Polinomlarda işlemler

Etiketler : işlem matematik polinomlar

Polinom, matematikte içinde değişken bulunan (genellikle x), bu değişkenin doğal sayı üsleri ve sayısal katsayılar bulunan cebirsel ifadelere denir. Yani matematiksel olarak; n ∈ ℕ ve a₀, a₁, a₂ …, a_n ∈ ℝ olmak üzere: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x¹ + a₀x⁰ ifadesine reel katsayılı polinom denir. Polinomlar özel bir fonksiyondur. Bir ifadenin polinom olabilmesi için çok net iki kuralı vardır: 1) Değişkenin üssü kesinlikle doğal sayı olmalıdır. Değişkenin kuvveti negatif olamaz, kesirli bir ifade olamaz, irrasyonel bir sayılı kuvvet olamaz. 2) Tüm değişkenlerin katsayıları Reel Sayı olmalıdır. Karmaşık sayı olamaz. 

Örneğin P(x) = 3x² + 5x − 7 ifadesi bir polinomdur, P(x) = x + 1 bir polinomdur, Q(x)=4 sayısı da polinomdur. Buna karşılık K(x) = 1/x + 2 polinom değildir çünkü değişken paydadadır, değişkenin kuvveti (-1)dir. T(x) = x⁻² + 3 polinom değildir çünkü değişkenin üssü negatiftir. S(x) = √x + 1 polinom değildir çünkü değişkenin kuvveti kesirlidir.

Polinomlar terimlerden oluşur. Toplama ya da çıkarma işaretleriyle ayrılan her parçaya terim denir. Örneğin P(x) = 2x³ − 5x + 4 ifadesinde 2x³, −5x ve 4 ifadelerinin herbiri birer terimdir. Bir polinomda değişkenin önündeki sayıya katsayı denir. En büyük dereceli terimin katsayısına da "başkatsayı" denir.. Örneğin P(x) = −3x² ifadesinde katsayı −3’tür.  Q(x) = −3x² + 4x +7 ifadesinde başkatsayı −3 olup, diğer katsayılar 4 ve 7 dir. Değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin 0 olduğu  x⁰ terimine sabit terim denir. Örneğin P(x) = 5x² + 3x − 7 polinomunda sabit terim −7’dir. Bir polinomun derecesi ise terimlerdeki en büyük üssün değeridir. Örneğin P(x) = 4x⁵ + x² − 1 polinomunun derecesi 5’tir, R(x) = 7x − 3 polinomunun derecesi 1’dir, Q(x) =9 polinomunun derecesi 0’dır.

 

Polinom–fonksiyon ilişkisi şu şekilde açıklanabilir: Bir polinom, değişkenler ve bu değişkenlerin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinden oluşan cebirsel bir ifade iken bir fonksiyon ise, ifadedir. Bir polinom, bu kuralı sağladığı için aynı zamanda özel bir fonksiyon olarak da düşünülebilir. Yani her polinom, uygun bir tanım kümesi üzerinde tanımlandığında bir fonksiyon oluşturur. Örneğin p(x) = 2x² - 3x + 1 ifadesi bir polinomdur. Bu durumda polinom, fonksiyonun kuralını; x ise fonksiyonun bağımsız değişkenini temsil eder. Fonksiyonun çıktısı olan f(x) değeri, x yerine yazılan sayıya bağlı olarak değişir. 

 

Polinomların tanım kümesi gerçek sayılardır; çünkü polinomlarda kök, payda ya da mutlak değer gibi kısıtlayıcı ifadeler yoktur. Bu nedenle her gerçek sayı için polinom fonksiyonunun bir değeri vardır. Buna karşılık g(x)=1/x veya h(x)=√(x−2) gibi ifadeler tanım kümesi paydasına ve kök içine göre kısıtlandığında fonksiyon olurken polinom değildir; çünkü bu tür fonksiyonlarda tanım kümesi; g(x) için x≠0 şeklinde h(x) için de x≥2 şeklinde kısıtlanır. Bu karşılaştırma, polinom fonksiyonlarının neden tüm gerçek sayılarda tanımlı ve grafiklerinin neden kesintisiz olduğunu açıkça gösterir. Buna göre polinom fonksiyonları süreklidir ve grafikleri kesintisiz eğriler şeklinde olur. Polinomlarda x değerleri sürekli değişirken değerler de kopukluk veya ani sıçramalar olmaz. Bu yüzden polinom fonksiyonlarının grafikleri parçalılık, boşluk, kopukluk ya da delik içermez. Fonksiyonlarda ise kesikli şekiller, boşluklar veya parçalı grafikler de görülebilir. Sonuç olarak, Her polinom, bir fonksiyon tanımlar; ancak her fonksiyon polinom değildir.  

