2026 TYT-AYT Matematik Soru Dağılımı

2026  TYT sınavı; 20 Haziran 2026 Cumartesi günü ve 2025 AYT sınavı; 21 Haziran 2026 Pazar günü gerçekleştirildi. TYT sınavı, önceki yıllarda olduğu gibi süre yetiştirme derdi olan bir sınavdı. Sınava giren öğrencilerin çoğunluğu, TYT süresini yetiştirmekte maalesef zorlandı. Özellikle matematikte problem tabanlı soru alt yapısı, adayların soruları anlayıp hızlı bir şekilde çözmelerini zorlaştırdı. Türkçe ve sözel bölümde soruların uzunluğu ve anlaşılma güçlüğü sebebiyle sınav için verilen süreyi iyi kullanamama problemlerine sebep oldu. Doğal olarak bu durum, adayların sayısal bölüm için kalan sürelerini de ciddi manada azalttı. Sorular incelendiğinde, TYT sorularında zor sayılacak sorular olduğu gibi çok kolay sorular da vardı. Önceki yıllara göre TYT zorluk seviyesi daha kolay denilebilir. Geometri soruları da önceki yıllara göre daha az zorlayıcı olmuş.  Matematik soruları, problem tabanlı bir yapıya dönüştürülerek hız ve anlamaya dayalı bir aday eleme işlemi amaçlanmış. Süreyi yetiştirebilen adaylar için TYT sınavı güzel bir sınav olmuştur. AYT soruları, bu sene daha anlaşılır ve çözümü daha klasik sorulardan oluşmuş. AYT sınav süresinin, konu ve kavramları iyi bilen öğrenciler için yeterli olacağını söyleyebilirim. Karmaşık, anlaşılmaz soru tarzı, önceki yıllara nazaran yok gibiydi. AYT Sınavıda tartışmalı soruların olması, bana sınavın daha özensiz hazırlandığını düşündürdü. Ya da bazı sorular, sınavdan önce hazırlık aşamasında basına açıklandığı gibi yapay zekaya teslim edilerek hazırlanmış olabilir. Orasını bilemem. Belki de YKS üzerinde böyle tartışmalarla bir şüphe oluşturarak, önümüzdeki yıllarda sınavın değiştirilmesi gerektiğini konuşuyor olacağız. Bu tartışmalı mevzular, bir zemin yoklaması olabilir.

Ülkemizin gençlerinin üzerindeki yük, bu sınavlarla her geçen yıl daha fazla artıyor. Yayınevleri, Eğitim Koçları, Youtube ders fenomenleri gibi eğitim dışı pek çok öğenin şaklabanlıkları neticesinde, sınavda sorulan soruların zorluk seviyeleri her geçen yıl artmaya/farklılaşmaya başladı. Öğrenciler bir at yarışındaymış gibi hazırlandıkları sınavlarda, farklı sınav içerikleriyle karşılaşmaya devam ediyorlar. Düşünelim bir kere... Bir türev sorusu (ayt-matematik-23.soru) hazırlanıyor, sınavdan sonra günlerce sosyal medya ortamında, matematik öğretmenleri ve youtube fenomen kitleleri tarafından ÖSYM cevabı tartışılıyor. Üniversite düzeyi açıklamalarla sorunun yanlışlığı, doğruluğu, çözümü araştırılıyor; sorunun iptal edilmesi gerektiği veya cevabının değiştirilmesi gerektiği gibi söylemler, polemik haline getiriliyor.  En iyisi benim havasında açıklamalarla öğrencilerin stresi biraz daha arttırılıyor. Her kafadan bir sesle, öğrencilerin gelecekleri adına yorumlar yapılıyor. Binlerce hayalle sınava giren Anadolu"nun temiz yürekli çocukları, sınavın psikolojik atmosferinde para kazanma hırsıyla dolu kitleler sayesinde heder ediliyor. Yayınevleri, eğitim koçları, fenomen yayıncılar eşliğinde gençlerle oyuncak gibi oynanıyor. Yazık! Gerçekten yazık! Avrupa’nın yetersiz genç nüfusla imtihan olduğu bu dünyada, muazzam genç kitlemizi kolayca harcıyoruz. 

