyerek, (π)'yi ilah yerine koymuşlardır. Bu kesimler, dünyadaki pek çok şeyin pi sayısıyla meydana geldiğini ileri sürmektedirler. Bu sapkın düşünce yapısı, son derece yanlış ve hatalıdır. Aslında pi sayısı ibret nazarıyla bakıldığında,  Allah’ın varlığını ve birliğini gayet açık bir şekilde ispat etmektedir. Çünkü bütün varlıklar, alemde var olan her şey, son derece ölçülü ve düzgün olarak yaratılmış, hiçbir eksiklik, işleyiş bozukluğu tespit edilmemiştir. Bu nizam,  (π) sayısının keşfedilen sonsuz uzunluktaki ondalıklı açılımlarında bile kusursuz bir düzen eşliğinde devam etmektedir. Sonsuz ilim, irade ve kudret gerektiren bütün yaratılışları, bir sayıya vermek, pi sayısına ilahlık derecesi vermek akıl dışıdır ve bu tip insanlarda sağlam bir akıl yoktur. Nitekim pi benzeri pek çok irrasyonel sayı sonsuz ondalık açılıma sahip olarak devam etmektedir. (π) sayısına bu kadar büyük anlam yükleyerek tapan kişiler, kainattaki yaratılışı ve yaratıcıyı hakkıyla anlayamamıştır. 

pi sayısı, sürekli yeni değerler üreten "canlı" bir sayıdır. Bu (π) sayısının yeni değerler üretmesini, evrenin sürekli olarak genişlemesine benzetebiliriz. Pi sayısının genişlemesi durduğunda, yani pi artık "rasyonel bir sabit sayı" olursa, bu durumda "sayının ölümü" gerçekleşecek ve "evrenin genişlemesi" de nihayet bulacaktır ki bu da kutsal metinlerdeki Kıyamet... 

π sayısının basamakları, mevcut tüm sayıların kombinasyon ve permutasyonlarını içerir. Öyle ki bu basamaklar içinde herhangi bir önemli tarih, doğum ve ölüm tarihine ait tarihler, çeşitli sayı kombinasyonları bulunabilir. Pi sayısı, farklı kitaplara ve sinemalara da konu olmuştur. 1988’de Darren Aronofsky tarafından "Pi: Faith in Chaos" adlı bir film çekilmiştir. Filmde, Pi ile ilgili çeşitli cevaplar bulmaya çalışan bir adamın macerasını ve sonunda delirmesini konu alır. Şiirde ya da yazıda art arda gelen her kelimedeki harf sayısının pi sayısındaki rakamların sıralanışına denk gelişi olarak açıklanan “pilish” tekniği, 1900’lü yılların başından beri çeşitli edebi metinlerde kullanılmaktadır. Pi sayısının ondalık açılımı notalara dönüştürülerek müzik besteleri yapılmıştır. 12 Mart 2009'da ABD Temsilciler Meclisi, 14 Mart 2009 tarihini Ulusal Pi Günü ilan etti. Pi Günü'nün bilinen ilk resmi ya da büyük ölçekli kutlanması 1988'de Fizikçi Larry Shaw ve diğer çalışanlar ile birlikte San Francisco Exploratorium'da gerçekleşmiştir. 

"İnsan, pi (π) sayısına benzer, o da bu alemde varlığı ile her gün yeni bir şeyler üretir, her gün kendisi için dünya yeniden yaratılır, yeni heyecanlar,  yeni olaylarla karşılaşır. Pi sayısı, adı gibi başlangıçta bir sayı gibi görünür ama aslında normal bilinen bir sayı gibi değildir. İnsan da et ve kemik yığınından oluşmuş, sadece zevk ve haz üzere yaşayacak bir varlık değildir. Ruh ve maneviyat taşır. Bir amacı ve gideceği bir yolu vardır. (π) sayısının, 3,1415... şeklinde başlayıp sonsuza doğru gittiğini varsayıyoruz. İnsan da kendini ilelebet yaşayacak zanneder. Ölümü kendisine hiç yakıştıramaz. Nasıl pi sayısının sonsuza gittiğini varsayıyorsak, insan olarak bizler de kendimize bir sonsuzluk atfediyoruz. Oysa baki olan sadece Allah'tır. Anlam veremediğimiz, çırpınarak cevabını bulamadığımız sorular eşliğinde bu ilmin içinde bocalayıp duruyoruz. Kendimizi tanıyana kadar, ne olduğumuzu, nereden gelip nereye varacağımızı görene kadar, tıpkı pi sayısı gibi bu kısır sayı döngüsü ve yaşam çizgisinin içinde debelenip duracağız. Bir yerde sabit kalabilmek ve belirsizlikten kurtulabilmek için ilahi mesajın içeriğine kulak vermek lazım. Ancak o zaman bizi "biz" yapanı bulabilir, "ben" kelimesinin sırrını keşfedebilir ve yaşadığımız şu fani hayatı anlamlandırabiliriz." Kadir PANCAR 