 

Polinomlar derecelerine göre ve terim sayılarına göre sınıflandırılır. P(x) polinomunun derecesi der(P(x) şeklinde gösterilir. Derecesine göre bakıldığında, derece 0 olanlara sabit polinom denir. Sabit polinom örneği P(x) = 5’tir. Derecesi 1 olanlara birinci dereceden polinom denir. Örneğin Q(x) =2x + 1. Derecesi 2 olanlara ikinci dereceden polinom denir. Örneğin R(x) =x² − 3x + 4. Derecesi 3 olanlara üçüncü dereceden polinom denir. Örneğin T(x) =8x³ + x² - 2x − 7 üçüncü dereceden x değişkenine bağlı başkatsayısı 8 ve sabit terimi -7 olan 4 terimli  bir polinomdur.

 

Terimlerdeki değişkenlere göre polinomlar, tek değişkenli veya çok değişkenli olabilir. P(x) = 7x³ tek değişkenli bir polinomken R(x, y, z) = 5yx + 5y + 3zx + 7z + 10 ifadesi x, y, z değişkenlerine bağlı çok değişkenli bir polinomdur. 

Polinomlarda toplama işlemi yapılırken sadece benzer terimler kendi aralarında toplanır. Benzer terim demek, değişkeni ve üssü aynı olan terimler demektir. Örneğin (2x² + 3x − 1) + (x² − x + 4) ifadesinde 2x² ile x² toplanır ve 3x² olur, 3x ile −x toplanır ve 2x olur, −1 ile 4 toplanır ve 3 olur. Sonuç 3x² + 2x + 3’tür.

 

Polinomlarda çıkarma işlemi, çıkarılan polinomun işaretlerini değiştirip toplama yapmak şeklinde düşünülür. Örneğin (x² + 4x − 5) − (2x² − x + 1) işleminde ikinci parantezin işaretleri değiştirilir ve x² + 4x − 5 − 2x² + x − 1 elde edilir. Benzer terimlerin katsayıları toplandığında sonuç −x² + 5x − 6 olur.

 

 

Polinomlarda çarpma işlemi birkaç şekilde yapılır. Bir polinom bir sayı ile çarpılıyorsa, polinomdaki her terim o sayı ile çarpılır. Örneğin 3(x² − 2x + 1) işleminin sonucu 3x² − 6x + 3’tür. Bir polinom başka bir polinomla çarpıldığında ise bir polinomdaki her terim, diğer polinomdaki her terimle tek tek çarpılır. Örneğin (x + 2)(x + 3) çarpımında x·x = x² , x·3 = 3x, 2·x = 2x, 2·3 = 6 olur. Bu terimlerin benzer olanalrı birbiriyle toplandığında x² + 5x + 6 elde edilir.

 

Polinomlarda bölme işlemi, sayı bölmesine benzer mantıkla yapılır ancak dereceler dikkate alınır. Basit bir örnek olarak (2x² + 4x) ifadesini 2x’e bölersek, her terim ayrı ayrı bölünür. 2x² : 2x = x, 4x : 2x = 2 olur ve sonuç x + 2’dir.

 

Bir polinomun sabit terimini bulmak için değişken yerine 0 yazılır. Çünkü 0 yazıldığında x içeren tüm terimler sıfır olur ve geriye sadece sabit terim kalır. Örneğin P(x) = 3x³ − 5x² + 2x − 7 polinomunda x yerine 0 yazarsak P(0) = −7 olur. Bu nedenle polinomun sabit terimi −7’dir. Q(x+4) polinomunun sabit terimi x yerine 0 yazılırsa Q(4) olur.

 

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için ise değişken yerine 1 yazılır. Çünkü 1’in kuvvetleri yine 1 olacağından, polinomdaki tüm katsayılar toplanmış olur. Örneğin P(x) = 4x⁴ − 2x² + 5x − 6 polinomunda x yerine 1 yazarsak P(1) = 4 − 2 + 5 − 6 = 1 olur. Bu sonuç polinomun katsayılar toplamıdır. R(3x+6) polinomunun katsayılar toplamı x yerine 1 yazılırsa R(9) olur. Başka bir örnek olarak P(x) = 2x³ − x² + 6x + 9 polinomunu ele alalım. Bu polinomda x yerine 0 yazıldığında P(0) = 9 bulunur, yani sabit terim 9’dur. Aynı polinomda x yerine 1 yazıldığında P(1) = 2 − 1 + 6 + 9 = 16 olur. Bu da polinomun katsayılar toplamını verir.