Bir sınav hazırlanıp, o sınavla adil bir yarışta üniversite için aday seçimi yapılacak, olay bu. Ama bu olay bile çarkların adilane bir şekilde dönmesini engelliyor. Ortaöğretim başarı puanı ile şişirilen özel okul puanlarıyla, sınavda yeterince başarı gösteremeyenler; paraları ile satın aldıkları puanlarla adil olduğu söylenen sınav yarışında binlerce adayın önüne geçiyorlar. Bunları herkesin bildiği halde çözüm mekanizmalarında sorunlar her geçen gün derinleşiyor. Bir soru bile ne kadar kıymetliyken milyonların girdiği sınavda, şişirilmiş diploma puanları sınav netlerinin aksine belirleyici olabiliyor. O kadar gencin hayatına yön verecek bir sınavda, bir soru ile binlerce kişinin sırası değişebiliyor. Hal böyleyken böyle bir ortamda, nasıl yanlış soru yazılabiliyor veya cevabı hatalı çözüm nasıl yapılabiliyor anlamış değilim. Akıl işi değil bu. Günlerce izole mekanlarda soru hazırladığı söylenen soru komisyonun hatası, kolay kabul edilebilir bir mesele değildir. Şaibeli her iş, sınav adaletine ve geçerliliğine gölge düşürür. Bana göre tartışmaya konu olan bu matematik sorusu, cevap filan değiştirilmeden kesinlikle iptal edilmeli, bütün öğrenciler geri kalan sorular üzerinden adil bir şekilde değerlendirilmelidir. Kitlelerin söylemleriyle veya bilirkişi değerlendirmeleriyle cevap değişikliğine filan gidilmemelidir. Aksi halde adayların akıllarında en küçük bir şüphe kalması, sınav geçerliliği açısından sakıncalara sebep olur. 

Bir sınav böyle olmamalıydı maalesef. Değişen teknoloji ve şartlar, herkesin kişiliğini ve kimliğini bozdu. Çağ öyle bir çağ ki kurumlar ve kişiler, sosyal medya ve yapay zeka karşısında aciz bırakılıp yıpranıyor veya bilerek yıpratılarak değersizleştiriliyor. Bu olay; bize bu işlerin böyle gitmeyeceğini, acil önlemler alınması gerektiğini gösteriyor. Teknoloji köleliğine giden yolda kendi kişiliğimizi ve toplum ahlakını korumanın yollarını bulmak zorundayız. Problemler büyüyor ama farkında değiliz. Çılgınca hüküm süren medya araçları ve yapay zeka; insanların ve kurumların hür iradelerini hızla ele geçiriyor ve bizler bu durumun ağırlığı altında yavaş yavaş ezilmeye başladık bile. 

Benlik dünyasında alınan kararlarla yürünen bu yollarda, daha çok tartışmalarımız olacaktır. Bunun sadece bir sıralama sınavı olduğunu, bir aşağılama sınavı olmadığını anlayacak beyinlere ihtiyaç var. Bir gençlik kolay yetişmiyor, basit işlerle kolay harcanmamalıdır. Allah'ın rızasını kazanmaya hizmet edecek bir  gayede, nesillerin ihyası için yeni fikirler üretmek gerek. Geçici dünya hayatında oyalanmaya devam edelim, oyun sahnesi bizim nasıl olsa... Herkes, yaptığı ve yapma imkanı varken yapmadığı bütün fiillerinin karşılığını elbet görecektir. (KP)

 

ÖSYM sınav sorularına ve güncel bilgilere ulaşmak için ÖSYM resmi sitesini kullanınız.
Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

TYT ve AYT Matematik (2026) sınavının konulara göre soru dağılımı, aşağıdaki tablodaki gibidir:

TYT-2026 MATEMATİK	Adet
Temel Kavramlar, Basamak Çözümleme	3
Örüntü ve Sayı Dizileri	1
Rasyonel Sayılar, Ondalık Sayılar	2
Bölme ve Bölünebilme	1
Eşitsizlik ve Sıralama	1
Mutlak Değer	1
Üslü İfadeler	1
Köklü İfadeler	1
İstatistik-Veri Analizi-Grafik	2
Denklem Kurma Problemleri	12
Fonksiyonlar	1
Mantık	1
Kümeler	1
Sayma	1
Olasılık	1
Üçgende Açılar	1
Üçgende Uzunluk	2
Dik Üçgen	1
Eşlik Benzerlik	1
Dörtgenler	2
Çember ve Daire	1
Katı Cisimler	2
Toplam	40

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

 

 

2026 AYT Matematik sınavındaki sorular; önceki yıllara benzer şekilde sorulmuştur. Genel olarak sorulara, ortalama seviye birlikte önceki yıllara nazaran çok  zor olmayacak şekilde hazırlanmıştır. Kafa karıştıracak veya anlamayı güçleştirecek herhangi bir soru olmamasına rağmen, soru tiplerinin klasik sorulara yakın olduğu görülmüştür. Sınav sonrası türev sorularından biri (AYT 23. Soru) çok tartışmalara neden olsa da soru kalitesi bakımından beklenilen seviyede bir sınav gerçekleşmiştir. 

