Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Süreklilik matematik ve bir çok bilim dalında uygulamaları olan önemli bir kavramdır.  Bir fonksiyonun herhangi bir noktada sürekli olması için öncelikle o noktada tanımlı bir fonksiyon olması gerekir. Tanımsız olan bir noktada süreklilik aranmaz. Tanımlı olarak verilen bir noktada fonksiyonun sürekliliği araştırılırken fonksiyonun verilen x=a noktasında limitinin olması gereklidir. Yani fonksionun o noktadaki sağdan ve soldan limit değerleri birbirine eşit olmalıdır. Fonksiyonun verilen x=a noktasındaki limit değeri fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne yani f(a) değerine de eşit olmalıdır. Bu şartlar sağlandığında "fonksiyon x=a noktasında süreklidir" denir (continous function). Sürekli olmayan fonksiyon o noktada süreksiz olur. 

Süreklilik kavramı bir fonksiyonun tanım kümesine ait bir x₀ noktası için f (x₀) noktası ve x₀  noktasının sağ ve sol tarafındaki değerler (noktanın sağ ve sol komşulukları) hakkında bilgi verir.  Bir x₀∈R noktası için A kümesinin bir  ε>0 reel sayısı olmak üzere x₀ noktasının herhangi bir ε komşuluğunda (x₀−ε , x₀₊ ε) ⊆ A özelliğine sahip bir alt kümesinde tanımlı bir f : A → R fonksiyonu için, x bağımsız değişkeni x₀ reel sayısına yaklaşırsa f(x) değerleri de f(x₀) değerine yaklaşmış olur. Bu şekildeki fonksiyonların sağdan ve soldan yaklaşma değerleri birbirine eşit ise fonksiyonun bu noktada limiti vardır. Bu limit değeri, fonksiyonun x₀ noktasındaki f(x₀) değerine eşit ise bu fonksiyon bu noktada sürekli olur. Bu süreklilik tanımının haricinde bazı f:A→R parçalı fonksiyonları için x bağımsız değişkeni x₀ reel sayısına sağdan veya soldan yaklaştığında f(x) değerleri f(x₀) değerine yaklaşmaz. Bu şekildeki fonksiyonlar x₀ noktasında sürekli olmaz yani fonksiyon x₀ noktasında süreksizdir. Bir fonksiyon bütün Reel sayılar kümesinde süreklilik tanımını sağlıyorsa fonksiyona sürekli fonksiyon denir. Polinom fonksiyonlar her noktada sürekli fonksiyonlara örnek olarak verilebilir.

Fonksiyonun sürekliliğini epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için verilen koşulun her durumda sağlandığı δ (delta) bir değerini ε (epsilon) cinsinden ifade edebilmemiz gerekir. Aşağıda buna bir örnek verilmiştir. Buradaki tanımın genel limit tanımından farkı; fonksiyonun o noktadaki (x=a noktasındaki) f(a değerinin limit tanımına yerleştirilmesidir.

Neyi kutluyorsunuz?

Yılbaşı nedir? Neyi kutluyorsunuz arkadaş? Ömrünüzden dökülen bir takvim yaprağı mı, bir daha asla geriye gelmeyecek günleri mi kutluyorsunuz? Neyi kutluyorsunuz? Ölüme adım adım yaklaşıyorsun, sana yazılan günler bir bir eksiliyor. Hesap vereceğin vakit yaklaşıyor. Bu pervasızca gösteriş ne diye? Dünyanın pek çok yerinde zulüm ve savaşlar varken,  nedir bu vurdumduymazlık? Binlerce insan evlerinden ve yurtlarından sürülmüş, barakalara, çadırlarlara mahkum edilmişken neyi kutluyorsunuz? Dünyanın pek çok yerinde açlık ve fakirlik içinde yaşayanlar, hayatlarının geri kalanlarında üzüntü ve endişe içindeyken, nedir sendeki bu kadar neşe? Havai fişekler havalarda süzülürken, yetimlerin üzerinde patlayan binlerce bomba hiç mi aklına gelmiyor?  Binlerce çocuk, açlık sınırında gezinirken, nedir bu şatafatlı sofraların hali? Bu nasıl inanmışlık, bu nasıl kardeşlik? 

