Sinx ve Cosx Fonksiyonları Türev İspatları

Açının sinüsü ve kosinüsü: Birim çember üzerinde, rastgele bir P noktası belirleyelim. P noktasından orijine çizilerek oluşturulan açıyı gözönüne alalım. P noktasının bu açı sayesinde oluşturduğu apsis değerine açının kosinüsü, P noktasının ordinatına da açının sinüsü denir. Verilen P noktası için; x = cosa , y = sina olduğundan aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.

1.     P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olan birim çember üzerinde bir nokta olduğu için; Cosinüs fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. Verilen tüm reel sayı değerleri için cosinüs fonksiyonun alabileceği en küçük değer -1 ve alabileceği en büyük değer ise +1 olacaktır. Birim çember üzerinde bu durum kolaylıkla görülebilir.

            -1 < cosa < 1  veya  cos : R ---> [-1,1]  dir. Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. 
Aynı şekilde ; Sinüs fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. Verilen tüm reel sayı değerleri için sinüs fonksiyonun alabileceği en küçük değer -1 ve alabileceği en büyük değer ise +1 olacaktır. Birim çember üzerinde bu durum cosinüs fonksiyonunda olduğu gibi kolaylıkla görülebilir. 

-1 < sina < 1  veya  sin : R ---> [-1,1]  dir. Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.

2.     x = cosa  ve  y = sina  olduğuna göre;    birim çemberde çizilen dik üçgen yardımıyla bir a açısı için pisagor teoremi uygulanırsa; cos²a + sin²a= 1  bulunur.  Bu trigonometrideki temel teoremlerden biridir.

Açının tanjantı ve kotanjant değerleri bulunurken; Birim çemberin dışındaki bir A noktasından çizilen teğeti incelersek;  m,  bir reel sayı olmak üzere, T(1,m) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına oluşan açının tanjantı denir. Tanjsnt değeri aynı zamanda verilen bir doğrunun eğimini verir. Eğim m harfi ile gösterilirse kısaca  m = tana yazılabilir.

Sonuç :T(1,m) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, m herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla; tanjant fonksiyonunun tanım kümesi pi sayısı 180 derece olarak ifade edilen radyan açı olmak üzere, (pi/2 +kpi) yani 90 derece ve tek katlarında (90, 270, 450... gibi açılar hariç olmak üzere) hariç bütün gerçel sayılar kümesinde tanımlıdır. Tanjant fonksiyonun görüntü kümesi ise R dir. Aynı şekilde cotanjant fonksiyonunun tanım kümesi (pi+kpi) yani 180 derece ve katlarında 180, 360, 540,...vs gibi açılar hariç olmak üzere) hariç bütün gerçel sayılarda tanımlıdır ve görüntü kümesi de R  olarak belirlenir. 

Tanjant ve cotanjant fonksiyonları çarpma işlemine göre birbirlerinin tersi olduğundan yani tanx = 1/cotx olarak yazılabildiği için tanx.cotx=1 olarak önemli bir teorem bulunmuş olur.

Tanjant ve cotanjant fonksiyonları aslında esas fonksiyonlar olmayıp tali fonksiyonlardandır. Yani tan fonksiyonu aslında bir açının sinüs değerinin, cosinüs değerine bölümü ile bulunabilir. tanx=sinx/cosx olarak yazılabilir. Aynı şekilde cotx=cosx/sinx olarak yazılabilir.

Verilen bu ön bilgilere göre trigonometrik fonksiyonların türevi alınırken trigonometrideki (Bkz. Trginometri Dönüşüm formülleri) (Bkz. Trigonometri Toplam ve fark formülleri) ve limit ile verilen türev tanımından yararlanılarak türev hesabı yapılır.