L-Hospital Kuralı

L'Hospital 1661 'de Paris'te doğmuştur. Asil ve zengin üst tabaka bir Fransız ailesinden gelir. Asil bir aileden gelmesi nedeniyle bir süvari alayında yüzbaşı rütbesi ile görev yaptı. Ancak gözlerinin ileri derecede bozuk olması ve matematiğe olan yoğun ilgisi ve yeteneği sonucu askerliği bırakarak tamamen matematiğe yöneldi. Bernoulli 'nin öğretmenliğinde yetişmiştir. Johann Bernoulli fakir ve üretken bir matematikçi olduğundan onun teoremlerini, ispatlarını satın alarak kendi adıyla yayınlayan amatör bazı matematik çalışmaları da bulunan kişi L-Hospital'dir.Bugün türev ve limit konusunda çok meşhur olan ve L- Hospital adıyla anılan "L'Hospital Kuralı"nın da sonradan yapılan araştırmalar sonucu anlaşıldığı üzere asıl sahibi Bernoulli 'dir. Bu bilgiler ışığında L'Hospital için "matematiğe meraklı amatör bir matematikçi" yorumunu yapmak daha doğru bir yaklaşım olacaktır. Matematiksel analizde, L'Hôpital kuralı, (Löpital) bir fonksiyonun limitini türevle almak için yapılan bir formüldür.

Limitinin 0/0 veya ∞/∞ olması durumunda pay ve paydanın türevinin ayrı ayrı alınması kuralına denir. Belirsizlik durumu ortadan kalkıncaya kadar türev almaya devam edilmesiyle, limitteki belirsizlik durumunun kaldırılması işleminden ibaret önemli bir türev kuralıdır. Bu yönteme L'Hopital ismi; 17. yüzyıl Fransız matematikçi Guillaume de l'Hôpital'ın, 1696 yılında yayımladığı "l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" adlı kitabında açıklaması sonucu verilmiştir. Ancak yöntemin aslında Johann Bernoulli tarafından bulunduğu sonradan kabul edilmesine rağmen bu kural halen L-Hospital ismi ile kaynaklarda yer almaya devam etmektedir. L’Hospital, Bernoulli ile belli bir miktar aylık karşılığı anlaşma yapmış, birtakım problemleri ona çözdürmüş ve anlaşmayı kimseye söylememesini ondan istemiştir. Bu önemli limit kuralı da, ilk olarak bu şekilde ortaya çıkmış ve L’Hospital’in 1696’da yayımladığı matematik kitabıyla dünyaya tanıtılmıştır. Ancak yakın zamanda keşfedilmiştir ki L’Hospital kuralının ispatı ve ilgili örnekleri, Bernoulli’nin 1694 yılında L’Hospital’e yazdığı bir mektupta aynen bulunmaktadır. Yayınlanmış Eserleri: Analyse des infiniment petits pour l'intélligence des lignes courbes (Paris, 1696) Traité analytique des sections coniques (Paris, 1707) Recueil de l'académie des sciences (Paris, 1699-1701) Acta eruditorum (Leipzig, 1693-1699)

Limitte ∞-∞ belirsizliği

∞-∞ belirsizliği limit çözümleri yapılırken ∞/∞ belirsizliği (Bkz.Limitte ∞/∞ belirsizliği)  veya 0/0 belirsizliklerine (Bkz.Limitte 0/0 Belirsizliği) dönüştürme yapılarak çözüme ulaşılır. Rasyonel ifadelerde, limit hesabında payda eşitlemesi yoluyla çözüme ulaşılır. Köklü ifadelerde ise verilen limit hesabı yapılırken köklü ifadenin eşleniğiyle çarpımı yoluyla çözüme ulaşılır. ∞-∞ belirsizliği için aşağıda verilen limit formülünün kullanımı da hesaplamalarda kolaylık sağlar.

Bunun haricindeki diğer belirsizliklerin oluştuğu limit problemleri türev yardımıyla (Bkz. L-Hospital Kuralı) daha kolay çözülebilir.Türev bilmeden ∞/∞ belirsizliği, ∞-∞ belirsizliği ve 0/0 belirsizliği bir nebze çözülebilirken üstel biçimde ortaya çıkan belirsizliklerin çözümünde türev bilmek çözümü bulmada kolaylık sağlayacaktır.

Limitte ∞/∞ Belirsizliği

Limitte polinom fonksiyon olarak verilen ifadelerde x değişkeni için bulunan ∞/∞ belirsizliklerinin çözümünde temel mantık olarak en büyük dereceli terime göre paranteze alma işlemi yapılır.Daha sonra genişletilmiş reel sayılardaki limit (Bkz. Genişletilmiş reel sayılarda limit) kurallarına göre hareket edilerek sonuca ulaşılır. 

Kesirli biçimde verilen fonksiyonlarda limit alınırken pay ve paydanın derecesine bakılarak daha kolay bir şekilde limit sonucu bulunabilir. buna göre; Pay ve paydadaki derecelerine bakıldığında; payın derecesi paydadan daha büyük ise limit sonucu +∞ veya -∞ olacaktır. Eğer pay ve payda dereceleri birbirine eşit ise o zaman limit değeri pay ve paydadaki en büyük dereceli terimlerin katsayıları oranı limit sonucunu verir. Eğer payda derecesi daha büyük ise bu durumda limit sonucu 0 olur.

