Altın Oran (1,618033.... )

Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze estetik gözükmesi için uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki oran olarak kullanılabilir. Buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiye ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma oranıdır. Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir. Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir: Altın oran, bir sayının kendisine 1 eklenmesiyle sayının karesine eşit olma durumudur. x²-x-1=0 denkleminin pozitif kökü altın oran olarak ifade edilir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden irrasyonel sayıdır.  

 

Altın oranın tam olarak ilk ne zaman kullanıldığına dair kesin bir bilgi yoktur. Matematik ve fizik çalışmalarında tarihin ilk dönemlerinden beri kullanıldığı gözlemlenmiştir. Euclid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), "Elementler" adlı kitabında, bir doğruyu 1,6180339... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, "bir doğruyu "önemli oranda bölmek" diye adlandırmıştır. Mısırlılar, çok daha eski zamanlarda farklı mimari tasarımlarda ve geometrik hesaplamalarda hem pi sayısını (π) hem de Fi (φ) oranını kullanmışlardır. Yunanlar, Parthenon'un tüm tasarımını, altın orana uygun biçimde planlamışlardır. 

 

Altın oran, ünlü Yunan heykeltıraş Phidias’ın eserlerinde sıkça kullandığı bir oran olduğu için, onun anısına Yunan alfabesindeki "Fi" harfi (φ) ile sembolleştirilmiştir. Bazı tarihçilere göre, altın oran Grek dünyasına ilk olarak Pisagor ve takipçileri tarafından tanıtılmıştır. Ancak Fi (φ) sayısını ilk olarak kimin tanımladığı kesin olarak bilinmemektedir. 1900’lü yıllarda Amerikalı matematikçi Mark Barr, bu oranı simgelemek için Phidias’a ithafen Yunan alfabesindeki “Fi” harfini kullanmaya başlamıştır. Bu sembol, zamanla matematiksel ve estetik çalışmalarda yaygın olarak kabul görmüştür. Bazı kaynaklarda "Fi" harfinin, Fibonacci'nin baş harfi olan “F” ile ilişkilendirilerek kullanıldığı iddia edilse de, bu bağlantı tarihsel olarak doğru değildir. Ayrıca, altın oranı ifade etmek için zaman zaman Yunanca’da "ölçü" anlamına gelen “το” (to) kelimesi de kullanılmıştır. Ancak günümüzde φ (Fi) sembolü, altın oranı temsil etmede evrensel olarak kabul görmüş durumdadır.

(Bkz. Altın oranın görüldüğü yerler) 

M.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış olan Pisagor ve takipçileri, doğada, müzikte, matematikte ve özellikle geometrik şekillerdeki orantılar ve sayılar üzerine çalışmışlardır. Özellikle pentagram (beş köşeli yıldız) Pisagorcular için özel bir sembol olmuş ve bu şeklin içindeki uzun-kısa çizgilerin oranlarıyla altın oranı kullanmışlardır. Sözün doğruluğu kesin olmamakla birlikte Pisagor'un altın oranla ilgili şunu söylediği rivayet edilir: "Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir." 

Altın oran, matematiğin estetik üzerindeki etkisinin görüldüğü çok farklı alanlarda karşımıza çıkar. Altın oran, bir doğru parçasının belirli bir noktadan öyle bir şekilde bölünmesidir ki, küçük parçanın uzunluğunun büyük parçaya oranı, büyük parçanın tüm doğruya oranına eşit olur. Yani, bir doğruyu iki parçaya ayırdığınızda, küçük parçanın büyük parçaya oranı ile büyük parçanın tamamına olan oranı birbirine eşitse, bu doğru parçası altın orana göre bölünmüş demektir. Bu oran yaklaşık olarak 1,618 sayısına eşittir ve doğada, sanatta ve mimaride sıkça karşımıza çıkar. Bu özel oran, uyum ve estetiğin matematiksel karşılığı olarak kabul edilir. Altın orana göre bölünmüş bir doğru parçası, simetri ve denge açısından en kusursuz oranlardan biri olarak görülür. 

Altın oran kullanılarak elde ettiğimiz dikdörtgen ise bu bir "Altın dikdörtgen" olur. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı yaklaşık 1.618 dir.. Artık bu dikdörtgenden her defasında bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, hep bir "Altın Dikdörtgen" olacaktır. İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir "Altın Spiral" elde ederiz. Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluşturur. Buna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz. Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler. Altın oran, sadece dörtgenlerde değil, üçgen, beşgen ve altıgenlerde de geçerlidir. Özellikle düzgün (eşkenar) çokgenlerde altın oranla bağlantı kurulabilir. Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir. 