2026 AYT Matematik sınavının konulara göre soru dağılımı, aşağıdaki tablodaki gibidir:

2026 AYT MATEMATİK	Adet
Temel Kavramlar-Asal Çarpanlar	1
Köklü ifadeler	1
Mutlak Değer	1
Bölünebilme	1
Eşitsizlikler	1
Fonksiyonlar	2
Binom Açılımı	1
Sayma, Sıralama, Seçme	1
Olasılık	1
Mantık	1
Kümeler	1
Polinomlar	1
Parabol	1
2.Dereceden Denklemler	1
Logaritma	2
Diziler	1
Trigonometri	5
Limit ve Süreklilik	2
Türev	3
İntegral	3
Üçgenler	1
Çember ve Daire	2
Dönüşüm Geometrisi	2
Nokta-Doğrunun Analitik İncelenmesi	3
Katı Cisimler	1
Toplam	40

Pratik takvim günü hesaplama

Haftanın herhangi bir gününü Gregoryen Takvim içinde yalnızca birkaç basit işlemle hesaplamak mümkündür. Bu yöntemin temel mantığı, tarihin farklı bileşenlerini ayrı ayrı değerlendirip bunların haftalık döngü üzerindeki etkisini toplamaktır. Çünkü haftanın günleri yedi günde bir tekrar eder. (mod 7) Bu nedenle hesaplamalarda önemli olan toplam gün sayısı değil, bu toplamın 7'ye bölümünden kalan değerdir. Elde edilen kalan sayı, önceden belirlenmiş gün eşleştirmesine göre haftanın hangi gününe ulaşıldığını gösterir.

Hesaplama yapılırken önce tarihin gün değeri alınır. Ardından ilgili ay için önceden belirlenmiş ay kodu eklenir. Sonra yüzyıl kodu eklenir. Daha sonra artık yıl ve yılın son iki hanesi eklenir. Elde edilen toplam 7 ile bölünerek kalan bulunur. Kalan değeri başlangıç günü Pazar (0) kabul edilerek ilerleterek istenen gün bulunur. 

Burada önce kavramları açıklamaya çalışalım ve ardından gün bulma örneği verelim.

Ay kodları rastgele seçilmiş sayılar değildir; her ay başlamadan önce yıl içinde geçmiş olan günlerin 7'ye göre kalanını temsil eder. Ay kodları takvimin referans noktasına göre (başlangıç gününe göre) ne kadar ileride olduğunu gösteren kod değerleri olup sihirli sayılar değildir; takvimin yapısından türetilmiş sayılardır. Mantığı şöyledir: Bir yılın başını (örneğin 1 Ocak'ı) referans alırsak, herhangi bir tarihe ulaşmak için geçen gün sayısını hesaplayabiliriz. Haftanın günü yalnızca 7'ye göre kalan ile ilgilidir. Bu yüzden ay kodları, her ayın başına kadar geçen günlerin 7'ye göre kalanıdır.

Örneğin artık yıl olmayan bir yılda ay kodları aşağıdaki gibi bulunur. Eğer yıl artık yıl ise yalnızca Ocak ve Şubat aylarının kodları değişir: Ocak: 6 Şubat: 2 Diğer ayların kodları aynı kalır.

Ay Öncesindeki toplam gün 7'ye bölümünden kalan Ay kodu

Ocak 0 gün geçti 7 ile bölümünden kalan 0 bu nedenle kod 0

Şubat 31 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 3 bu nedenle kod 3

Mart 59 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 3 bu nedenle kod 3

Nisan 90 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 6 bu nedenle kod 6

Mayıs 120 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 1 bu nedenle kod 1

Haziran 151 gün geçti 7 ile bölümünden  Kalan 4 bu nedenle kod 4

Temmuz 181 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 6 bu nedenle kod 6

Ağustos 212 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 2 bu nedenle kod 2

Eylül 243 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 5 bu nedenle kod 5

Ekim 273 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 0 bu nedenle kod 0

Kasım 304 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 3 bu nedenle kod 3

Aralık 334 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 5 bu nedenle kod 5

Buna göre kısaca artık yıl olmayan bir yılda ay kodları şöyle olur:

Ocak → 0

Şubat → 3

Mart → 3

Nisan → 6

Mayıs → 1

Haziran → 4

Temmuz → 6

Ağustos → 2

Eylül → 5

Ekim → 0

Kasım → 3

Aralık → 5

Mesela Temmuz ayı için: Ocaktan Haziran sonuna kadar geçen gün sayısı: 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181 gün geçti. Bu sayının 7 ile bölümünden (181'i 7'ye bölersen 181 = 7 × 25 + 6) kalan 6 olur. Bu yüzden Temmuzun kodu 6 olur. Yani ay kodu, o ay başlamadan önce geçen gün sayısının 7'ye göre kalanıdır.