Bugünün ne farkı var dünden veya yarından? Ne anlamsız bir saçmalık bu? Kapitalist dünya, ruhunu satın almış, görmüyorsun. Şeytan, bütün duygularını yok etmiş bilmiyorsun. Eğlencenin ve hazzın esiri olmuşsun farkında bile değilsin. İnsan, biraz durur ve düşünür, "bu yolun sonu nereye çıkıyor" diye muhasebe yapar. İnsan içinde olduğu durumun farkına vararak silkelenir, kendine çeki düzen verir. Başkalarına nispet edercesine pervasızca eğlenmez, eğlenememez. Cenazenin olduğu ortamda düğün yapılmaz. İslam inancında olmayan bu merasim ve kutlama geleneği, Müslümanların gözüne sokarcasına sokaklarda, meydanlarda yaşanmaz. Allah'ın haram kıldığı içkiler, fuhuş ve kumar gibi şeytan işi pislikler, büyük umusamazlıklar içinde yapılmaz. Müslüman mahallesinde, salyangoz satılmaz.

Neden başka milletlere benzemeye bu kadar hevesliyiz, bunu hiç anlamıyorum. Bu aşağılıklık kompleksi ne zaman son bulacak merak ediyorum. Esasında bizden gibi görünüp de bizden ayrı olan münafıklara, başka dinden olanlara ve hiç inanmayan kafirlere sözüm yok; onlar Allah'a verecekleri cevaplarını kendileri hazırlasınlar. Onlarla uğraşacak artık vaktimiz yok. Dünya hayatı kısa bir zaman, nasıl olsa sonunda dönüş Allah'a olacaktır. Benim derdim, müslümanlarda. Kendi aslını kaybetmiş müslümanlarda.

İnandığımız şeyleri yaşantımıza sokabilmek çok mu zor? "İnandık ve teslim olduk" dedikten sonra Allah'a yönelmek, onun emir ve yasaklarına boyun eğmek bu kadar mı ağır geliyor insana?  Neden bir özenti içindeyiz, Neden hep bir eziklik duygusu yaşıyoruz? Neden Allah'a savaş açmış olarak, Şeytan'ın bir oyuncağı olmak için çırpınıp duruyoruz? Yarın pişmanlık duyacağımız davranışlara girişirken, günahlara adım atarken neden çok cesuruz? 

Durup düşünelim. Özümüze dönelim. Yaratan Allah affedicidir, zararın neresinden dönülürse kardır. Hatada ısrarcı olmayalım. Tevbe edelim ve kurtuluşa erenlerden olalım. İslam ile şereflenmemiş dünyada, bir İslami uyanış ve bakış açısı başlamışken, insanlar, akın akın Müslüman olmaya devam ederken, Ey hali hazırda Müslüman dünyası, gözlerimiz Hakka kapanıyor ve batıla meylediyor farkında mısın? Kendimizi toplayalım. Bu çıkmaz yolun sonunda tehlike var. Maalesef gözümüz kapandı, uçurumdan aşağı hızla gidiyoruz  Allah, basiretimizi açsın ve bizi Hak yoluna tekrar kavuştursun ve bir an bile ayırmasın.