Leonardo Fibonacci, bu sayı sisteminin ilk defa ortaya koymuş ve farklı özelliklerini keşfetmiştir. Bu nedenle bu sayı dizisi onun ismi ile anılmıştır. Leonardo Pisano Fibonacci, tarihi kesin olmamakla birlikte 1170 yılında İtalya'nın Pisa şehrinde doğmuştur. Annesini çocuk yaştayken kaybetmiş sonrasında babasının ticaret işleri nedeniyle, Endülüs'ün hakim olduğu İspanya, Akdeniz sahilleri ve Kuzey Afrika kıyılarına defaatle seyahatler etmiş, uzun süre buralarda yaşamıştır. Fibonacci, babası Guglielmo’nun Cezayir’in Bugia (Bejaia) limanındaki ticari işleri nedeniyle bir süre Cezayir’de yaşama fırsatı bulmuştur. Bu süreçte Arap matematiğiyle tanışmış, Arap matematikçilerinin eserlerinden o dönemde Avrupa'da kullanılan Roma rakamlarının aksine çok daha kullanışlı olan Hint-Arap sayı sistemini öğrenmiştir. Fibonacci, bu eserlerden edindiği bilgileri, Avrupa’ya taşıyarak, Avrupa'da matematiksel düşüncenin gelişmesine katkıda bulunmuştur. 1202 yılında yazdığı “Liber Abaci” adlı kitabıyla Hint-Arap sayı sisteminin Avrupa’da yaygınlaşmasına öncülük etmesi yönüyle Fibonacci, Rönesans öncesi dönemde doğu bilimlerinden beslenen ve Batı’ya aktarımda bulunan önemli bir figür olarak kabul edilmiştir.  

Fibonacci dizisi, ilk iki terimi 1 olup diğer ardışık terimleri, her sayının kendinden önceki iki terimin toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....... şeklinde devam eden sayı dizisine matematik literatüründe "Fibonacci dizisi" adı verilir. Leonardo Pisano Fibonacci, tarihi kesin olmamakla birlikte 1170 yılında İtalya'nın Pisa şehrinde doğmuştur. Annesini çocuk yaştayken kaybetmiş sonrasında babasının ticaret işleri nedeniyle, Endülüs'ün hakim olduğu İspanya, Akdeniz sahilleri ve Kuzey Afrika kıyılarına defaatle seyahatler etmiş, uzun süre buralarda yaşamıştır. Fibonacci, babası Guglielmo’nun Cezayir’in Bugia (Bejaia) limanındaki ticari işleri nedeniyle bir süre Cezayir’de yaşama fırsatı bulmuştur. Bu süreçte Fibonacci, Arap matematiğiyle tanışmış, Arap matematikçilerinin eserlerinden o dönemde Avrupa'da kullanılan Roma rakamlarının aksine çok daha kullanışlı olan Hint-Arap sayı sistemini öğrenmiştir. 

 

Fibonacci, Arap matematikçilerin eserlerinden edindiği bilgileri, Avrupa’ya taşıyarak, Avrupa'da matematiksel düşüncenin gelişmesine katkıda bulunmuştur. 1202 yılında yazdığı “Liber Abaci” adlı kitabıyla Hint-Arap sayı sisteminin Avrupa’da yaygınlaşmasına öncülük etmesi yönüyle Fibonacci, Rönesans öncesi dönemde doğu bilimlerinden beslenen ve Batı’ya aktarımda bulunan önemli bir figür olarak kabul edilmiştir.   Bu şekilde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle oranlandığında altın oran ortaya çıkar, yani bir sayı kendisinden önceki sayıya bölündüğünde altın orana gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir. Fibonacci dizisine benzer şekilde herhangi iki sayıdan başlayarak yeni diziler oluşturulabilir. 4, 4, 8, 12, 20, 32, 52, … Bu haliyle bile muhteşem bir dizi niteliğindedir. Fibonacci sayı dizisindeki sayıların birbirleriyle oranı olan ve altın oran denilen 1,618... sayısı ise doğada, sanatta ve hayatın her alanında görülen ve estetik ile bağdaştırılan bir sayıdır. Ayrıca Pascal Üçgeninde de Fibonacci sayı dizisi bulunmaktadır.  