Eğer takvim başlangıcı 1 Ocak yerine farklı bir başlangıç günü (farklı bir referans noktası), alınırsa, buradaki ay kodları tamamen değişir. Örneğin artık yıl olmayan bir yılda 1 Mart'ı referans alıp ay kodunu 0 kabul edelim. Her ayın kodu, 1 Mart'tan o ayın 1'ine kadar geçen gün sayısının 7'ye bölümünden kalana göre bulunur. Hesaplama şöyle olur. 1 Mart = 0, Nisan = 31 gün sonra → 3, Mayıs = 61 gün sonra → 5, Haziran = 92 gün sonra → 1 Temmuz = 122 gün sonra → 3 koduna sahip olur. Dolayısıyla 1 Mart'ın yıl başı olarak kabul edildiği bu referans sisteminde Temmuz ayının kodu 3 olurdu. 

Netice olarak Ay kodları evrensel değildir; buradaki kodlar Ocak ayından başlayıp Aralık ayına kadar devam eden standart takvim aylarının algoritmasına göre üretilmiştir, farklı algoritmalarda bu kodlar değişebilir.

Ay kodu bulunduktan sonra yılın son iki rakamı eklenir ve bu iki basamaklı sayı 4'e bölünerek tam kısmı da ayrıca toplama katılır. Bu işlem, artık yılların takvime eklediği günün etkisini hesaba katar. Son olarak içinde bulunulan yüzyıla ait yüzyıl kodu eklenir. Yüzyıl kodları da Gregoryen takviminin 400 yıllık döngüsünden türetilmiştir ve her yüzyılda oluşan gün kaymasını dengelemek için kullanılır.

Yüzyıl kodları da ay kodları gibi 7'ye göre kalan hesabından elde edilir. Bunlar ezberlenmiş rastgele sayılar değildir. Mantık şu şekildedir: Bir yüzyıldan sonraki yüzyıla geçerken 100 yıl geçmiş olur. Normal bir yıl haftanın gününü 1 gün ileri taşır. Artık yıl ise 2 gün ileri taşır. Normal yıl (365 gün): 1 gün (365 ≡ 1 mod 7) Artık yıl (366 gün): 2 gün (366 ≡ 2 mod 7)

Geçen her 100 yılda (Gregoryen takviminde, 400'ün katı olmayan yüzyıllarda) 24 artık yıl vardır. (24*4+4=100) Her geçen 400 yılda ise bir artık yıl daha oluşur. Dolayısıyla 100 yılda toplam gün kayması: 76 normal yıl × 1 = 76 gün ; 24 artık yıl × 2 = 48 gün; Toplam = 124 gün olur. 

Haftada 7 gün olduğundan: 124 sayısının 7 ile bölümünden kalan 5 olur. 124 mod 7 = 5 Yani her yeni yüzyıla geçtiğinde haftanın günü +5 gün ileri (veya mod 7 için eşdeğer olarak -2 gün geri) kayar. Bu yüzden yüzyıl kodları 2'şer azalarak (mod 7) ilerler. Yani her 400'ün katı olmayan yüzyılda başlangıç hafta günü 5 gün ileri kayar. (veya eşdeğer olarak 2 gün geri gelir.)

Örneğin:

1600 → 1700: +5
1700 → 1800: +5
1800 → 1900: +5

1900 → 2000: +6 burada ise durum farklıdır; Çünkü 2000 yılı 400'ün katı olduğu için artık yıldır ve bu 100 yıllık blokta 25 artık yıl bulunur. 400'ün katı olan yüzyılda ise: 75 normal yıl ve 25 artık yıl bulunur.  Burada Toplam kayma: 75 × 1 + 25 × 2 = 75 + 50 = 125 gün olur. 125 sayısının 7 ile bölümünden kalan da 6 olur.  125 ≡ 6 (mod 7) Böylece dört yüzyıllık döngüde kaymalar: +5, +5, +5, +6 = 21 ≡ 0 (mod 7) şeklinde olur. Bu nedenle Gregoryen takvimi 400 yılda bir aynı hafta düzenine geri döner.

Örneğin yaygın kullanılan yüzyıl kodları:

::::::

Gregoryen takvimi 1582'den sonra kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin 1500 yılı Gregoryen takviminde fiilen kullanılmamıştır. Bu nedenle 1500 = 0 gibi bir kod, tarihsel kullanım için değil, Gregoryen kurallarını geriye doğru uyguladığımız matematiksel hesaplamalarda anlamlıdır. Pratikte kullanılan yüzyıl kodları genellikle 1600, 1700, 1800, 1900, 2000, … için verilir. Bu nedenle Gregoryen takviminde yüzyıl kodları şöyle olur:

...........

