Regresyon Nasıl Hesaplanır?

Bir değişkenin değerini, açıklayıcı değişkenlerle olan ilişkisine dayanarak tahmin etmeye yönelik oluşturulan model istatistiksel bir teknik olarak "Regresyon" diye tanımlanır.  Regresyon kısaca şöyle hesaplanır: Verilerdeki x ve y ortalamaları bulunur → Tüm girdilerin x ve y'nin ortalamalarından sapma miktarları hesaplanır → eğim katsayısı b₁ bulunur → Denklemdeki b₀ katsayısı hesaplanır → y' = b₀ + b₁x regresyon denklemi oluşturulur → her gözlem için artıklar hesaplanır → modelin uygunluğu ve varsayımları değerlendirilir.

ÖRNEK: Bir öğretmenin, öğrencilerin günlük ders çalışma süresi ile sınavdan aldıkları puan arasında bir ilişki olup olmadığını incelemek istediğini düşünelim. Bunun için beş öğrencinin çalışma süresi ve sınav puanı aşağıdaki gibi olsun:

Bu verilere göre amaç, çalışma süresi bilindiğinde sınav puanını tahmin edebilecek bir doğrusal regresyon denklemi elde etmektir. Öncelikle çalışma süresinin ortalaması ve sınav puanının ortalaması hesaplanır. Çalışma süresinin ortalaması 3 saat, sınav puanının ortalaması ise 64'tür. Daha sonra her bir X değerinin kendi ortalamasından, her bir Y değerinin de kendi ortalamasından farkı bulunur. Bu farklar birbirleriyle çarpılır ve elde edilen değerler toplanır. Bizim örneğimizde bu toplam 75'tir. Ardından X değerlerinin ortalamadan farklarının kareleri alınarak toplanır ve sonuç 10 bulunur. Eğim katsayısını elde etmek için 75, 10'a bölünür ve b₁ = 7,5 bulunur.

Daha sonra doğru denklemini tam olarak bulmak için sabit terim hesaplanır. Bunun için Y ortalamasından, eğim katsayısının X ortalamasıyla çarpımı çıkarılır. Böylece b₀ = 64 − (7,5 × 3) = 41,5 elde edilir. Sonuç olarak regresyon denklemi y' = 41,5 + 7,5X şeklinde elde edilir. Bu denklem, çalışma süresine göre tahmini sınav puanını verir. Örneğin bir öğrencinin 6 saat çalıştığı varsayılırsa, x yerine denklemde 6 yazılarak modelin tahmin ettiği sınav puanı 41,5 + (7,5 × 6) = 86,5 olur. Buradaki 7,5 katsayısı, modelde çalışma süresindeki her bir saatlik artışın tahmin edilen sınav puanında 7,5 puanlık artışla ilişkili olduğunu gösterir. y'=41,5+7,5x denklemi, çalışma süresi ile sınav puanı arasındaki ilişkiyi örneklemimiz için yaklaşık olarak ifade eder. 

Örneğin bir öğrencinin 4 saat çalışması durumunda modelin tahmin ettiği puan 41,5 + (7,5 × 4) = 71,5 olurken öğrencinin 2 saat çalışması durumunda modelin tahmin ettiği puan 41,5 + (7,5 × 2) = 56,5 olur. Öğrenci 8 saat çalışmış olursa 41,5 + (7,5 × 8) = 101,5 çıkar ki bu doğal sınav şartlarına aykırı olabilir. Burada 101,5 puan 100 puanlık bir gerçek sınav sonucu olarak yorumlanmaz. Regresyon modelinde sonsuza kadar değer verilebileceği gibi doğal ortamda imkansız olabilecek değerler de bulunabilir. Örneğin öğrenci 100 saat çalışırsa 41,5 + (7,5 × 100) = 791,5 puan elde eder. Bu hesaplamanın bir sınırı yoktur. Bunun nedeni, doğrusal regresyonun verilen verilerdeki ilişkiyi matematiksel olarak bir doğruyla ifade etmesi ve bu doğrunun doğal olarak 100 puanlık sınırı dikkate almamasıdır. Regresyonda özellikle dikkat edilmesi gereken nokta, regresyonun bu ilişkinin nedensel olduğunu kanıtlamadığıdır; yalnızca verilen verilerdeki ilişkiyi matematiksel olarak modeller. Regresyonun asıl amacı, geçmiş verilerdeki ilişkiyi matematiksel olarak ortaya koymak ve yeni gözlemler için makul tahminler yapabilmektir. Bir modelin tahmin yapabilmesi, her koşulda doğru tahmin yapacağı anlamına gelmez. Bu nedenle regresyon uygulamasında modelin hangi aralıkta ve hangi koşullarda kullanılabileceği de değerlendirilir. Regresyon hesaplamada amaç; kesin sonucu bilmek değil, mevcut verilerden yararlanarak modelin uygunluğu, hata düzeyi, varsayımları dikkate alınarak belirsizlik altında daha iyi tahmin yapmaktır.

Kaynakça: 
https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson01
https://www.scribbr.com/frequently-asked-questions/what-a-regression-model/

Regresyon nedir?

