Türk - İslam Dünyası'nda Trigonometri

Trigonometriye ait temel bilgiler, her ne kadar çok daha önce Çin, Hint, Antik Yunan gibi medeniyetlerde ortaya konmuş olsa da daha çok 8. ile 16. yüzyıllar arasında yaşayan Türk-İslam dünyası matematikçileri tarafından geliştirilmiştir. İslam matematikçileri, eski dönemlere ait temel trigonometri bilgilerini yalnızca incelemekle kalmamış, aynı zamanda bu bilgileri ayrıntılı bir şekilde sistematize ederek trigonometri biliminin gelişimine büyük katkıda bulunmuşlardır. Bu durumun nedeni şöyle açıklamak mümkündür: 8 ile 16. yüzyıllar arasında Türk-İslam dünyasının birçok bölgesinde astronomi çalışmaları yapılmış ve bu nedenle pek çok rasathane (gözlemevi) kurulmuştur. Bu rasathanelerde yürütülen bilimsel çalışmalarda astronomiye yardımcı olmak amacıyla trigonometri hesaplamaları kullanılmış, bu sayede trigonometri ilmi de gelişmiştir. Bu gelişmeler, hem gökyüzü olaylarının daha hassas bir şekilde gözlemlenmesini sağlamış hem de matematiksel hesaplamaların doğruluğunu artırarak sonraki bilimsel çalışmalara önemli katkılarda bulunmuştur. Ayrıca, bu dönemde yetişen âlimler, hem İslam dünyasında hem de Avrupa’da bilimsel ilerlemeye kaynaklık eden eserler ortaya koymuşlardır.

 

Astronominin temelini teşkil eden küresel astronomi, doğrudan doğruya küresel trigonometrinin astronomiye uygulanmasından doğmuştur. Gezegen ve uydu ile yıldızların gökküresindeki yerleri (koordinatları) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin küresel trigonometriye uygulanmasıyla elde edilebilmektedir. Dolayısıyla o devir Türk - İslam Dünyası'nda, Trigonometri müstakil bir bilim dalı haline gelmiş ve oldukça gelişmiştir. Özellikle 8. ile 16. yüzyıllar arasında yaşamış İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırlamış oldukları "Zic" (ziyc) adlı eserlerin hepsinde bugünkü trigonometrinin temelleri ve farklı trigonometri hesaplamaları ortaya konulmuştur. Türk-İslam dünyası bilginleri, Batlamyus’un ünlü astronomi eseri Almagest’i farklı dönemlerde şerh etmiş (yorumlamış) ve bu eser üzerine çeşitli çalışmalar yapmışlardır. Batlamyus (Claudius Ptolemaios, M.S. 85–160), M.S. 2. yüzyılda yaşamış ünlü Yunan astronom ve matematikçidir. Almagest (Mathematike Syntaxis) eseri, İslam matematikçileri tarafından "al-Majisti" olarak adlandırılmış, bu isim sonraki yıllardaki tercüme hareketleriyle, Latinceye "Almagest" olarak geçmiştir. Almagest, Astronomi tarihinin en önemli kaynaklarından biri olarak kabul edilir. İslam Matematikçilerinin bu eser üzerindeki çalışmaları ile trigonometri bilgileri zenginleştirilip geliştirilmiştir.

VIII. yüzyılda, Yakın ve Orta Doğu ülkelerinden İslam bilim adamları, eski Yunan ve Hint matematikçiler ile astronomların eserleri ile tanıştılar. Önceki zamanlarda telif edilen eserler, daha sonraki yıllarda İslam dünyasında, çoğunlukla Fars ve Arap kökenli Müslüman matematikçiler tarafından yapılan bilimsel çalışmalarla genişletilmiştir. 8. ve 9. yüzyılda başlayan bilimsel çalışmalarda El Harezmi, El Battani, Sabit bin Kurra, İbrahim el-Fezari ve Yakub bin Tarık gibi alimler, eski eserleri Arapçaya çevirmekle yetinmeyerek farklı hesaplamalarla trigonometrinin zenginleşmesine uğraştılar. Sonraki yıllarda bu âlimlerin takipçileri, yapılan çalışmalar üzerine yorumlar yapmaya ve kendi fikirleriyle yeni teoriler geliştirmeye başlamışlardır. Bu gelişmeler, Helenistik matematikte olduğu gibi, küresel trigonometriyle ilgili önemli bir geometrik ilke olan Menelaus Teoremi'nin uygulanmasına dayanmış olup; Trigonometriyi yalnızca dörtgenlere bağlı bir konu olmaktan çıkararak birçok yeni teoremin ortaya konmasına zemin hazırlamıştır. Böylece Trigonometri, hem düzlem hem de küresel yüzeyler üzerinde uygulanabilir hale gelmiş, özellikle astronomi, coğrafya ve haritacılık gibi alanlarda daha karmaşık problemlerin çözümüne olanak sağlamıştır. E. S. Kennedy’ye göre, bu dönemdeki matematik gelişimini şöyle açıklar: "İlk gerçek Trigonometri ancak o dönemlerde ortaya çıktı; çünkü Trigonometri alanındaki çalışma konusu, artık küresel veya düzlemsel üçgenler ile onların kenarları ve açıları haline gelmişti. Bu sayede, trigonometrik hesaplamalar sadece düzlemde sınırlı kalmayıp, gökyüzünün küresel yapısına uygulanabilir hale gelmiş, astronomi ve coğrafya gibi bilimlerde önemli ilerlemeler sağlanmıştır. Böylece İslam matematikçileri, Trigonometriyi hem teorik hem de pratik açıdan zenginleştirerek bilim tarihine büyük katkılarda bulunmuşlardır." (Kennedy, E. S. (1969), "The History of Trigonometry" 1996.) 

