L-Hospital Kuralı

L'Hospital 1661 'de Paris'te doğmuştur. Asil ve zengin üst tabaka bir Fransız ailesinden gelir. Asil bir aileden gelmesi nedeniyle bir süvari alayında yüzbaşı rütbesi ile görev yaptı. Ancak gözlerinin ileri derecede bozuk olması ve matematiğe olan yoğun ilgisi ve yeteneği sonucu askerliği bırakarak tamamen matematiğe yöneldi. Bernoulli 'nin öğretmenliğinde yetişmiştir. Johann Bernoulli fakir ve üretken bir matematikçi olduğundan onun teoremlerini, ispatlarını satın alarak kendi adıyla yayınlayan amatör bazı matematik çalışmaları da bulunan kişi L-Hospital'dir.Bugün türev ve limit konusunda çok meşhur olan ve L- Hospital adıyla anılan "L'Hospital Kuralı"nın da sonradan yapılan araştırmalar sonucu anlaşıldığı üzere asıl sahibi Bernoulli 'dir. Bu bilgiler ışığında L'Hospital için "matematiğe meraklı amatör bir matematikçi" yorumunu yapmak daha doğru bir yaklaşım olacaktır. Matematiksel analizde, L'Hôpital kuralı, (Löpital) bir fonksiyonun limitini türevle almak için yapılan bir formüldür.

Limitinin 0/0 veya ∞/∞ olması durumunda pay ve paydanın türevinin ayrı ayrı alınması kuralına denir. Belirsizlik durumu ortadan kalkıncaya kadar türev almaya devam edilmesiyle, limitteki belirsizlik durumunun kaldırılması işleminden ibaret önemli bir türev kuralıdır. Bu yönteme L'Hopital ismi; 17. yüzyıl Fransız matematikçi Guillaume de l'Hôpital'ın, 1696 yılında yayımladığı "l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" adlı kitabında açıklaması sonucu verilmiştir. Ancak yöntemin aslında Johann Bernoulli tarafından bulunduğu sonradan kabul edilmesine rağmen bu kural halen L-Hospital ismi ile kaynaklarda yer almaya devam etmektedir. L’Hospital, Bernoulli ile belli bir miktar aylık karşılığı anlaşma yapmış, birtakım problemleri ona çözdürmüş ve anlaşmayı kimseye söylememesini ondan istemiştir. Bu önemli limit kuralı da, ilk olarak bu şekilde ortaya çıkmış ve L’Hospital’in 1696’da yayımladığı matematik kitabıyla dünyaya tanıtılmıştır. Ancak yakın zamanda keşfedilmiştir ki L’Hospital kuralının ispatı ve ilgili örnekleri, Bernoulli’nin 1694 yılında L’Hospital’e yazdığı bir mektupta aynen bulunmaktadır. Yayınlanmış Eserleri: Analyse des infiniment petits pour l'intélligence des lignes courbes (Paris, 1696) Traité analytique des sections coniques (Paris, 1707) Recueil de l'académie des sciences (Paris, 1699-1701) Acta eruditorum (Leipzig, 1693-1699)

Limitte ∞-∞ belirsizliği

∞-∞ belirsizliği limit çözümleri yapılırken ∞/∞ belirsizliği (Bkz.Limitte ∞/∞ belirsizliği)  veya 0/0 belirsizliklerine (Bkz.Limitte 0/0 Belirsizliği) dönüştürme yapılarak çözüme ulaşılır. Rasyonel ifadelerde, limit hesabında payda eşitlemesi yoluyla çözüme ulaşılır. Köklü ifadelerde ise verilen limit hesabı yapılırken köklü ifadenin eşleniğiyle çarpımı yoluyla çözüme ulaşılır. ∞-∞ belirsizliği için aşağıda verilen limit formülünün kullanımı da hesaplamalarda kolaylık sağlar.

Limitte ∞/∞ Belirsizliği

Limitte polinom fonksiyon olarak verilen ifadelerde x değişkeni için bulunan ∞/∞ belirsizliklerinin çözümünde temel mantık olarak en büyük dereceli terime göre paranteze alma işlemi yapılır.Daha sonra genişletilmiş reel sayılardaki limit (Bkz. Genişletilmiş reel sayılarda limit) kurallarına göre hareket edilerek sonuca ulaşılır. 

Limitte 0/0 Belirsizliği

0/0 Belirsizliklerinde verilen fonksiyonlar çarpanlara ayırma işlemlerinden yararlanılarak sadeleştirilmeye çalışılır. Daha sonra x değişkeni için verilen sayı değerine göre limit sonucu hesaplanır. Trigonometrik fonksiyonların oluşturduğu bu tip 0/0 belirsizliklerinde ise sinx/x limite bakmak daha yararlı olacaktır. Bu sinx/x ve tanx/x limitlerinin hesaplanış yöntemine (Bkz. sinx/x limiti) göre diğer trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunabilir. 

Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri

Trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunurken verilen radyan cinsinden açıya göre trigonometrik fonksiyonun alacağı değer bilinmelidir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların özellikleri toplam-fark formülleri, dönüşüm formülleri, yarım açı formülleri bilinirse limit alma işlemlerinde kolaylık sağlanır. Verilen açı değeri fonksiyonda yerine yazılarak limit değeri bulunur.

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit işlemleri yapılırken önce Genişletilmiş Reel Sayılar kümesinin özelliklerinin bilinmesi gerekir. Aşağıdaki örnekleri incelediğinizde bu küme üzerinde limit işlemleri yapmak daha kolay hale gelecektir.

Elipsin alanı ve ispatı

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Elipsin alanı integral yardımıyla alan hesabı uygulamalarından yararlanarak bulunabilir. Bunun için elipsin denkleminden yola çıkarak eksenler arasında kalan bölgelerin sınırlandığı bölgelerin uç noktalarını bularak integralle alan ispatı yapılabilir. Elipsin çevre formülünün ispatında olduğu gibi alan ispatında da integral bilgisi gerekmektedir.

Eksen uzunlukları asal eksen 2a ve yedek eksen 2b olan elipsin Alanı (elips) = π.a.b olduğunu elips denkleminden yola çıkarak ispatlayalım.

Elipsin çevresi ve ispatı

Bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya odak noktası (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya F1 ve F2 noktaları elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. Elipsin x ekseni üzerinde kalan F1 ve F2 noktaları arasındaki uzaklığa orijine eşit olacak biçimde a+a=2a asal eksen, y ekseni üzerinde kalan aynı şekildeki b+b=2b uzunluğuna ise yedek ekseni denir. Aynı zamanda pisagor teoremi gereği burada oluşan dik üçgenden b² + c² = a² bağıntısı bulunur. b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.

Elipsin çevresi yerleşik bilgilere göre Π(a+b) şeklinde verilse de elipsin çevresi ve alanı integral yardımıyla en düzgün biçimde hesaplanır.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun artan ya da azalan olduğunu bulmak için türev konusunu işlemeden bulmak her zaman işe yaramayabilir. Bunun için en kesin tespit türev sayesinde yapılabilir. Eğer türev konusu bilinmiyorsa o zaman fonksiyonun grafiğini çizerek buradan yorumda bulunulabilir. Ayrıca artan ve azalan fonksiyonun aşağıda verildiği gibi tanımını kullanarak da fonksiyonun çeşidi hakkında yorum yapılabilir. 

Şimdi verilen bu tanıma göre artan ve azalan fonksiyonlara grafiklerini çizerek basit birer örnek verelim. Burada verilen örnek kavramı daha iyi anlamanız için özellikle basit fonksiyon türlerinden seçilerek hazırlanmıştır.

Birebir ve Örten Fonksiyon

Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesinde yer alan her elemanın görüntülerinin de farklı elemanlara eşlenmesi gerekmektedir. Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşit ise bu çeşit fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Yani değer kümesinde dışarıda boşta eleman kalmayan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Eğer değer kümesinde dışarıda en az bir eleman kalmış ise bu tür fonksiyonlara da içine fonksiyon denir.

Şimdi bu tanımları grafik üzerinde görebilmek adına bir örnek daha verelim. Burada dikkat edilmesi gereken nokta bire-bir fonksiyonların grafikleri çizildiğinde grafiği kesecek şekilde x-eksenine paralel doğrular çizilmesi durumunda fonksiyonun grafiği hiçbir zaman iki farklı nokta kesilmez. Eğer çizilen doğrular ile grafik birden fazla noktada kesişim yapıyorsa o zaman fonksiyon bire bir olmaz. (Yatay Doğru Testi)

Çift ve Tek Fonksiyon

Çift fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonların grafiği ise orijine göre simetrik olur. Bir aralıkta tanımlı fonksiyon için tanım kümesinden seçilen aynı elemanın negatif ve pozitif değerleri için fonksiyon altındaki görüntüler de aynı oluyorsa bu fonksiyona çift fonksiyon denir. (tüm elemanlar için bu kural sağlanmalıdır.) Çift ve tek fonksiyonları anlamanın en kolay yolu grafiklerini çizip simetri kuralına bakmak olacaktır. Tek ya da çift fonksiyon birbirinin zıttı iki kavram gibi düşünülmemelidir. Bazen bir fonksiyon ne tek ne de çift olur. Aşağıdaki tanım ve örnekleri incelemeniz konuyu anlamanız açısından yeterli olacaktır. Özellikle tanımın iyi bilinmesi bu tür soruların çözümünde size kolaylık sağlayacaktır.