0.∞ belirsizliği, ∞-∞ belirsizliği çözümleri yapılırken ∞/∞ belirsizliği veya 0/0 belirsizliklerine (Bkz.(Limitte 0/0 Belirsizliği) dönüştürme yapılarak çözüme ulaşılır. Rasyonel ifadelerde payda eşitlemesi yoluyla çözüme ulaşılır. Köklü ifadelerde verilen limit hesabı yapılırken eşlenikle çarpma yoluyla çözüme ulaşılır.

Bunun haricindeki diğer belirsizliklerin oluştuğu limit problemleri türev yardımıyla (Bkz. L-Hospital Kuralı) daha kolay çözülebilir.Türev bilmeden ∞/∞ belirsizliği, ∞-∞ belirsizliği ve 0/0 belirsizliği bir nebze çözülebilirken üstel biçimde ortaya çıkan belirsizliklerin çözümünde türev bilmek çözümü bulmada kolaylık sağlayacaktır.

Limitte 0/0 Belirsizliği

0/0 Belirsizliklerinde verilen fonksiyonlar çarpanlara ayırma işlemlerinden yararlanılarak sadeleştirilmeye çalışılır. Daha sonra x değişkeni için verilen sayı değerine göre limit sonucu hesaplanır. Trigonometrik fonksiyonların oluşturduğu bu tip 0/0 belirsizliklerinde ise sinx/x limite bakmak daha yararlı olacaktır. Bu sinx/x ve tanx/x limitlerinin hesaplanış yöntemine (Bkz. sinx/x limiti) göre diğer trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunabilir. 

Konunun daha ayrıntılı anlaşılması için farklı örnekler verelim. Burada mutlak değer içeren bir fonksiyon ve köklü ifade içeren bir başka fonksiyon verilerek bu tip limit hesabında nasıl sadeleştirme yapıldığını uygulamalı olarak görelim.

Trigonometrik fonksiyon içeren limitlerde de sinx/x limitinin hesabından nasıl yararlanıldığını örnekler yardımıyla anlamaya çalışalım. Buradan oluşturduğumuz genel kuralı trigonometrik fonksiyon içeren limit problemlerinde rahatlıkla kullanabiliriz.

Buradaki 0/0 belirsizliği içeren limit problemlerinin tamamında, türev konusunu bilinmeden sadece limit kavramı üzerine bina edilerek çözüm hazırlanmıştır. Türev konusu bilindiğinde, 0/0 gibi belirsizliklerde (Bkz. L-Hospital kuralı) kullanmak daha kolay çözüme ulaşmamızı sağlayacaktır.

Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri

Trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunurken verilen radyan cinsinden açıya göre trigonometrik fonksiyonun alacağı değer bilinmelidir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların özellikleri toplam-fark formülleri, dönüşüm formülleri, yarım açı formülleri bilinirse limit alma işlemlerinde kolaylık sağlanır. Verilen açı değeri fonksiyonda yerine yazılarak limit değeri bulunur.

Konu ile alakalı olarak aşağıdaki örnekleri incelemeniz konuyu anlamanız için yararlı olacaktır. Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların limitlerinde verilen radyan açı değeri fonksiyonda yerine yazılarak sonuç bulunmuştur.

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit işlemleri yapılırken önce Genişletilmiş Reel Sayılar kümesinin özelliklerinin bilinmesi gerekir. Aşağıdaki örnekleri incelediğinizde bu küme üzerinde limit işlemleri yapmak daha kolay hale gelecektir.

Kesirli biçimde verilen polinom fonksiyonların limit incelemesi yapılırken paydayı sıfır yapan kritik noktalara dikkat edilmelidir. Bu kritik noktada limit alınırken sağdan ve soldan limit değerleri bulunarak bir sonuca varmak gerekir.

Aşağıda verilen konu ile ilgili örnekleri incelemeniz genişletilmiş reel sayılar kümesinde limit kavramını anlamanıza yardımcı olacaktır. Yukarıda verilen kuralların nasıl örneklerde kullanıldığına dikkat ediniz. Grafikler üzerinde de bazı fonksiyonların limitlerinin nasıl bulunduğu gösterilmiştir.

Elipsin alanı ve ispatı

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Elipsin alanı integral yardımıyla alan hesabı uygulamalarından yararlanarak bulunabilir. Bunun için elipsin denkleminden yola çıkarak eksenler arasında kalan bölgelerin sınırlandığı bölgelerin uç noktalarını bularak integralle alan ispatı yapılabilir. Elipsin çevre formülünün ispatında olduğu gibi alan ispatında da integral bilgisi gerekmektedir.

Eksen uzunlukları asal eksen 2a ve yedek eksen 2b olan elipsin Alanı (elips) = π.a.b olduğunu elips denkleminden yola çıkarak ispatlayalım.

Elipsin çevresi ve ispatı

Bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya odak noktası (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya F1 ve F2 noktaları elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. Elipsin x ekseni üzerinde kalan F1 ve F2 noktaları arasındaki uzaklığa orijine eşit olacak biçimde a+a=2a asal eksen, y ekseni üzerinde kalan aynı şekildeki b+b=2b uzunluğuna ise yedek ekseni denir. Aynı zamanda pisagor teoremi gereği burada oluşan dik üçgenden b² + c² = a² bağıntısı bulunur. b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.

Elipsin çevresi yerleşik bilgilere göre Π(a+b) şeklinde verilse de elipsin çevresi ve alanı integral yardımıyla en düzgün biçimde hesaplanır.