Allah, onlara "Yeryüzünde kaç yıl kaldınız?" diye sorar. Onlar da "Bir gün veya günün bir bölümü kadar kaldık; işte, saymakla görevli olanlara sor” derler. Allah buyurur: “Pek kısa bir süre kaldınız; keşke bunu dünyada iken bilmiş olsaydınız! Sizi sırf boş yere yarattığımızı ve sizin artık huzurumuza geri getirilmeyeceğinizi mi sandınız?" Gerçek hükümdar olan Allah, yücedir. O’ndan başka hiçbir ilâh yoktur. O, şerefli ve yüce Arş’ın Rabbidir. (Mü’minûn Suresi 112-116)

Hadis-i Şerifte Buyuruldu ki:

“Kim bu kavme benzemeye çalışırsa ondandır" (Ebû Dâvûd, Libâs, 4031) ;(Ahmed b. Hanbel, Müsned, 2-50) 

***

"Ebu Hureyre Radıyallahu Anh anlatıyor: "Resûlullah aleyhissalâtu vesselâm buyurdular ki: "Sizler, kendinizden önce gelen ümmetlerin hareket ve davranışlarına kulacı kulacına, arşını arşınına ve karışı karışına tıpa tıp muhakkak uyacaksınız. Hatta onlar, daracık bir keler deliğine girseler oraya siz de gireceksiniz. Orada bulunanlar; "Ey Allah'ın Resûlü! (O kimseler) Yahudiler, ve  Hıristiyanlar mı?" diye sordular. Resûlullah (ﷺ): "Bunlar değilse kimler olur?" buyurdular." [İbn Mace, Sünen, 3994]

Geometrik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir. Genellikle "r" harfi ile gösterilir.

 

Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşit olur. Baş ve sondan her bir terimin geometrik dizinin genel terim formülünden karşılığı yazılarak bu eşitliğin doğruluğu gösterilir. 

 

Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisinden daha önceki başka bir terimin cinsinden yazılabilir. Örneğin geometrik dizinin 8.terimini istediğimiz şekilde dizinin 3.terimi cinsinden veya 6.terim türünden yazabiliriz.

 

 

Aritmetik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki artış veya azalış miktarına ortak fark denir ve genellikle "d" harfi ile gösterilir.

Aralarındaki artış miktarı 3 ve ilk terimi 7 olan bir aritmetik dizinin elemanları şu şekilde olur. {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......,3n+4} Dizilerde genel teriminin kuralı bilinmediği zaman, bu dizi olarak kabul edilmez. Burada örnekte verilen aritmetik dizinin kuralı (genel terimi); 3n+4'tür. Aynı aritmetik dizi şu şekilde yazılırsa {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......} bu bir dizi olarak kabul edilmez. Çünkü buradaki terimlerden "37" teriminden sonra aynı şekilde dizinin devam edeceğine dair bir kanıt yoktur.

 

 

Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşit olduğundan bu dizinin ilk n terim toplamını bulmak istediğimizde "Gauss" toplamından yararlanabiliriz. ilk n terimi tek tek yazıp, aritmetik dizinin genel terim formülünü uygulayarak da genel bir toplam bağıntısı elde edilebilir.

 

 

Dizilerde indirgeme bağıntısı

Bir dizinin herhangi bir terimi, kendinden önceki bir veya birkaç terimin cinsinden tanımlayabilmek için yazılan bağıntıya indirgeme bağıntısı denir. İndirgemeli diziyi tanımlayan bağıntıya da indirgeme bağıntısı adı verilir. İndirgeme bağıntısı bulunurken, dizinin belli bir teriminden başlanarak sırayla dizinin terimleri hesaplanır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafına göre taraf tarafa toplama veya bazen de çarpma yapılarak, dizinin genel terimine ulaşılır.

İndirgeme bağıntılarında indis yerine genellikle 1.terimden itibaren değerler verilirken bazen farklı değerlerden başlanarak da değerler verilebilir. Sorudaki istenen duruma göre indise sırayla değer verilip taraf tarafa toplama ya da çarpma işlemi yapılır. İndirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında toplam biçiminde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa toplama işlemi yapılır. Eğer indirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında çarpım şeklinde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa çarpma işlemi yapılır. 

 

Ve Kudüs Şehri-Sezai Karakoç (Alınyazısı Saati)

Ve Kudüs Şehri.