1500 0

1600 6

1700 4

1800 2

1900 0

2000 6

2100 4

2200 2

2300 0

400 yılda ise durum yeniden başa döner:

400 yılda 97 artık yıl vardır. Toplam gün = 400

400*365+97=146097 gün

146097 mod 7 = 0

Bu nedenle Gregoryen takvim 400 yılda bir aynı hafta düzenini (6 4 2 0 ) tekrar eder. Yüzyıl kodlarının her dört yüzyılda bir aynı döngüye girmesinin nedeni budur. Böylece yüzyıllar için yüzyıl kodları da elde edilmiş olur.

Yukarıdaki açıklamalardan çıkarılan sonuca göre kısacası, hem ay kodları hem de yüzyıl kodları, takvimde biriken günlerin 7'ye göre kalanından türetilmiş pratik kısaltmalardır.

Normal bir yıl 365 gün sürer. 365 sayısı, 7'ye bölündüğünde 1 kalanını verir. Bu yüzden her normal yıl, aynı tarihin haftanın gününü 1 gün ileri taşır.  Fakat yaklaşık her 4 yılda bir bir artık yıl vardır ve o yıl 366 gün sürer. 366 sayısı ise 7'ye bölündüğünde 2 kalanını verir. Yani artık yıllar normal yıllara göre haftanın gününü 1 gün daha fazla ileri taşır. Bu nedenle tarihteki yıl hanesi artık yılları bulmak için 4 ile bölünür.

Ay kodları, yüzyıl kodları, artık yıl kalanı gibi bütün bu değerler toplandıktan sonra sonuç 7'ye bölünür ve kalan bulunur. Çünkü haftanın günleri yedi günde bir tekrar ettiği için yalnızca bu kalan önemlidir. Kalanın hangi güne karşılık geldiği başlangıç günü için kullanılan tabloya göre belirlenir. Burada miladi takvim kullanıldığı için döngü Pazar (0) gününden başlar. Bu işlemler sonucunda uzun takvim hesapları yapmadan, yalnızca birkaç toplama ve bölme işlemiyle herhangi bir tarihin haftanın hangi gününe denk geldiği bulunabilir. Bu yöntem özellikle zihinden hesap yapmayı kolaylaştıran pratik ve sistematik bir tekniktir.

Örnek olarak 10 Ekim 1783 tarihi ele alalım.

Ekim ayının kodu 0, yılın son iki rakamı 83, bu 83 sayısının 4'e bölümünün tam kısmı 20 ve 1700'lü yılların yüzyıl kodu 4'tür. Hesaplama: [Gün + ay kodu + yıl son iki hane + artık yıl+yüzyıl kod] toplamı 7 ile bölünüp kalanı alınır. Kalan Pazar 0 kabul edilerek ileri doğru sayılır. 

10 + 0 (ay kodu) + 83 + 20 + 4 (yüzyıl kodu) = 117. 

117'nin 7'ye bölümünden kalan 5'tir ve bu sonuç Pazar 0,  Pazartesi 1,  Salı 2,  Çarşamba 3, Perşembe 4,  Cuma 5,  Cumartesi 6 olduğundan 5 sayısından dolayı tarihin Cuma gününe denk geldiğini gösterir. 

Başka bir örnek olarak 23 Mayıs 2037 tarihi alalım:

Mayıs ayının kodu 1, yılın son iki rakamı 37, 37'nin 4'e bölümünün tam kısmı 9 ve 2000'li yılların yüzyıl kodu 6'dır. 

Hesaplama: 23 + 1 + 37 + 9 + 6 = 76. 76'nın 7'ye bölümünden kalan 6'dır ve bu sonuç tarihin Cumartesi gününe denk geldiğini gösterir.

Başka bir örnek daha alalım. 12 Nisan 1458 tarihi Gregoryen takviminden önceki bir tarihtir. Daha öncesinde Jülyen takvim kullanılmıştır. 

Jülyen takvimi, her yıl 365 gün olan ve her dördüncü yılda ek bir artık gün içeren bir güneş takvimidir . Jülyen takvimi, Doğu Ortodoks Kilisesi'nin bazı kısımlarında ve Oryantal Ortodoksluğun bazı kısımlarında ve ayrıca Berberi takviminde hala dini bir takvim olarak kullanılmaktadır . Hızlı bir hesaplama için, 1901 ile 2099 yılları arasında çok daha yaygın olan Gregoryen tarihi, Jülyen tarihine 13 gün eklenerek elde edilir. 1582'de Papa XIII. Gregory'nin revize edilmiş bir takvim ilan etmesine kadar, 1600 yıldan fazla bir süre boyunca Roma İmparatorluğu'nda ve daha sonra Batı dünyasının çoğunda baskın takvim olarak Jülyen takvimi kullanılmıştır.

