Karl Theodor Weierstrass

Etiketler : limit limit tarihçesi matematik tarihi matematikçiler

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), 31 Ekim 1815’te Almanya’nın Pruşya bölgesindeki Ostenfelde kasabasında doğmuştur. Babası bir devlet memurudur. Weierstrass genç yaşta matematiğe büyük bir ilgi duymuş, ancak ailesinin isteğiyle hukuk eğitimi almak üzere Bonn Üniversitesi’ne gitmiştir. Üniversitede hukuk okurken matematik tutkusundan vazgeçmemiş, gizlice matematik çalışmaya devam etmiştir. Daha sonra öğretmen olmak için eğitimine yönelmiş ve uzun yıllar boyunca ortaokul-lise düzeyinde matematik öğretmeni olarak görev yapmıştır. Bu dönemde, kendi araştırmalarını da sürdürmüştür. Weierstrass, profesyonel matematikçi olarak kariyerine 40 yaşına yakın bir yaşta başlamıştır.

Weierstrass, matematikte modern analizin kurucularından biri olarak kabul edilir. Ondan önce limit, süreklilik ve türev gibi kavramlar daha çok sezgiye dayalı biçimde açıklanıyordu. Weierstrass bu kavramları kesin ve mantıksal temellere oturtarak modern analizin temel taşlarını oluşturmuştur. Weierstrass’ın en önemli katkılarından biri, limitin epsilon-delta tanımıdır. Bu tanım, “bir fonksiyonun limiti vardır” ifadesini tamamen kesin bir biçimde açıklamayı mümkün kılmıştır. Bugün tüm kalkülüs ve analiz kitaplarında kullanılan bu yöntem, matematiksel analizin en temel araçlarından biridir.

 

Süreklilik ve türev kavramlarını da limit temeline dayandırarak yeniden tanımlamıştır. Ona göre bir fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktadaki limit değeri; fonksiyonun o noktadaki görüntü değerine eşittir. Ayrıca türevi de limit kavramı üzerinden tanımlayarak fonksiyonların davranışlarını anlamak için sağlam bir teorik zemin oluşturmuştur. 

Weierstrass Limit Tanımı: Herhangi bir ε (epsilon) pozitif Reel sayısı için, buna karşılık gelen bir δ (delta) pozitif Reel sayı mutlaka vardır; öyle ki, eğer 0 < |x - a| < δ ise, o zaman |f(x) - L| < ε olur. Yani, x değeri a noktasına δ kadar yaklaştığında, f(x) değeri de L noktasına ε kadar yaklaşır. Bu, Weierstrass’ın limit kavramını kesin ve ölçülebilir biçimde tanımladığı ifadedir. 

Weierstrass, “her noktada sürekli olan ancak hiçbir noktada türevlenemeyen bir fonksiyon” örneği geliştirmiştir. Weierstrass’ın 1872 yılında matematikçilerin kalkülüs hakkında bildiklerini sandıkları her şeyi sarsacak kendi adıyla tanınan fonksiyonu yayımlamıştır. Bu fonksiyon, özellikle Fransız matematik ekolünün önde gelen isimleri tarafından kayıtsızlık ve öfke ile karşılanmıştır. Henri Poincaré, Weierstrass’ın bu fonksiyonunu “sağduyuya bir hakaret” olarak nitelendirmiş; Charles Hermite ise onu “acımasız bir kötülük” olarak nitelemiştir. Bugün “Weierstrass fonksiyonu” olarak bilinen bu fonksiyon, o dönemin matematik anlayışını derinden sarsmıştır. Bu örnek, süreklilik ile türevlenebilirliğin birbirinden tamamen farklı kavramlar olduğunu göstermiştir. Sonsuz sayıda dalga benzeri "kosinüs" fonksiyonunu bir araya getirerek bu fonksiyonu oluşturmuştur.  Ne kadar çok terim fonksiyona eklenirse, fonksiyon o kadar zikzak çizmiştir. Her noktada aniden yön değiştirerek sonsuza kadar devam eden tırtıklı bir testere dişi tarağı gibi bir görünüm vermiştir. Weierstrass fonksiyonu,  hiçbir süreksizliği olmamasına rağmen, asla türevlenebilir olmayacak bir fonksiyon olarak şüpheye yer bırakmayacak şekilde kanıtlanmıştır.

Weierstrass, güç serileri ve yakınsaklık (konverjans) üzerine de önemli çalışmalar yapmıştır. Güç serilerinin yakınsaklık özelliklerini sistematik biçimde incelemiş ve bu konuda birçok temel teorem geliştirmiştir. Bu çalışmalar, fonksiyonların davranışını anlamada büyük rol oynamıştır. Weierstrass’ın bilimsel üretkenliği oldukça yüksek olmuştur. Zamanında birçok makale kaleme almış ve eserlerinin önemli bir kısmı ölümünden sonra öğrencileri tarafından yayımlanmıştır. Başlıca eserleri arasında “Zur Theorie der Abel’schen Functionen” (Abel fonksiyonları teorisi üzerine, 1854), “Theorie der Potenzreihen” (Güç serileri teorisi) ve “Vorlesungen über die Theorie der Funktionen” (Fonksiyon teorisi üzerine dersler) yer alır.

1856 yılında Berlin’deki Krallık Politeknik Okulu’nda matematik öğretmeni olarak başladığı kariyeri, 1864’te ise Berlin Üniversitesi’nde profesörlüğe kadar yükselmiştir. Öğrencileri arasında Sofya Kovalevskaya, Georg Cantor ve Felix Klein gibi dönemin önde gelen matematikçileri bulunur. Derslerinde, matematikte kesinlik ve mantıksal düşünme ilkesini ön planda tutarak modern matematik anlayışının gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Matematikte sezgiye dayalı biçimlere karşı net ve kesin tanımlar geliştirmiştir; özellikle süreklilik, limit ve yakınsaklık konularında tanımları popülerdir.

Karl Weierstrass, 19 Şubat 1897’de Berlin’de zatürreden ölmüştür. Arkasında, matematiğin en mantıksal ve en sağlam temeller üzerine kurulu dallarından biri olan modern analizin kalıcı mirasını bırakmıştır.

Bolzano–Weierstrass Teoremi, Weierstrass–Erdmann Koşulu, Weierstrass M Testi, Weierstrass–Casorati Teoremi, Stone–Weierstrass Teoremi, Weierstrass Eliptik Fonksiyonları, Weierstrass Fonksiyonları, Weierstrass Preparation Teoremi, Lindemann–Weierstrass Teoremi, Weierstrass Factorization Theorem, Weierstrass–Enneper Parametrizasyonu, Sokhotski–Plemelj Teoremi önemli bazı matematik çalışmalarıdır. 

Weierstrass'ın hayatı, bilimsel merak ve azmin bir örneğidir. Ailesinin beklentilerine karşı durarak, kendi ilgisini ve tutkusunu takip etmiş ve bu sayede matematiksel analiz alanına kalıcı katkılarda bulunmuştur. Onun hikayesi, bilimsel kariyerin sadece akademik başarılarla değil, aynı zamanda bireysel tutku ve kararlılıkla şekillendiğinin bir göstergesidir.

 

Kaynakça: Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz, “Analizin Babası Karl Weierstrass,” Bilim ve Teknik, Ağustos 2017.