Bir p(x) polinomda çift kuvvetli veya tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulmak için P(1) ve p(-1) kullanılır. 

Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı = [p(1) + p(−1)] / 2 ile hesaplama yapılır.

Tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı = [p(1) - p(−1)] / 2 ile hesaplama yapılır.

 

Bir polinomda çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulmak için, polinomda x yerine önce 1, sonra −1 yazılır. x yerine 1 yazıldığında polinomdaki tüm terimlerin katsayıları toplanmış olur. x yerine −1 yazıldığında ise çift kuvvetli terimler işaret değiştirmezken, tek kuvvetli terimler eksi işaretle gelir. Bu iki sonucun toplamı alınıp ikiye bölündüğünde, tek kuvvetli terimler birbirini yok eder ve geriye sadece çift kuvvetli terimlerin katsayıları kalır. Örneğin p(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x² − x + 4 polinomu için x yerine 1 yazarsak p(1) = 9 olur. x yerine −1 yazarsak p(−1) = 15 bulunur. Bu iki değeri topladığımızda 24 eder. 24’ü ikiye böldüğümüzde 12 sonucuna ulaşırız. Bu değer, çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamıdır. 

Bir polinomda tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulmak için de benzer bir yöntem kullanılır. Yine x yerine 1 ve −1 yazılır. Bu kez p(1) ile p(−1) arasındaki fark alınır ve sonuç ikiye bölünür. Çünkü p(1) ile p(−1) çıkarıldığında çift kuvvetli terimler birbirini yok eder, geriye sadece tek kuvvetli terimler kalır. Aynı polinom üzerinden devam edersek p(1) = 9 ve p(−1) = 15 idi. Bu iki değerin farkını alırsak 9 − 15 = −6 olur. −6’yı ikiye böldüğümüzde −3 sonucunu elde ederiz. Bu da polinomdaki tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını verir. Özetle, çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı için p(1) ile p(−1) toplanıp ikiye bölünür; tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı için ise p(1) ile p(−1) farkı alınıp ikiye bölünür.

 

 

Polinomlarda x−a ile bölünürken kalan, polinomun x=a değeri polinomda değişken yerine yazılır. Bu yöntem sayesinde uzun bölme işlemi yapmaya gerek kalmadan kalan hızlı bir şekilde bulunabilir.  

Polinomlarda bölme işlemi, klasik uzun bölme yöntemiyle yapılabildiği gibi Horner metodu ile de daha kısa yoldan yapılabilir. Horner metodu, özellikle bir polinomu x − a biçimindeki bir ifadeye bölerken daha kısa ve pratiktir. Horner metodunda önce polinomun katsayıları, dereceden sabit terime doğru sıralanır. Bölünen ifade x−a ise, tabloda a değeri kullanılır. En soldaki katsayı aynen aşağı indirilir. Daha sonra bu sayı a ile çarpılır ve bir sonraki katsayıyla toplanır. Bu işlem tüm katsayılar bitene kadar aynı şekilde devam eder. İşlem sonunda elde edilen son sayı kalanı, onun solunda oluşan sayılar ise bölüm polinomunun katsayılarını verir. Yani Horner metodunda hem bölüm hem de kalan aynı anda bulunur. 

(Bkz: Horner Metodu)

 

Polinomların derecesi, der(p(x)) şeklinde gösterilir. Bir polinom sabit ve sıfırdan farklıysa derecesi 0’dır. Sıfır polinomunun derecesi ise belirsizdir. Bir polinomda, sıfırdan farklı katsayıya sahip en büyük kuvvet, o polinomun derecesidir. Örneğin p(x) = 3x⁴ − 2x + 1 için der(p(x)) = 4’tür. Polinomlar toplanırken veya çıkarılırken, oluşan yeni polinomun derecesi, genellikle toplanan polinomların derecelerinden en büyük olanıdır. Ancak en yüksek dereceli terimler birbirini yok ederse, derece düşebilir. Örneğin x³ + 2x ile −x³ + 5 polinomları toplanırsa x³ terimleri yok olur ve sonuç 7x olur. Bu durumda yeni polinomun derecesi 1’dir. 