Bazı matematik kaynaklarında, dizinin ilk terimi 0 olarak kabul edilse de genel kabule göre dizi; 1 sayısından başlar. Buna göre altın oran hesabı, ardışık terimlerin birbirine bölümü olarak hesaplandığında, sabit bir sayıya yaklaşmış olur. Fibonacci dizisinin terimlerini sırasıyla bölelim ve çıkan sonuçlara bakalım. Tablodan da görüleceği gibi dizinin terimleri büyüdükçe oranlar 1.618’e yaklaşır ve sonunda limit değerinde "altın oran" adı verilen irrasyonel sayı sabiti elde edilir. Aşağıdaki tabloda dizinin 20 terimi için bu hesaplama yapılmıştır:  

 

Altın Oran’ın Latince karşılığını Avrupa’da ilk kez kullanan kişi muhtemelen, günümüze ulaşan çalışmaları nedeniyle Leonardo da Vinci olmuştur. Rönesans dönemi sanatçıları, eserlerinde denge ve estetik güzelliği yakalamak amacıyla altın oranı sıkça tercih etmişlerdir. Örneğin, Leonardo da Vinci “Son Yemek” adlı tablosunda, İsa ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar birçok unsuru altın oran doğrultusunda tasarlamıştır. Leonardo da Vinci, 1509 yılında Luca Pacioli'nin yayımladığı "İlahi Oran" adlı eser için çeşitli katı cisimlerin çizimlerini yapmıştır. Bu kitapta Beş Platonik Cisim’in (Five Platonic Solids) çizimleri yer alır. Bunlar; bir küp, dört yüzlü bir tetrahedron, on iki yüzlü bir dodekahedron, sekiz yüzlü bir oktahedron ve yirmi yüzlü bir ikosahedron’dur. Bu beş cisim, matematik ve doğada simetrinin temel yapı taşları olarak kabul edilir ve altın oranla yakından ilişkilidir. Özellikle dodekahedron ve ikosahedronun yüzey oranları ve kenar uzunlukları altın oranın özelliklerini taşır. Leonardo da Vinci’nin bu çalışması, altın oranın geometrik yapılar üzerindeki önemini ortaya koymuş ve bu oranın sanatta, doğada ve matematikte nasıl evrensel bir prensip olduğunu göstermiştir.

(Platon cisimleri hakkında ayrıntılı bilgi için bağlantıyı tıklayınız.)

https://muallims.blogspot.com/2013/04/platon-cisimleri.html

Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (1571-1630), altın oranı şu şekilde ifade etmiştir: "Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras'ın teoremi, diğeri, bir doğrunun altın orana göre bölünmesidir." Kepler, altın oranın doğada ve evrende saklı olan uyum ve düzenin temel anahtarlarından biri olduğuna inanıyordu. Evrenin estetik ve yapısal prensiplerini anlamak için Kepler de zaman zaman altın oran'a başvurmuştur.

Altın oran, insanlık tarihi boyunca bilim ve sanat alanlarında oynadığı önemli rol ile dikkat çeker. Fi sayısı, evreni ve yaşamı daha derinlemesine anlamamıza yardımcı olarak yeni keşiflerin kapılarını aralamaya devam etmektedir. 1970’lerde Roger Penrose, o zamana kadar imkânsız sayılan “yüzeylerin beşli simetriyle katlanması” fikrini altın oran sayesinde ortaya koymuştur. Ayrıca, 2014 yılında yayımlanan "İstatistikte Altın Oran" adlı eserde, simetrik olmayan (çarpık) dağılımları parametrik denklemlere dönüştürmek için altın oran tabanlı yeni bir ortalama ve standart sapma yöntemi geliştirilmiştir.

Altın oran, tarih boyunca birçok büyük sanatçı, bilim insanı ve mimar tarafından kullanılmıştır. Antik Yunanlılar, özellikle Phidias (ö. MÖ 430) heykellerinde bu oranı uygulamıştır. Rönesans döneminde Leonardo da Vinci, Michelangelo ve Raphael gibi sanatçılar da altın oranı eserlerinde kullanmışlardır.  Mimar Sinan, Osmanlı mimarisinde eserlerinin ölçülerinde altın oranı kullanmıştır. Modern dönemde Salvador Dalí, resimlerinde altın oranın matematiksel estetiğinden yararlanmıştır. Bilim dünyasında ise Johannes Kepler, altın oranı evrendeki yapıları anlamak için kullanmıştır. Ayrıca, müzik alanında Bartók ve Debussy gibi besteciler, eserlerinde altın oranı ritim ve yapısal olarak uygulamışlardır. Tasarımcılar ve mühendisler de günümüzde altın oranı, ürün tasarımında ve mimaride uyum ve estetik oluşturmak için tercih etmektedir. Tüm bu örnekler, altın oranın sadece estetik değil, aynı zamanda evrensel bir uyum ve denge prensibi olduğunu bizlere göstermektedir. Sonuç olarak, "altın oran" doğanın, sanatın ve bilimin ortak dili olarak insanlık tarihinin vazgeçilmez bir parçası olmaya devam etmektedir.