Küresel üçgenlerle ilgilenen yöntemler arasında, özellikle küre yüzeyi üzerindeki geometrik problemleri çözmek için İskenderiyeli Menelaus’un geliştirdiği yöntem önemli bir yer tutar. Bu yöntem, düzlem geometriye benzer şekilde ancak küresel yüzeyin kendine özgü eğriliğini dikkate alarak, küresel üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri kurmayı sağlar. Menelaus’un teoremi, daha sonra gökbilim ve navigasyon gibi alanlarda da yaygın olarak kullanılmıştır. Zamanın Ay’ın hareketlerine göre belirlendiği İslami takvimde, özellikle dini günlerin ve ibadet vakitlerinin doğru şekilde tespiti büyük önem taşır. Bu nedenle erken dönem İslam astronomları, Ay’ın ve yıldızların hareketlerini hesaplamak için başlangıçta İskenderiyeli Menelaus’un geliştirdiği küresel trigonometrik yöntemlere başvurdular. Menelaus’un teoremi, küre üzerindeki üçgenlerde kenar ve açı ilişkilerini kurmak için, kesişen iki dik üçgenin benzerliğini esas alıyordu. Ancak bu yöntem, uygulama açısından oldukça karmaşık ve pratik kullanımı zor bir yapıya sahipti. Özellikle, Güneş’in gökyüzündeki yüksekliğinden yerel zamanı belirlemek gibi problemler, Menelaus teoreminin tekrarlanan ve hassas uygulamalarını gerektiriyor, bu da hesaplamaların hata payını artırıyordu. Bu zorluklar, dönemin Müslüman matematikçilerini ve gökbilimcilerini daha işlevsel ve sadeleştirilmiş trigonometrik yöntemler geliştirmeye yöneltti. Ortaçağ İslam dünyasında bu ihtiyaç, Hindistan’dan gelen astronomik bilgi birikimiyle birleşerek, Hint “Siddhanta” metinlerinden esinlenen ancak onları aşan sistemli gözlemler ve hesaplarla zenginleştirildi. Bu çalışmalar sonucunda, "zîc" adı verilen kapsamlı astronomik cetveller ve tablolar oluşturuldu. Zîcler, gök cisimlerinin konumlarını, doğuş ve batış zamanlarını, Güneş ve Ay tutulmalarını, takvim hesaplarını ve zaman belirleme işlemlerini kolaylaştırmak için kullanılan pratik ve detaylı kaynaklardı. Böylece İslam astronomları, Menelaus’un klasik yöntemlerinin ötesine geçerek, daha geniş bir uygulama alanına sahip, kullanımı kolay ve daha doğru sonuçlar veren trigonometrik sistemler geliştirmeyi başardılar.

