Limitin Tarihçesi

Matematikçilerin, limit kavramının varlığından şüphelenmeye (bu kavramı sezmeye) başlamaları ile limiti tam olarak tanımlamaları arasında, yüzyıllarla ölçülebilecek kadar uzun zaman vardır. Hatta ilk çağ- larda bile limit kavramını hisseden matematikçiler vardı. Örneğin Archimedes, 2π sayısına olabildiğince yakın bir sayı elde edebilmek için köşeleri 1 birim yarıçaplı çemberin noktaları olan düzgün çokgenin çevresinden yararlanmış, bunun kenar sayısı sınırsız arttıkça çokgenin çembere, bu nedenle de çevresinin uzunluğunun 2π ye yaklaşacağını düşünmüştür. Bazı matematikçiler bu tür yaklaşımları, Rönesans Dönemine doğru, bir kısım alan hesaplamalarında da kullanmışlardır. 

17. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Isaac Newton (1642-1727) ve Gottfried Leibniz (1646-1716), limiti kendilerinden önceki matematikçilere oranla çok daha doğru şekilde tanımlamışlar ve pek çok karmaşık limiti hesaplamışlardır. Newton ve Leibniz’in limit hakkındaki düşünceleri, bu kavramın gelişmesinde temel oluşturmuştur. 1754 yılında Fransız matematikçi d’Alembert (1717-1783), matematiğin daha ileriki konularının mantıksal temelinin limit kavramı olduğunu iddia etmiştir. Daha sonra ünlü matematikçi Cauchy (1789-1857), 1821 yılında yayınladığı “Cours d’Analyse” adlı eserinde limit tanımını, “Bir değişkenin ardışık değerleri, sabit bir sayıya olabildiğince çok yaklaştığında elde edilen son değerdir.” şeklinde yapmıştır. Bu tanım, bugün kullandığımız limit tanımına en yakın olandır. Günümüz matematikçilerinin kullandığı limit tanımı, 1860 yılında Alman matematikçi Karl Weierstrass (1815-1897) tarafından yapılmıştır.(Matematik-12, Emrullah KAPLAN, Paşa Yayınları,2011)

Karl Weierstrass, Bonn Üniversitesine hukuk okumak üzere gitmesine rağmen üniversiteden mezun olamadı. Daha sonra kendisi matematikle ilgilenmeye başladı. Laplace'ın Gök Mekaniğini üzerine yaptığı çalışmaları inceledi. Diferansiyel denklem sistemleri üzerinde çalışmalarda bulundu. Karl Weierstrass, 22 Mayıs 1798'de Münster Akademisine girdi.Uzun yıllar öğretmenlik yaptı. 1853 yılında abelyan fonksiyonlar üzerinde çalışmasını yayınladı.1856 da Berlin Üniversitesinde yardımcı profesörlük ünvanı elde etti ve Berlin Akademisine üye olarak seçildi. Weierstrass, 1864 ile 1897 yılları arasında Berlin Üniversitesinde matematik profesörü olarak görev yaptı 1897'de Berlin'de öldü.

1821’de Augustin Louis Cauchy (Bkz. Augustin Cauchy), Karl Weierstrass’ı takiben kullanılan limit tanımını  yunan alfabesindeki harfler olan  (ε, δ) harfleri (yunan alfabesindeki 5.harf küçük epsilon harfi ve yunan alfabesindeki 4.harf küçük delta harfi) kullanarak düzeltip, matematik literatüründe limitin tanımı olarak (ε, δ) tekniğini kabul ettirdi.

Limitin Tanımı: f(x) fonksiyonu, bir açık aralıkta tanımlanmış olsun ve L bir gerçek sayı olsun. Bütün ε>0 değerleri için, bir δ >0 değeri bulunabiliyor ki bütün 0<|x-a|<δ eşitsizliğini sağlayan x değeri için,  |f(x)-L|<ε eşitsizliği doğru ise; buradaki L değerine, "f(x) fonksiyonunun a noktasındaki limitidir" denir.

Limit ifadesinde, yaklaşmayı belirtmek için sağ tarafa doğru ok işareti kullanılır. x değişkeni, a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limitinin L'ye yaklaştığı söylenir ve bu limit, sağ ok işareti ile limitin altına yazılarak gösterilir.  

19. yüzyıldan sonra  literatürde limitin gösterimi, (ε, δ) tanımlamasıyla kabul gördü. Tanımda yer alan ε harfi, her küçük pozitif sayıyı gösterir. Böylece “f(x) isteğe bağlı olarak L’ye yakın olur”, sonuçta f(x) fonksiyonu, (L − ε, L + ε) aralığında, iki sayı arasında yer alır demektir. Aynı zamanda mutlak değer işareti kullanılarak da bu aralık ifadesi yazılabilir 

Tanımda yer alan |f(x) − L| < ε.”x değişkeni, a’ye yaklaşırken” ifadesi, a’den uzak olan x’lerin bir δ  pozitif sayısından küçük olduğunu gösterir. x’lerin ya (a − δ, a) ya da (a, a + δ) aralığı içindeki değerleri 0 < |x − a| < δ ile ifade edilebilir. Buradaki yaklaşma miktarı için, x'in a değerine eşit olmaksızın en yakın noktasına kadar gelmesi anlamındaki çok çok kısa bir mesafe kadardır demek yanlış olmaz. İkinci eşitsizlikte; x değişkeni, a’nın δ uzaklığı içinde olduğunu ifade edilirken, ilk eşitsizlikte x ve a arasındaki uzaklık 0’dan büyüktür ve x ≠ a demek anlamına gelir. Bu tanım, fonksiyonun a noktasında tanımlı olmadığı zamanlarda ve fonksiyonun a değerindeki f(a) karşılığı, fonksiyonun o noktadaki limit değerinden L'den farklı olduğu zamanlarda da doğru olur. f(a)≠  L veya f(x), a noktasında tanımlı olmasa bile fonksiyonun o noktada limiti olabilir. Limitinin olması için fonksiyonun x değişkeninin a noktasına sağdan ve soldan yaklaşmalarındaki bulunan limit değerlerinin birbirine eşit olması gerekir. Kısaca fonksiyonun bir noktadaki sağ ve sol limitleri eşitse bu noktada limiti vardır aksi halde o noktada limit yoktur.  

Limitle ilgili bazı konu başlıklarının ayrıntılarına ulaşmak isterseniz aşağıdaki bağlantıları kullanabilirsiniz.

Limit konusu ile ilgili çıkmış ÖSYM Soruları

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

sinx/x limitinin ispatı

Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit

0/0 Belirsizliği

Limitte ∞/∞ belirsizliği

Limitte ∞-∞ belirsizliği

Limitte belirsizliklerde L-Hospital Kavramı (türev)