Platon Katı Cisimleri

Etiketler : arşimed yüzeyleri çok yüzlüler geometri katı cisimler matematik

Platon Cisimleri: Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platonik Cisimler de denir.Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar: düzgün dörtyüzlü, altı yüzlü(küp), sekiz yüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Platon'un söylediği başka bir düzgün katı yoktur. Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.Düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.

"Gizem ve güzellik, daha bir çok matematiksel olguda olduğu gibi insanların ilgisin çokyüzüler üzerine çekmiştir. Bu uğurda kimileri çokyüzlüleri kullanarak yaşamı, doğayı açıklamaya, kimileri sanatlarıyla bütünleştirdi. Matematikçilerse her zaman olduğu gibi sadece araştırdılar ve çokgensel düzlem parçalarıyla sınırlandırılmış cisimlere çokyüzlü, bu düzlem parçalarına yüz, yüzlerin arakesitlerine ayrıt, üç ya da daha çok ayrıtın birleştiği noktaya ise köşe dediler.

Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur.

Platon’un Beş Katı Cismi
Platon belki başka düzgün çokyüzlü elde edilemeyeceğini ispatlayamamıştı ama oluşturulabilen düzgün çokyüzlülerden haberdardı. Ona göre, bu şekiller doğayı açıklamak için kullanılmalıydılar; çünkü her bir düzgün çokyüzlü belli bir doğal öğeyi simgeliyordu. Her yüzü bir eşkenar dörtgen olan dörtyüzlü, ateşi; sekizyüzlü, havayı ve yirmiyüzlü, suyu; yüzleri kareler olan küp, dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıkladıktan sonra çokyüzlüler için şöyle diyordu:

"Tanrının onları sayıları, hareketleri ve diğer nitelikleri arasında uygun oranlar ayarladığını ve bu oranları tam bir mükemmellik içinde bir araya getirdiğini var saymalıyız." O günden beri bu şekillere "Platon Katıları" adı verilir." 

Sadece Beş Tane Mi?
Sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunduğunun insanlar tarafından binlerce yıldır bilindiğini söylemiştik. Şimdi bunun neden böyle olduğunun matematiksel bir ispatını yapalım. Bir düzgün çokyüzlüde her köşede birleşen ayrıt sayısı q ile köşe sayısı olan K’nin çarpımı ya da her yüzün kenar sayısı p ile yüz sayısı Y’nin çarpımı bu çokyüzlünün ayrıt sayısının iki katını yani 2A’yı verir. Bu eşitliklerin yardımıyla Euler Formülündeki K yerine 2A/q ve Y yerine 2A/p yazabiliriz. 

K+Y-A=2
2A/q+2A/p-A=2 (2A ile sadeleştirelim)
1/A=1/q+1/p-1/2
1/A pozitif olduğundan :
1/q+1/p > 1/2 olmalıdır. p ve q tanımlarından dolayı ikiden büyük sayılardır.Bulduğumuz eşitsizlikten dolayı her ikisi birden üçten büyük olamaz. Bu durumda en az biri, üç olmalıdır. Sonuçta olabilecek tüm {p,q} ikilileri şunlardır: {3,3}; {3,4}; {4,3}; {3,5}; {5,3}. Bu gösterime çokyüzlüler için Schläfli  sembolü denir. 

Schläfli sembolü {p} gibi bir p-taraflı düzenli çokgen ile başlayan, bir özyinelemeli açıklamadır.. Örneğin, {3} eşkenar üçgen, , {4}  kare  Q düzenli p-taraflı çokgen olan düzenli çokyüzlünün her köşe tarafından temsil edilmektedir.Buna göre her çok yüzeyli de bu sembolle {p, q} yüzleri etrafında ifade edilebilir hale gelir.   Örneğin, küp, her köşe etrafında 3 kare var olduğundan şu şekilde {3,4}Schläfli sembolü ile temsil edilmektedir.

Aşağıda elde ettiğimiz beş farklı Schläfli sembolü, beş farklı düzgün çokyüzlüye karşılık gelir:

{3,3} düzgün dörtyüzlü
{3,4} küp
{4,3} düzgün sekizyüzlü
{3,5} düzgün onikiyüzlü
{5,3} düzgün yirmiyüzlü

"Çokyüzlüler, tüm bu güzelliklerinin ve ilginç özelliklerinin yanında anlaşılması güç şekillerdir. Bu da onların matematiksel yapılarından değil, insanların hayal edebilme güçlüklerinden kaynaklanmaktadır. Bir çokyüzlüyü göz önüne getirip ona herhangi bir açıdan bakabilmek oldukça güçtür. Hele de onikiyüzlü ya da yirmiyüzlü için bu iş daha da zordur. Düzgün olmayan, yıldız çokyüzlüleri söylemeye gerek yoktur.  Çokyüzlülerin sırlarının düzlem geometriye oranla daha sonraları keşfedilmiş olmasının nedeni belki de bu özellikleridir.

İnsanlar çokyüzlülerle akıldan uğraşmanın çok zor olduğunun farkına varmış ve onların birer modelini yapıp, bu modeller üzerinde çalışmaya karar vermişlerdir. Böylelikle bundan daha binlerce yıl önce beş düzgün çokyüzlünün modellerini yapmayı başarmışlardır. Britanya Adaları’nda yapılan arkeolojik kazılarda Platon’dan bin yıl öncesine ait taştan yapılmış bir beş düzgün çükyüzlü bulunmuştur.

Günümüzde de bir çok kişi çokyüzlü modelleriyle uğraşmaktadır. Hatta Amerika’da bir çok öğretmen, öğrencilerinin el becerilerini geliştirmelerini sağlamak için onlardan kendi başlarına düzgün onikiyüzlü ya da yirmiyüzlü modelleri yapmalarını istemektedir.

Bir de çokyüzlü modelleri yapma işini bir hobi hatta bunun da ötesinde bir sanat olarak görenler var. Bu insanlardan biri de, M.J. Wenninger. Polyhedron Models (Çokyüzlü Modelleri) adlı kitabın sahibi olan Wenninger, kitabında, kendi yapımı olan çokyüzlü modellerin birer resimlerini ve her biri hakkında verdiği çeşitli bilgileri toplamış. Wenninger, kartondan yaptığı modellerin her biri için ortalama sekiz saat harcadığını söylüyor. Tabi bu süre oldukça karmaşık olan yıldız çokyüzlüler için geçerlidir."

Kaynak:http://www.anlamak.com/platon'un-beş-katı-cismi.html