Verilen bir fonksiyon illaki tek ya da çift fonksiyon olmak zorunda değildir. Yani tek olmayan fonksiyona çift fonksiyondur diyemeyiz.

Çapma İşlemi (Hint Metodu)

Çarpma, temel matematik işlemlerinden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir. Aslında özel olarak bir toplama işlemidir. Çapma işlemi belli adetteki sayıların toplanmasının adıdır. Abaküs üzerinden toplama işlemleri yapılabildiği gibi çarpma işlemi de mental aritmetik metotlarıyla yapılabilir. Farklı bir çarpma yöntemi olarak Çinliler tarafından sıklıkla kullanılan tablo yöntemini anlatmak istiyorum. Bunun için çarpılacak sayılar satır ve sütun halinde kolonlara yazılır. Daha sonra satırdaki rakam ile sütundaki rakam tek tek çarpılarak altında yer alan kutucuğa birler ve onlar basamağı ayrı olacak şekilde iki bölmeli olarak yazılır. Bu şekilde bütün çarpma yapıldıktan sonra çaprazlama olarak bütün çarpım sonuçları altta gelecek şekilde toplanarak elde edilen sayılar bir kenara yazılır. Bu sayılar içerisinde 10 tabanını geçenler varsa bunlar elde olarak bir sonraki rakama devredilir. Bu şekilde çarpma işlemi bitirilmiş olur.

Örnek: Aşağıdaki tablo üzerinden de gösterildiği gibi 45 x 256 = 11.520 işleminin Çin metodu ile çözümünü bulalım.
Bu yöntemde çarpılacak sayılar basamaklarına ayrılarak sütun ve satır başlarına yazılır. Her bir kutu çaprazlamasına ikiye bölünür. Satır ile sütunların çarpımları iki üçgen bölüme birler ve onlar basamağı ayrı olacak biçimde yerleştirilir. Örneğin şekilde 5 ve 2'nin çarpımı (10) 1 ve 0 olarak ilk iki üçgene sırasıyla yerleştirilir. Daha sonra çapraz kolonlar birbiriyle toplanır. Örneğin 5 + 3 + 4 = 12 işleminin birler basamağı olan 2 rakamı en sağa yazılır ve 1 rakamı elde olarak hemen solundaki çapraz kolona devreder. Toplamaların tamamı bu şekilde tamamlandıktan sonra en dıştan başlanarak soldan sağa rakamlar (koyu yazılanlar) işlemin sonucu 11520 sayısını verir.

İşlemin Youtube Videosundan farklı örnekleri inceleyebilirsiniz. https://www.youtube.com/watch?v=DMAAAgXTEeE

Çarpma İşlemi (Çin/Japon Metodu)

Japon ve Çin dünyasında sıklıkla kullanılan bir başka çarpma yöntemini daha şu şekilde paylaşmak istiyorum. Bu çarpma yönteminde her sayı için bir düz çizgi çizilir. Yalnız basamaklarına göre uygun biçimde aralarında boşluk bırakmadan kaç rakamı varsa o sayıda yan yana düz çizgi çizilir. Daha sonra ikinci sayı için de aynı şekilde diğer çizgileri kesecek bir şekilde düz çizgiler basamaklarda yer alan rakamların adetine göre çizilir. Bütün bu çizme işlemi bittikten sonra altta gelen çizgilerdeki tüm kesişim noktalarının tamamının adedi toplanarak çarpma işleminin sonucu bulunur.  Eğer sayılar ik ya da daha fazla basamaktan oluşan kesişim noktası verirse bunların sadece birler basamağı yazılır. Diğer basamakları elde olarak bir sonrakine devredilir. Bu şekilde sağdan sola doğru çarpma işlemi bitirilmiş olur. 

Örnek: 98*67=6566 işleminin sonucunu bu metoda göre bulalım.

İşlemin farklı örnekleri için youtube videosunu izleyebilirsiniz. https://www.youtube.com/watch?v=AiOKSpGs758 

Esenköy Hizmetiçi Eğitim Enstitüsü

Yalova/Çınarcık-Esenköy Hizmetiçi Eğitim Enstitüsü ve ASO bünyesinde katıldığım "Öğretim Yöntem ve Teknikleri (Matematik) Kursu" (2016/198) içerisinde matematik alanında yeni çıkan yöntem ve teknikler hakkında gayet yararlı paylaşımlar edindim. Türkiye'nin çeşitli yerlerinde görev yapan meslektaşlarımızla birlikte Matematik öğretimine dair yeni yaklaşımlar hakkında fikir sahibi olduk. Şimdi bu Hizmetiçi Eğitim kursuna Mebbis başvurumuzla başlayan ve dönüşe kadar olan izlenimlerimi istifadenize sunuyorum. (01.08.2016-05.08.2016)