Tarih 12 Nisan 1458

Gün: 12

Nisan kodu: 6

Yılın son iki hanesi: 58

58 ÷ 4 = 14

1400 yüzyıl kodu: 2

Toplam: 12 + 6 + 58 + 14 + 2 = 92

92 ÷ 7 → kalan 1 olur. Bu da Pazartesi gününü verir.

Örneklerde kullanılan ay ve yüzyıl kodları Gregoryen takviminde yaygın kullanılan kodlara göre hesaplanmıştır ve verilen iki tarihin gerçek hafta günleriyle uyumludur.

Matematik Çalışma Planı

Bu çalışma programı; 2026-2027 eğitim öğretim yılı boyunca, Matematik dersine yönelik planlı ve sistemli bir çalışma ile sınava hazırlık sürecini hedeflemektedir. Plan uygulamasında özellikle 11.sınıflar hedef kitlesi olarak seçilmiştir.

Haziran-2026 sonundan itibaren başlayan süreçte, Matematik ve Geometri konuları; haftalara bölünerek ilerletilmiş bu sayede öğrencinin konuları düzenli bir şekilde tekrar etmesi/öğrenmesi amaçlanmıştır. Programda; sayılar, fonksiyonlar, polinomlar, denklem ve eşitsizlikler gibi temel konulardan başlanarak; trigonometri, logaritma, diziler, türev ve integral gibi daha ileri konulara doğru kademeli bir ilerleyiş sunulmuştur. Son aşamada ise doğru ve çember analitiği, katı cisimler, dönüşüm geometrisi gibi daha üst düzey konulara yer verilmiştir. Bu yapı sayesinde öğrenci, yaz döneminden itibaren konuları erken tamamlayarak, okul döneminde daha disiplinli bir çalışma yürütebilir. 

Bölme işlemiyle Karekök Hesaplama

Çok büyük sayılarda karekök alma işlemini, hesap makinesi kullanmadan sadece bölme işlemi kullanarak yapabiliriz. Pratik olmasa da alışıldığı zaman kullanışlı bir yöntem. 

Karekök alma işleminin bölme yöntemiyle nasıl yapıldığını daha detaylı ve adım adım açıklayalım. 

Bölme Yöntemiyle Karekök İşlemi Adımları

Örneğin: 1234321 sayısının karekökünü sadece bölme işlemi kullanarak hesaplayalım.

İşlem yapılacak sayı sağdan sola doğru iki hanelik gruplara ayrılır. Birler basamağından başlayarak tüm sayı, ikişerli olarak gruplandırılır.

Örneğin: 1234321 sayısı 1 | 23 | 43 | 21 şeklinde gruplandırılır. Bu gruplama, işlemi kolaylaştırmak için yapılır. Kök değerinin ilk basamağını bulmak için sayının en soluna bakılır. En soldaki grup (burada 1) için en büyük tam kare sayı bulunur. Örneğimizde 1 sayısının karekökü 1’dir (1x1=1). Bu sayı, karekökün ilk basamağı olur. 1 x 1 = 1 yazılır. İlk basamağın karesi (1) sayının ilk grubundan çıkarılır. 1 - 1 = 0 kalır. Sonraki grup (2323 bölmedeki kalanın yanına getirilir, böylece 023 olur. Yeni bölme sayısını oluşturma aşamasında bulunan önceki karekök değerimiz (1) iki ile çarpılır: 1 x 2 = 2. Bu sayı, bölme işleminde kullanılacak "bölücü" olarak düşünülür. Şimdi, 2 ile başlayıp, 2'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 21, 22, 23...) 023 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. Bölme ve çıkarma işlemi yapılır. 21 x 1 = 21 (burada 1, yanına eklenen rakam) 023 - 21 = 2 bölmede kalan olarak kalır. Karekökün ikinci basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök şimdi haliyle  11 olur. İşlemi tekrarlama aşamasında aynı işlemler yapılır. 

Kalan sayı (2) yanına bir sonraki grup (43) getirilir: 243. Karekökün şu anki hali (11) iki ile çarpılır: 11 x 2 = 22. Sonra 22'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 221, 222, 223...) 243 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. 221 x 1 = 221 çıkarılır. 243 - 221 = 22 kalır. Karekökün üçüncü basamağı 1 olarak bulunur. Karekök şimdi 111 olur. Son adımlarda verilen sayıdan en son kalan sayı (22) yanına son grup (21) getirilir: 2221. Sonra bulduğunuz karekökün şu anki hali (111) iki ile çarpılır: 111 x 2 = 222. Bu 222'nin yanına bir rakam ekleyerek (2221) 2221.1=2221  sayısından çıkarılır. 2221 x 1 = 2221 çıkarılır. Sonuçta en son kalan 0 olur. Böylece Karekökün dördüncü basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök tamamlanır: 1111.