Gökte yapılıp yere indirilen şehir.

Tanrı şehri ve bütün insanlığın şehri.

Altında bir krater saklayan şehir.

Kalbime bir ağırlık gibi çöküyor şimdi.

Ne diyor ne diyor Kudüs bana şimdi

Hani Şam´dan bir şamdan getirecektin

Dikecektin Süleyman Peygamberin kabrine

Ruhları aydınlatan bir lâmba

İfriti döndürecek insana:

Söndürecek canavarın gözlerini

İfriti döndürecek insana

Ve Kudüs’ü terk ettiğin o ikindi

Birinci Cihan Harbi günü vakti

Kan sızdırıyor kaburga kemikleri

Karlı dağlardan indirdiğin atların

Bir evde perdeyi indiriyor bir kadın

Mahşerin perdesini kıyametin perdesini

Ağlıyor yere inen saçları

Göğü yırtan kefen beyaz elleri

Ve Kudüs şehri.

Gökte yapılıp yere indirilen şehir.

Tanrı şehri ve bütün insanlığın şehri.

Yeşile dönmüş türbelerin demiri

Zamanın rüzgâr gibi esen zehriyle

Ve yatırlar patır patır kaçıyor geceleri

Boşaltıyorlar işgal edilmiş bir şehri boşaltır gibi

Kaçıyorlar Lût şehrinden kaçıyor gibi

Tuz heykele dönüşmemek için Tanrı gazabıyla

Susmuş minarelerin azabıyla

Yıkılmış cami kubbelerinin ıstırabıyla

Ve şehit kemiklerinin bakışı bir başka bakış

Artık burada taş bile durmak istemez

Ve ayı görmek istemez zeytin ağaçları

Eğilerek selâmlamazlar hilâli hurmalar

Artık ne Zekeriya ve ne İsa var

Sararmış bir tomar mı mucizeler

Ölülerin dirilişi şifa veren kelimeler

Ve ne de Miraçtan bir iz

Yerden yükselen kaya

Ve Kudüs şehri.

Artık yer şehri, toprak şehri.

Bakır yaprakların, çelik göğdelerin, acımasız yüreklerin

Demir köklerin, tunçtan ve uranyumdan dalların.

Kurşundan çiçeklerin şehri.

Gülle kusuyor ana rahmi

Bomba parçalıyor beynini bebeğin

Tanklar saldırıyor evlere bir anda ev yok tank var

Uçak var gök yok utanç var

Ve kime karşı bütün bunlar

Masum müslümanlara karşı

Binlerce yıl oturdukları yurtta kalmak isteyenlere karşı

Ve kim tarafından bütün bunlar

Romanın, Babilin, Asurun ve Firavunların

Ve nice milletlerin zulmünü görenler tarafından

Zalime olan öcünü mazlûmdan almak

Zalim olmak ve en zalim olmak

Ve artık ne İbrahim ne Yakup ve ne Musa var

Tersinden okunan Tevrat hükümleri

Karaya boyanmış mezmurlar

Ve Kudüs şehri.

İçiyle ve ruhuyla suskun

Göklere kaçmış hayaliyle

Bir pervane gibi ışığa uçmuş gönlüyle

Bir başka âleme göçmüş hakikati

Tanrı katına varmış

İki elini kavuşturup divana durmuş

Hüküm istemiş

Yeryüzüne yeryüzü kadısına

Hüküm ki:

Haksız yere bir insanı öldüren bütün insanlığı öldürmüş gibidir

Ve haksız yere insan öldürenin cezası ölüm

Ve fitne, arzı fesada verme, daha büyük suç adam öldürmekten

Fitne bastırılıncaya kadar savaşın!

Yeryüzünden fesat kalkıncaya kadar

Ey insanlık, ey insanlar

Ey gündüzden daha gündüz,

Hakikatten daha hakikat

Müslümanlar

Alınyazısı Saati Şiiri - Sezai Karakoç