8. yüzyılda ortaya çıkmaya başlayıp sonrasında gelişerek devam eden astronomik araştırmalar ve benzer şekilde oluşturulan zic hesap cetvelleri, trigonometri bilgisinin İslam Dünyasında hızlı gelişimini göstermektedir. Uluğ Bey, 8 ondalık basamağa kadar doğru sinüs ve tanjant tabloları düzenlemiştir. Uluğ Bey, her 1°'nin her 1/60'ına eklenecek farklarla birlikte, her 1° argüman için çeşitli ondalık basamak adetlerine göre sinüs ve tanjant fonksiyonlarının trigonometrik değer tablolarını düzenlemiştir. Uluğ Bey himayesinde çalışan Gıyâsüddîn Cemşîd el-Kâşî, de matematik ve astronomi alanlarında yaptığı çalışmalarla tanınan bir bilim insanıdır. Gıyasüddin Cemşid, 1 derecelik yayın sinüs değerini, bugünkü değerlere göre 18 ondalıklı sayıya kadar doğru olarak hesaplamıştır. Bu konuda 1 derecelik yayın sinüsünü geometri ve cebir yoluyla hesaplamış ve böylece trigonometrik tabloların tanzim işini sistemle bir esasa bağlamıştır. Gıyaseddin Cemşid, uygun bir biçiminde Kosinüs yasası için ilk açık ifadesini sağlamıştır. Avrupa'da kosinüs yasası hâlâ, döneminin en önemli matematikçilerinden biri olarak kabul edilen ve "İkinci Ptolemaios" (Ptolemy) olarak anılan El-Kaşi'nin adıyla anılmaktadır. Antik dönemde İskenderiye'de yaşamış olan Ptolemaios,  "Almagest" (astronomi) ve "Coğrafya" (haritacılık) gibi eserleriyle tanınan ve döneminin en etkili bilim insanlarından biri olarak kabul edilen bir isimdir. Antik Yunan, Hint ve Çin medeniyetlerine ait benzer içerikli çalışmalar, İslam dünyasında astronomi ve jeodezi alanlarındaki problemleri çözmek amacıyla geliştirilen küresel trigonometri hesaplarına zemin hazırlamış; böylece söz konusu hesaplamalar, farklı dönemlerdeki İslam bilginleri tarafından özel bir ilgi alanı olarak ele alınmasına vesile olmuştur.

Güneşin  hareketlerine göre namaz saatlerinin doğru belirlenmesi, gök cisimlerinin gelecekteki konumlarının, yükselme ve batma anlarının, Güneş ve Ay tutulmalarının hesaplanması, mevcut konumun coğrafi koordinatlarının bulunması, bilinen coğrafi koordinatlara sahip şehirler arasındaki mesafelerin hesaplanması, belirli bir yerden Mekke'ye (kıble) göre yönün belirlenmesi gibi hesaplamalar İslam dünyasında trigonometri çalışmaları ile mümkün olmuştur. 

Bu çalışmalara İslam dünyasından çeşitli örnekler verelim.

İslam dünyasında trigonometrik fonksiyonların gelişiminde önemli katkılarda bulunan ilk bilim insanlarından biri, 9. yüzyılda yaşamış olan Muhammed ibn Musa el-Hârezmî’dir. El-Hârezmî, sadece doğru sinüs ve kosinüs tablolarını oluşturmakla kalmamış, aynı zamanda tarihte bilinen ilk teğet (tanjant) tablosunu da üretmiştir. Bu çalışmalar, küresel trigonometrinin temellerini atan ve ileriki yüzyıllarda Batı dünyasını da etkileyen önemli adımlar olmuştur. El-Hârezmî, trigonometrik ilişkileri sadece düzlem geometriyle sınırlı kalmadan, küresel trigonometri alanında da uygulayarak bu disiplinin gelişiminde öncü bir rol oynamıştır. Yaklaşık MS 830 yılında, dönemin önemli matematikçilerinden biri olan Habeş el-Hâsib el-Mervazî, trigonometrik fonksiyonlardan ilk kotanjant tablosunu oluşturarak bu alana katkı sağlamıştır. Bu tablo, açılarla ilgili hesaplamalarda yeni olanaklar sunmuş ve ileride yapılacak daha karmaşık gökbilimsel hesaplamaların temelini atmıştır. Daha sonra, Muhammed ibn Câbir el-Harrânî el-Battânî (Albatenius, MS 853–929), trigonometrik fonksiyonların kapsamını genişletmiş, sekant ve kosekantın karşılıklı işlevlerini tanımlayan ilk bilim insanı olmuştur. El-Battânî, özellikle küresel astronomi alanında yaptığı çalışmalarla tanınmış, 1° ile 90° arasındaki her derece için detaylı bir kosekant tablosu hazırlayarak, trigonometrik hesapların doğruluğunu ve kullanım kolaylığını büyük ölçüde artırmıştır. Bu öncü isimlerin katkıları sayesinde İslam dünyasında trigonometrik bilgi birikimi sistematik hâle gelmiş, hem teorik matematikte hem de astronomi, zaman hesaplamaları ve kıble tayini gibi pratik uygulamalarda yaygın şekilde kullanılmaya başlanmıştır. Bu çalışmalar, daha sonra Avrupa'da Rönesans döneminde ortaya çıkacak trigonometrik gelişmelerin temelini oluşturmuştur.