Özetlersek; Verilen sayı çift hanelere ayrılır. En büyük tam kare bulunur ve sayıdan çıkarılır. Kalan sayıya yanındaki çift hane eklenir. Karekökün bulunan şu anki hali iki ile çarpılır. Yanına eklenen rakamla çarpılarak çıkarma yapılır. Kalan sıfıra ulaşana kadar böyle devam edilir. Yanına çarpmak için eklediğimiz sayılarla bulunan rakamlar karekökün basamakları olur.

Bu yöntem, uzun bölme işlemine benzer şekilde karekökü adım adım bulmayı sağlar. Örnekte 1.234.321 sayısının karekökü 1111 olarak bulunmuştur.

Örneğin 614656 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 6 | 14 | 65 | 56 şeklinde yazılır. İlk grup olan 6'dan büyük olmayan en büyük tam kare 4 olduğu için karekökün ilk basamağı 2 olur. 6 − 4 = 2 kaldıktan sonra yanına 14 indirilerek 214 elde edilir. Bulunan karekökün iki katı alınır ve uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır. Daha sonra kalan sayının yanına sırasıyla 65 ve 56 grupları indirilir. Her adımda bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam belirlenir ve çıkarma işlemi tekrarlanır. Kalan sıfıra ulaştığında işlem tamamlanır ve bulunan rakamlar birleştirilerek sayının karekökü elde edilir. Bu örnekte 614656 sayısının karekökü 784 olarak bulunur.

Örneğin 18671041 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 18 | 67 | 10 | 41 şeklinde yazılır. İlk grup olan 18'den büyük olmayan en büyük tam kare 16 olduğu için karekökün ilk basamağı 4 olur. 18 − 16 = 2 kaldıktan sonra yanına 67 indirilir ve işlem devam eder. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır ve kalan sayının yanına sırasıyla 10 ve 41 grupları indirilir. Aynı adımlar tekrar edilerek kalan her seferinde azaltılır ve son işlemde kalan 0 olur. Böylece bulunan rakamlar birleştirilerek 18671041 sayısının karekökünün 4321 olduğu elde edilir.

Tam sayı kısmı tamamlandıktan sonra kalan sıfır değilse, yanına eklenen 00 grupları indirilerek işlem ondalık basamaklar için aynı şekilde devam eder. Böylece karekökün virgülden sonraki basamakları da tek tek bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamak elde etmek için yapılan tek işlem, sayının sağına ikişerli 00 grupları ekleyerek aynı adımları sürdürmektir.

Örneğin 1234567890 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle yaklaşık 4 ondalık basamağa kadar bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 12 | 34 | 56 | 78 | 90 şeklinde yazılır. Ondalık basamakları bulabilmek için sayının sağına ikişerli 00 grupları eklenir ve işlem 12 | 34 | 56 | 78 | 90 | 00 | 00 | 00 | 00 şeklinde devam eder. İlk gruptan başlanarak bu gruptan büyük olmayan en büyük tam kare bulunur, karesi çıkarılır ve kalan sayının yanına bir sonraki grup indirilir. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, yanına uygun bir rakam eklenerek oluşturulan sayı aynı rakamla çarpılır ve elde edilen sonuç kalan sayıdan çıkarılır. Bu işlemler tüm gruplar için aynı sırayla tekrarlanır. Tam sayı kısmındaki gruplar tamamlandıktan sonra işlem durdurulmaz; ondalık basamakları bulmak için eklenen 00 grupları sırayla indirilir ve aynı yöntem uygulanmaya devam edilir. Her indirilen 00 grubu, karekökün virgülden sonraki bir basamağını verir. Dört adet 00 grubu indirildiğinde karekök yaklaşık 35136,4183 olarak bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamaklar, sayının sonuna ikişerli 00 grupları eklenerek ve aynı işlem adımları tekrarlanarak elde edilir.

