Belirli integralde alan hesabı

Bir fonksiyonun grafiğinin eksenlerle arasında kalan alan, belirli integral yardımıyla bulunabilir. Bunun için hangi eksen ile arasında kalan alan soruluyorsa bu değişkene göre fonksiyonun integrali alınır. Uç sınırları bilinen kapalı aralık için alt ve üst sınırlar integral sonucunda yerine yazılarak alan hesabı tamamlanmış olur. 

Riemann toplamında fonksiyon grafiğinin altına belli sayıda dikdörtgenler çizilerek elde edilen alt ve üst alanlar toplamı, eğrinin altındaki alanın tam değerini vermez. (Bkz. Riemann Toplamı) Riemann toplamında, eğirinin altına veya üstüne çizilen dikdörtgenlerin sayısı sonsuz tane yapıldığında yani limit değeri olarak hesaplama yapıldığında, hesaplanan alan; gerçek alan değerine ulaşır. Bu da integral hesabı ile alan değerini verir. Riemann toplamında elde edilen alt ve üst alanlar toplamının arasında kalan yaklaşık bir değere sahip alan hesabı, integral yardımıyla net bir sonuca yani gerçek alan değerine kavuşmuş olur.

İntegralle alan hesabında eksenlerin altında kalan alan gösterilirken, alan hiçbir zaman negatif olamayacağı için integral işlemi negatif işaretli olarak alınır.

 

 

Fonksiyonun grafiğinin altındaki alan eğer geometrik biçimde hesaplanabiliyorsa, integrale gerek kalmadan düzgün geometrik şekillerin (üçgen, kare, dikdörtgen, yamuk...) alanları yardımıyla bulunabilir. Bunun için herbir aralıkta yer alan geometrik şeklin alanı ayrı ayrı hesaplanır.

 

 

Bir parabolün eksenlerle arasında kalan alan, oluşan dikdörtgenin ve parabolün derecesine bakılarak orantı yoluyla kolayca hesaplanabilir. Parabolün derecesine göre dikdörtgenin alanı küçük ve büyük parça alanları olmak üzere orantılı biçimde ayrılır. Aşağıdaki durumları inceleyiniz.

 

Fonksiyonlar klasik olarak x değişkenine bağlı biçimde y=f(x) şeklindedir. Bazen bu durum değişebilir. Fonksiyon y değişkenine bağlı olarak ters biçimde verilebilir. Bu durumda integral hesabı yapılırken dy değişkenine göre hesaplama yapılır.