10. yüzyılda, Ebū el-Vefa el-Buzcani'nin çalışmalarıyla tam olarak görünen haliyle trigonometri, bugünkü hesaplamalara yaklaşmıştır. Ebu el-Vefa, günümüzde bilinen altı trigonometrik fonksiyonun (sin, cos, tan, cot, sec, cosec) hepsini tam olarak kullanmıştır. Ebu el-Vefa, 0,25°'lik artışlarla sinüs tablolarına, 8 ondalık doğruluk hanesine ve doğru tanjant değer tablolarına çalışmalarında yer vermiştir. Ayrıca sinüs toplam ve fark formülünü de geliştirmiştir. Öklid'in "Elemanlar" eseri üzerine çalışmalar yapmış, Endülüslü matematikçi Ebû Abdullah Muhammed ibn Muâz el-Ceyyânî (989 -1079), "küresel trigonometri hakkındaki ilk bilimsel çalışma" olarak kabul edilen Avrupa'da neşredilen ismiyle "The book of unknown arcs of a sphere" adlı eseri yazmıştır. Bu eser, "dik açılı üçgenler için formüller, genel sinüs yasası ve küresel üçgenin kutupsal üçgen aracılığıyla çözümünü" içermektedir. Bu çalışma, daha sonra "Avrupa matematiği üzerinde güçlü bir etkiye sahip olmuş ve el Ceyyani'nin "oranların sayı olarak tanımlanması" ve "tüm kenarlar bilinmediğinde küresel bir üçgeni çözme yöntemi" muhtemelen sonraki yıllarda Regiomontanus'u etkilemiştir. Regiomontanus (Johannes Müller von Königsberg, 1436–1476), Rönesans döneminde yaşamış Alman bir matematikçi, astronom ve astrolog olup Matematik, astronomi ve trigonometri alanlarında önemli çalışmalar yapmıştır. Çalışmaları, Kopernik ve diğer Avrupalı bilim insanları için bir temel oluşturmuştur. 

Nirengi yöntemi, ilk olarak, 11. yüzyılın başlarında Ebu Reyhan Biruni tarafından tanımlandığı gibi, ölçme ve İslami coğrafyada pratik kullanımlara uygulayan Müslüman matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Nirengi yöntemi, haritacılıkta bilinmeyen bir uzunluğu, yüksekliği veya koordinatı bulmak için kullanılan bir hesaplama yöntemidir. Mühendisler, yeni bir köprü inşa etmek, yol yapmak, baraj inşaatı gibi işler için nirengi yöntemini kullanarak arazi ölçümleri yaparlar. Bu yöntemde, herhangi bir alan üçgenlere bölünerek, bilinen noktalar arasındaki açılar ve mesafeler kullanılarak bilinmeyen noktaların konumu belirlenir. Biruni, Dünya'nın büyüklüğünü ve çeşitli yerler arasındaki mesafeleri ölçmek için nirengi tekniklerini kendisi ilim dünyasına tanıtmıştır. 

11. yüzyılın sonlarında Ömer Hayyam (1048-1131), trigonometrik tablolarda bulunan yaklaşık sayısal çözümleri kullanarak kübik denklemleri çözmüştür. 13. yüzyılda, Nasîrüddin Tûsî trigonometriyi astronomiden bağımsız matematiksel bir disiplin olarak ele alan ilk kişi olmuş ve küresel trigonometriyi bugünkü haline getirmiştir. Nasiruddin Tusi, küresel trigonometride dik açılı üçgenin altı farklı durumunu listelemiş ve düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtmiş, küresel üçgenler için tanjant yasasını keşfetmiştir. Nasiruddin Tusi, trigonometriyi kendi başına bir matematik disiplini olarak tanımlanmıştır. Zamanının en gelişmiş gözlemevindeki gözlemlere dayanarak Tusi, "Zic-i ilhani" (İlhanlı Tabloları) adlı kitabında gezegen hareketlerinin çok doğru tablolarını hazırlamıştır.

Bütün bu çalışmalardan sonra sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: İslam alimleri, kendilerinden önce yaşamış Hint, Çin ve Mısır kaynaklarından elde ettikleri bilgileri derleyip topladıktan sonra bu bilgilerdeki eksiklikleri giderip harmanlayarak, mevcut bilgilerin üzerine muazzam biçimde yeni bilgileri geliştirmişlerdir. Bu  yeni keşif ve eklemelerle büyük bir ilim haline getirdikleri trigonometri ve astronomi ilmini kendilerinden sonra gelecek olan matematikçilere daha önce rastlanılmamış orjinal  bir bilgi hazinesi olarak bırakmışlardır. İslam dünyasının bu çabası, Endülüs Emevi devleti alimlerinden Batılı ilim adamlarının tercüme hareketleriyle, Batı Dünyasına aktarılarak modern matematik literatürünün oluşmasına zemin hazırladığı gibi çoğu teoremlerin de gerçek kimliğini oluşturmuşlardır.