Karekök yaklaşık değeri

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için, o sayıya en yakın ardışık tam kare sayılar kullanılır. Bu yöntemde önce sayının altındaki ve üstündeki en yakın tam kare sayılar bulunur. Daha sonra verilen sayının, bu iki tam kare arasındaki konumu oranlanır. Aynı oranın karekök değerleri arasında da geçerli olacağı düşünülerek alt karekök değerine bu oran eklenir. Böylece karekökün yaklaşık değeri hızlı ve pratik bir şekilde elde edilmiş olur. Bu yöntem, karekökü yaklaşık hesaplamak için kullanılan en eski sayısal yaklaşım tekniklerinden biridir ve temeli “doğrusal ara değer bulma (interpolasyon)” fikrine dayanır. Yöntemin tam olarak ne zaman ortaya çıktığı belli değildir. Babil, Çin, Mısır, Hint gibi farklı uygarlıklar, karekök ifadelerinin yaklaşık değerlerini bulmak için benzer metotları kullanmışlardır. (Bkz. Babil Metodu)

Örneğin √50 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 50 sayısının altında 49 = 7², üstünde ise 64 = 8² olacak şekilde 7 ve 8 sayıları vardır. Bu nedenle √50 sayısının 7 ile 8 arasında bir değer olduğu anlaşılır. Alt tam kare (49 = 7²) ile üst tam kare (64 = 8²) arasındaki fark 15 birimdir. Yani Bu sayıları bir sayı doğrusunda yerleştirdiğimizde bu aralık 64−49=15 eşit parçalık bir aralık gibi düşünülür. 50’nin 49’dan uzaklığı, 1 fazla ve 50 ile 64 arasındaki toplam fark 14 olacağından, 50 bu aralığın yaklaşık 1/15’i kadar 7 sayısından ileride olur. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 7’ye 1/15 eklenir ve yaklaşık ≈7,067... sonucu elde edilir. Bu değer gerçek değere (7,0710678118654755...) oldukça yakın olduğundan bu yöntem, hesaplamalarda sık kullanılır. Bu yaklaşımda karekök eğrisi kısa bir aralıkta düzmüş gibi kabul edilir; yani fonksiyondaki değişimin doğrusal olduğu varsayılır.

Newton-Raphson yöntemi (Yaklaşık Karekök)

Newton-Raphson yöntemi ile kareköklü ifadenin yaklaşık değerini hesaplamak mümkündür. Karekök hesaplamalarında pratik olarak kullanılan Babil yöntemi olarak izah ettiğimiz yaklaşık değer metodu, esasında türevden ortaya çıkan durumun özel halidir. Newton, Babil yöntemini türev kullanarak geliştirmiş ve Josep Raphson (Bkz. Joseph Raphson) ise metodu daha basit ve kullanışlı bir forma dönüştürmüştür.

Karekök Hesaplama (Babil Yöntemi)

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini hesaplarken çeşitli yöntemler kullanılmıştır. Bu yöntemlerden biri çok eski zamanlardan günümüze ulaşmış Babil Yöntemi (Babylonian method)dir. Bu yöntem bir sayının karekökünü yaklaşık olarak bulmada çok hızlı sonuç üreten bir yöntemdir. Hesap makinelerinde sıklıkla kullanılır. Babil Yöntemi, bir sayının karekökünü bulmak için kullanılan pratik bir yöntemdir. Bu yöntemde önce karekök için yaklaşık bir değer seçilir. Daha sonra yapılan işlemlerle bu değer giderek daha doğru hale getirilir. Babil Yöntemi olarak bilinen bu yöntem, daha sonraki zamanlarda Newton-Raphson tarafından genelleştirilmiştir. (Bkz. Newton Raphson Yöntemi)

 

Örneğin 10 sayısının karekökünü bulalım. 3 × 3 = 9 ve 4 × 4 = 16 olduğu için √10 sayısının 3 ile 4 arasında olduğu anlaşılır. İlk tahmin olarak 3 alınabilir. İlk adımda 10 sayısı 3’e bölünür: 10 / 3 = 3.3333 olur. Sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (3 + 3.3333) / 2 = 3.1667 sonucu bulunur. Yeni tahmin artık 3.1667 olur. İkinci adımda: 10 / 3.1667 = 3.1579 elde edilir. Önceki bulunan değerle birlikte aritmetik ortalama alınır: (3.1667 + 3.1579) / 2 = 3.1623 olur. Üçüncü adımda: 10 / 3.1623 = 3.1623 olur. Tekrar ortalama alınır: (3.1623 + 3.1623) / 2 = 3.1623 elde edilir. Sonuç olarak: Her adımda sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Hata payı gittikçe azaltılarak istenen minimum değere gelinceye kadar işlem tekrar edilir. Birkaç tekrar sonunda yaklaşık sonuç elde edilir: 10 sayısının yaklaşık karekök değeri√10 ≈ 3.162277 olarak hesaplanır.

 

Babil yönteminin temel mantığı, tahmin ile bölme sonucunu dengeleyerek en doğru değere yaklaşmaya çalışmaktır. Tahmin büyük olduğunda bölme sonucu küçük çıkar, tahmin küçük olduğunda ise bölme sonucu büyük çıkar. Ortalama almak bu farkı azaltır ve daha doğru bir sonuç verir.

Başka bir örnek verelim: