Belirli integralde alan hesabı

Bir fonksiyonun grafiğinin eksenlerle arasında kalan alan, belirli integral yardımıyla bulunabilir. Bunun için hangi eksen ile arasında kalan alan soruluyorsa bu değişkene göre fonksiyonun integrali alınır. Uç sınırları bilinen kapalı aralık için alt ve üst sınırlar integral sonucunda yerine yazılarak alan hesabı tamamlanmış olur. 

Riemann toplamında fonksiyon grafiğinin altına belli sayıda dikdörtgenler çizilerek elde edilen alt ve üst alanlar toplamı, eğrinin altındaki alanın tam değerini vermez. (Bkz. Riemann Toplamı) Riemann toplamında, eğirinin altına veya üstüne çizilen dikdörtgenlerin sayısı sonsuz tane yapıldığında yani limit değeri olarak hesaplama yapıldığında, hesaplanan alan; gerçek alan değerine ulaşır. Bu da integral hesabı ile alan değerini verir. Riemann toplamında elde edilen alt ve üst alanlar toplamının arasında kalan yaklaşık bir değere sahip alan hesabı, integral yardımıyla net bir sonuca yani gerçek alan değerine kavuşmuş olur.

İntegralle alan hesabında eksenlerin altında kalan alan gösterilirken, alan hiçbir zaman negatif olamayacağı için integral işlemi negatif işaretli olarak alınır. 

İki boyutlu düzlemde belirli bir bölgenin alanını hesaplamak için integral kullanabiliriz. Bir bölgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki adımları sırasıyla uygulayabiliriz:

1. İlgili bölgenin bir iki boyutlu grafik üzerinde nasıl tanımlanacağını belirleyin. Bu genellikle bir fonksiyonun x ve y eksenleri arasında kalan bölge olacaktır.

2. Belirtilen bölgenin x ve y ekseni arasındaki kalan sınırlarını belirleyin.

3. Alanını hesaplamak istediğiniz bölgeyi tanımlayan bir fonksiyon oluşturun. Fonksiyon verilmiş ise bu fonksiyon yardımıyla alan hesabına geçin.

4. Oluşturulan fonksiyonla birlikte sınırlara göre ilgili belirli integrali kurun. Alan hesaplama işlemi genellikle iki boyutlu bir alanda integral olarak ifade edilir.

5. Oluşturduğunuz integrali çözerek bölgenin alanını bulun.

İntegral ile alan hesaplamak için, belirli bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki alanını bulmak istediğimizde, ilgili fonksiyonun integralini (içinde bulunduğu aralıkta) almalıyız. Alan hesaplamak için ise bu integralin değerini bulup, negatifse mutlak değerini alarak alanı bulabiliriz.

 

 

Fonksiyonun grafiğinin altındaki alan eğer geometrik biçimde hesaplanabiliyorsa, integrale gerek kalmadan düzgün geometrik şekillerin (üçgen, kare, dikdörtgen, yamuk...) alanları yardımıyla bulunabilir. Bunun için herbir aralıkta yer alan geometrik şeklin alanı ayrı ayrı hesaplanır.

 

 

Bir parabolün eksenlerle arasında kalan alan, oluşan dikdörtgenin ve parabolün derecesine bakılarak orantı yoluyla kolayca hesaplanabilir. Parabolün derecesine göre dikdörtgenin alanı küçük ve büyük parça alanları olmak üzere orantılı biçimde ayrılır. Aşağıdaki durumları inceleyiniz.

 

Fonksiyonlar klasik olarak x değişkenine bağlı biçimde y=f(x) şeklindedir. Bazen bu durum değişebilir. Fonksiyon y değişkenine bağlı olarak ters biçimde verilebilir. Bu durumda integral hesabı yapılırken dy değişkenine göre hesaplama yapılır. 

 

İntegral ile alan hesaplamak için belirli bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki değerlerine göre istenen bölgenin alanı bulunur. Bu işlem genellikle integrasyon yöntemleri kullanılarak yapılır. Alınacak alan için ilgili fonksiyon belirlenir, ardından belirli integrasyon teknikleri kullanılarak integral alınır. Son olarak, belirli aralıktaki fonksiyonun integrali alınarak alan hesaplanmış olur. Kesirli biçimde yazılan fonksiyonlar, logaritmik ve üstel fonksiyonlar ve farklı trigonometrik fonksiyonlar için farklı integral teknikleri kullanılabilir. Sonuç olarak, integral hesabıyla bulunan alan, belirli bir eğrinin altında kalan bölgenin büyüklüğünü verir.