Son olarak şu fani alemde (π) ye çok daha farklı anlamlar yüklemek yerine, Kur’ân’ı Kerîm'de 3. Surenin 14. Ayetine bakıp konuyu noktalayalım.

Kuran-ı Kerim'de buyuruldu ki: "Nefsanî arzulara, kadınlara, oğullara, yığın yığın biriktirilmiş altın ve gümüşe, salma atlara, sağmal hayvanlara ve ekinlere karşı düşkünlük insanlara çekici kılındı. Bunlar, dünya hayatının geçici menfaatleridir. Hâlbuki varılacak en güzel yer, Allah katındadır." (Âl-i İmran Suresi, Sure 3, Ayet 14)

Kologaritma

Kologaritma, gerçek sayılar kümesinde (R) tanımlı olan bir x sayısının çarpmaya göre tersinin logaritmasıdır. A sayısının kologaritması cologA ile gösterirlir. Buna göre bir sayının kologaritması şu şekilde tanımlanır.: cologx= - logx Kologaritmanın kullanıldığı yerlerden biri pH hesaplamalarıdır. 

pH, sulu çözeltilerde hidrojen iyonu aktivitesi için çok önemli bir rol oynar. Kimyada, çözünmüş hidrojen iyonu aktivitesinin ölçüsüne pH denir. pH bir çözeltinin asitlik veya bazlık derecesini tarif eden bir ölçü
birimidir. pH=7 iken çözelti nötr kabul edilir. pH>7 olduğu zaman çözelti bazik olur. pH<7 olduğu zaman da çözelti asidik olur. Suda iyonlaştığında "hidrojen" iyonu (H⁺) veren maddelere Latince ekşi anlamına gelen "asit" denir. Bazlar ise suda iyonlaştığında çözeltiye "hidroksil" (OH^-) iyonu verirler.

ÖRNEK:

log3= 0.477 ise colog3= -log3= -0.477= Bu ifade karakteristik ve mantis kullanılarak da yazılabilir. -0.477+1-1 =olur. -1+0,523 (Bkz. Karakteristik ve Mantis)

ÖRNEK: 0,055 M HNO3 çözeltisinin pH’ını hesaplayınız.

Çözüm: HNO3 kuvvetli asittir. 𝐻𝑁𝑂3 → 𝐻 + 𝑁𝑂3 denkleminde son çözeltide H+’nın konsantrasyonu 0,055 M olur. pH=-log[H+]=-log(0,055)=1,26<7 olduğundan asidiktir.

ÖRNEK: 0,10 M NaOH’un pH’ını hesaplayınız 

Çözüm: NaOH kuvvetli baz olduğundan pOH hesabı üzerinden gidilir. NaOH → Na + OH Çözünme denklemine göre son çözeltideki OH- konsantrasyonu 0,10 M’dır. pOH = -log[OH-] = -log(0,10) = 1,00 olur.  Bu durumda pH=14-pOH=14-1=13

ÖRNEK:Bir çözeltinin pH’ı 6,88’dir. H+ ve OH- konsantrasyonlarını ve pOH’ı bulunuz.

Çözüm: pH=-log[H+] olduğundan [H+]=(10^-pH)=(10^-6,88) =1,32 x 10^-7 M bulunur.  pOH=14-6,88=7,12 buradan da [OH^-]=(10^-pH)=10^-7,12 =7,59 x 10^-8 M olur.