Belirli integralde alan hesabı

Etiketler :

Bir fonksiyonun grafiğinin eksenlerle arasında kalan alan, belirli integral yardımıyla bulunabilir. Bunun için hangi eksen ile arasında kalan alan soruluyorsa bu değişkene göre fonksiyonun integrali alınır. Uç sınırları bilinen kapalı aralık için alt ve üst sınırlar integral sonucunda yerine yazılarak alan hesabı tamamlanmış olur. 

Riemann toplamında fonksiyon grafiğinin altına belli sayıda dikdörtgenler çizilerek elde edilen alt ve üst alanlar toplamı, eğrinin altındaki alanın tam değerini vermez. (Bkz. Riemann Toplamı) Riemann toplamında, eğirinin altına veya üstüne çizilen dikdörtgenlerin sayısı sonsuz tane yapıldığında yani limit değeri olarak hesaplama yapıldığında, hesaplanan alan; gerçek alan değerine ulaşır. Bu da integral hesabı ile alan değerini verir. Riemann toplamında elde edilen alt ve üst alanlar toplamının arasında kalan yaklaşık bir değere sahip alan hesabı, integral yardımıyla net bir sonuca yani gerçek alan değerine kavuşmuş olur.

İntegralle alan hesabında eksenlerin altında kalan alan gösterilirken, alan hiçbir zaman negatif olamayacağı için integral işlemi negatif işaretli olarak alınır. 
İki boyutlu düzlemde belirli bir bölgenin alanını hesaplamak için integral kullanabiliriz. Bir bölgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki adımları sırasıyla uygulayabiliriz:
1. İlgili bölgenin bir iki boyutlu grafik üzerinde nasıl tanımlanacağını belirleyin. Bu genellikle bir fonksiyonun x ve y eksenleri arasında kalan bölge olacaktır.
2. Belirtilen bölgenin x ve y ekseni arasındaki kalan sınırlarını belirleyin.
3. Alanını hesaplamak istediğiniz bölgeyi tanımlayan bir fonksiyon oluşturun. Fonksiyon verilmiş ise bu fonksiyon yardımıyla alan hesabına geçin.
4. Oluşturulan fonksiyonla birlikte sınırlara göre ilgili belirli integrali kurun. Alan hesaplama işlemi genellikle iki boyutlu bir alanda integral olarak ifade edilir.
5. Oluşturduğunuz integrali çözerek bölgenin alanını bulun.
İntegral ile alan hesaplamak için, belirli bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki alanını bulmak istediğimizde, ilgili fonksiyonun integralini (içinde bulunduğu aralıkta) almalıyız. Alan hesaplamak için ise bu integralin değerini bulup, negatifse mutlak değerini alarak alanı bulabiliriz.


Fonksiyonun grafiğinin altındaki alan eğer geometrik biçimde hesaplanabiliyorsa, integrale gerek kalmadan düzgün geometrik şekillerin (üçgen, kare, dikdörtgen, yamuk...) alanları yardımıyla bulunabilir. Bunun için herbir aralıkta yer alan geometrik şeklin alanı ayrı ayrı hesaplanır.
 
Bir parabolün eksenlerle arasında kalan alan, oluşan dikdörtgenin ve parabolün derecesine bakılarak orantı yoluyla kolayca hesaplanabilir. Parabolün derecesine göre dikdörtgenin alanı küçük ve büyük parça alanları olmak üzere orantılı biçimde ayrılır. Aşağıdaki durumları inceleyiniz.
 

Fonksiyonlar klasik olarak x değişkenine bağlı biçimde y=f(x) şeklindedir. Bazen bu durum değişebilir. Fonksiyon y değişkenine bağlı olarak ters biçimde verilebilir. Bu durumda integral hesabı yapılırken dy değişkenine göre hesaplama yapılır. 

 

İntegral ile alan hesaplamak için belirli bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki değerlerine göre istenen bölgenin alanı bulunur. Bu işlem genellikle integrasyon yöntemleri kullanılarak yapılır. Alınacak alan için ilgili fonksiyon belirlenir, ardından belirli integrasyon teknikleri kullanılarak integral alınır. Son olarak, belirli aralıktaki fonksiyonun integrali alınarak alan hesaplanmış olur. Kesirli biçimde yazılan fonksiyonlar, logaritmik ve üstel fonksiyonlar ve farklı trigonometrik fonksiyonlar için farklı integral teknikleri kullanılabilir. Sonuç olarak, integral hesabıyla bulunan alan, belirli bir eğrinin altında kalan bölgenin büyüklüğünü verir.

0 yorum:

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • TYT 2022 Matematik çözümleri (PDF)02.07.2022 - 0 Yorum2022 TYT Matematik sınavındaki sorular, lise müfredatı içerisinde olan konuların daha çok problem şeklinde düzenlenmesi ile oluşturulmuş, okuduğunu anlamaya yönelik sorulardan oluşmuştur.Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden…
  • Namazda Müdrik Bahsi14.09.2010 - 0 YorumMüdrik Hakkında Meseleler     300- Müdrik, namazın başından sonuna kadar fasılasız olarak imama uyan ve bütün rekatleri imamla beraber kılan kimsedir. İmama ilk rekatın rükûunda yetişen, o rekata yetişmiş ve müdrik adını almış…
  • Cahit Arf'a 13.10.2010 - 1 YorumDünyanın en büyük arama motorlarından google büyük Türk matematikçisi Cahit Arf'ın doğum günün 100. yaş gününe özel bir jest yaparak geleneksel hale getirdiği "google" açılış sayfasında cahit arfdan esinlenerek arf halkaları ile büyük bir jest…
  • Daniel Bernoulli28.01.2011 - 0 Yorum Daniel Bernoulli (8 Şubat 1700 – 17 Mart 1782) İsviçreli matematikçi ve fizikçidir. Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerdendir. Özellikle matematiği akışkan mekaniği alanına uyarlamasıyla bilinir. Olasılık ve istatistik alanındaki…
  • YGS Üniteleri Ders Çalışma Planı12.06.2014 - 0 Yorum Öğrenciler herkese uyacak bir hazır ders çalışma planı beklememelidir. Buradaki planlar örnek ders çalışma programı ve şablonlarıdır. Bu örnek ders planlarından hareketle  Sizden beklenen kendinize uygun bir ders çalışma programı…
  • 2024 AYT Matematik testi çözümleri (PDF)24.06.2024 - 0 Yorum8 Haziran 2024 tarihinde uygulanan 2024-YKS 1. Oturum Temel Yeterlilik Testi (TYT), 9 Haziran 2024 tarihinde uygulanan 2024-YKS 2. Oturum Alan Yeterlilik Testleri (AYT)sınavlarının ardından ÖSYM tarafından soru kitapçıkları erişime açılmıştır.…
  • Geometrik dizi ve özellikleri13.12.2023 - 0 YorumArdışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir. Genellikle "r" harfi ile gösterilir.Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşit olur.…
  • Üçgenin Heron alan Bağıntısı (U Formülü)08.04.2013 - 0 Yorumİskenderiyeli Heron (MS 10 - MS 70?), matematikçi ve mühendistir. Genellikle antik çağın en büyük deneycisi olarak kabul edilir ve çalışmaları Helenistik bilimsel geleneğin temsilcisidir. İlk buhar türbünlü motoru icat ettiği düşünülmektedir. Heron…