 

Polinomlar çarpıldığında, çarpımın derecesi, polinomların derecelerinin toplamına eşittir. Bunun sebebi, en yüksek dereceli terimlerin çarpımının yeni polinomun en yüksek dereceli terimini oluşturmasıdır. Derecesi 2 olan bir polinom ile derecesi 3 olan bir polinom çarpılırsa, elde edilen polinomun derecesi 5 olur. Örneğin p(x) = 2x² + 1 ve q(x) = x³ − 4 olsun. p(x)’in derecesi 2, q(x)’in derecesi 3’tür. Çarpımları p(x)·q(x) = 2x⁵ + x³ − 8x² − 4 olur ve bu polinomun derecesi 5’tir. Bu çarpım polinomunun derecesi, 2 + 3 = 5 sonucunu doğrular.

 

Polinomlar bölündüğünde, bölüm polinomunun derecesi, bölünen polinomun derecesinden bölen polinomun derecesinin çıkarılmasıyla bulunur. Örneğin derecesi 5 olan bir polinom, derecesi 2 olan bir polinoma bölünürse bölümün derecesi 3 olur. Kalan varsa, kalan polinomun derecesi her zaman bölenin derecesinden küçüktür. Örneğin p(x) = x⁴+ 2x² + 1 ve q(x) = x² + 1 olsun. p(x)’in derecesi 4, q(x)’in derecesi 2’dir. Bölme işlemi yapıldığında bölümün derecesi 4 − 2 = 2 olur. Gerçekten bölme sonucunda bölüm x² + 1, kalan ise 0 çıkar. Eğer kalan sıfır olmasaydı, kalan mutlaka ikinci dereceden küçük, yani birinci dereceden veya sabit bir polinom olurdu. Örneğin p(x) = x³ + 2 ve q(x) = x² + 1 olsun. Bölme yapıldığında kalan sıfır çıkmaz ve kalan (x − 1) olur. Burada bölen ikinci dereceden, kalan ise birinci derecedendir. 

 

İki polinomun toplamı veya farkı için derece kuralı şöyledir: der(p(x) + q(x)) ≤ max{der(p(x)), der(q(x))} olur.

Polinomların çarpımı için her iki polinom da sıfırdan farklıysa  derece kuralı: der(p(x)·q(x)) = der(p(x)) + der(q(x)) olur.

Polinomların bölümü için, kalanlı bölme durumunda bölümün derecesi: der(bölüm) = der(p(x)) − der(q(x)) olur. Kalanın derecesi ise her zaman der(q(x))’ten küçüktür.

 

Bir polinomun bir ifadeyle tam bölünmesi ve başka bir ifadeyle bölündüğünde kalanının verilmesi durumunda, polinomun istenen bir noktadaki değerini bulurken; önce verilen bölünebilme koşulundan polinomun derecesi dikkate alınarak genel çarpanlı biçimi yazılır, ardından kalan teoremi kullanılarak yazılan polinomdaki bilinmeyen katsayılar bulunur ve son olarak elde edilen polinomda istenen değer yerine konularak sonuç hesaplanır. 

Yukarıdaki örnekte üçüncü dereceden bir P(x) polinomu, x² + 4 ile tam bölündüğüne göre bu x² + 4 ifadesi P(x)’in bir çarpanıdır. Üçüncü dereceden olabilmesi için diğer çarpan (ax + b) şeklinde birinci dereceden bir polinom olmalı, yani P(x) = (ax + b).(x² + 4) şeklinde yazılır. Bu P(x) polinomunun x² − 1 ile bölümünden kalan 2x + 1 olduğuna göre, kalan teoremi gereği x² − 1 = 0 alınır ve buradan x² = 1 yazılır. Bu durumda P(x)’te x² yerine 1 koyarsak P(x) = (ax + b)(1 + 4) = 5(ax + b) = 5ax + 5b elde edilir. Bu ifade soruda verilen kalan: (2x + 1) ’e eşit olmalıdır. İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları karşılaştırılırsa 5a = 2 ve 5b = 1 olur, buradan a = 2/5 ve b = 1/5 bulunur. Böylece P(x) = ((2/5)x + 1/5)(x² + 4) olur. Son olarak x yerine 1 yazarsak P(1) = (2/5 + 1/5)(1 + 4) = (3/5)·5 = 3 bulunur.