Regresyon, bir bağımlı değişken ile bir veya daha fazla bağımsız/açıklayıcı değişken arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak modellemek, bu ilişkinin yönünü ve büyüklüğünü incelemek ve uygun koşullarda bağımlı değişken için tahmin yapmak amacıyla kullanılan istatistiksel yöntemler grubudur. Bir değişkenin değerini, açıklayıcı değişkenlerle olan ilişkisine dayanarak tahmin etmeye yönelik oluşturulan model, istatistiksel bir teknik olarak Regresyon diye tanımlanır. Regresyonun birçok türü vardır; en temel türlerden biri, tek bir açıklayıcı değişken ile bir sonuç değişkeni arasındaki ilişkiyi inceleyen basit doğrusal regresyondur. İki veya daha fazla açıklayıcı değişken kullanıldığında ise çoklu doğrusal regresyondan söz edilir. 

Basit doğrusal regresyonda amaç, gözlemlerin oluşturduğu dağılımı en uygun şekilde temsil eden bir doğru denklemi bulmaktır. Bu doğru genellikle y' = b₀ + b₁x biçiminde yazılır. Burada y', x'in belirli bir değeri için tahmin edilen y değeridir; b₀ sabit terimdir ve x sıfırken modelin tahmin ettiği y değerini gösterir; b₁ ise eğim katsayısıdır ve x bir birim arttığında, modelin tahmin ettiği y değerinin ortalama olarak ne kadar değiştiğini ifade eder. Dolayısıyla b₁ (yani doğrunun eğimi) pozitifse doğrusal ilişkinin yönü pozitiftir, negatifse negatiftir. Ancak regresyonda bulunan bir ilişkinin tek başına nedensellik kanıtı olmadığını özellikle belirtmek gerekir. Ayrıca regresyon doğrusu, verilerdeki bütün noktaların üzerinden geçmek zorunda değildir. Yani burada analitik geometrideki klasik doğru denklemi gibi düşünülemez. Her gözlem için gerçek y değeri ile modelin tahmin ettiği y' arasındaki fark artık (residual) olarak adlandırılır ve e = y − y' şeklinde hesaplanır.

Doğrusal regresyonda en yaygın hesaplama yöntemi en küçük kareler yöntemidir. Bu yöntemde amaç, bütün gözlemler için hesaplanan artıkların kareleri toplamını mümkün olduğunca küçük yapan doğruyu bulmaktır. Yani minimize edilen ifade Σ(yᵢ − (b₀ + b₁xᵢ))² biçimindedir. Basit doğrusal regresyonda eğim katsayısı b₁ = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / Σ[(xᵢ − x̄)²] formülüyle, sabit terim ise b₀ = ȳ − b₁x̄ formülüyle hesaplanır. Burada x̄, x değerlerinin; ȳ ise y değerlerinin aritmetik ortalamasıdır. Böylece önce x ve y ortalamaları bulunur, ardından her gözlemin kendi ortalamasından farkları hesaplanır, gerekli çarpımlar ve kareler hesaplanarak toplanır ve eğim elde edilir. Son olarak sabit terim hesaplanır. Elde edilen b₀ ve b₁ değerleri regresyon denklemine yerleştirilerek tahminler yapılır. En küçük kareler doğrusu, (x̄, ȳ) noktasından geçer.

Regresyon analizinin önemli özelliklerinden biri, yalnızca bir denklem üretmekle sınırlı olmamasıdır. Modelin verilere ne ölçüde uygun olduğu, artıkların davranışı ve çeşitli istatistiksel ölçütler de incelenir. Örneğin R², bağımlı değişkendeki örneklem varyasyonunun model tarafından açıklanan kısmını değerlendirmede kullanılan önemli bir ölçüdür; ancak yüksek bir R² tek başına modelin doğru olduğu veya nedensel bir ilişkinin bulunduğu anlamına gelmez. Doğrusal regresyonun istatistiksel çıkarım amacıyla kullanılmasında özellikle doğrusallık, hataların bağımsızlığı, hataların yaklaşık normal dağılım göstermesi ve hata varyanslarının sabit olması gibi varsayımlar değerlendirilir. Bu varsayımların ne ölçüde sağlandığını incelemek için saçılım grafikleri, artık-gözlenen/tahmin edilen değer grafikleri ve normal olasılık grafikleri gibi araçlardan yararlanılır. Dolayısıyla regresyon sonucundaki katsayıları hesaplamak kadar, modelin varsayımlarını ve artıklarını kontrol etmek de doğru bir regresyon analizi için önemlidir.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO)

Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO), iki nicel değişken arasındaki korelasyonun (ilişkinin) yönünü ve gücünü pratik bir şekilde hesaplamaya yarayan yöntemdir. Bu yöntemi uygulamak için öncelikle X ve Y değişkenlerine ait verilerin ortalamaları hesaplanır ve grafikte bu ortalamalardan geçen iki eksen çizilerek grafik dört bölgeye ayrılır. Elde edilen düzlemde 1. ve 3. bölgelerde kalan noktalar pozitif (doğru) ilişkiyi, 2. ve 4. bölgelerde kalan noktalar  ise negatif (ters) ilişkiyi temsil eder. BSO Hesabının formülü ise 1. ve 3. bölgedeki toplam nokta (n₁ + n₃) sayısından, 2. ve 4. bölgedeki toplam nokta (n₂ + n₄) sayısının çıkarılması ve çıkan sonucun toplam nokta sayısına (n₁ + n₂ + n₃ + n₄) bölünmesiyle bulunur.

Noktalar, aritmetik ortalama ekseninin tam üzerinde ise BSO hesaplarına dahil edilmez. Aykırı değerler, korelasyon katsayısını (r) mutlak değerce düşürerek sıfıra yaklaştırır.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO) işlemini detaylıca şöyle anlatalım: Buradaki Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO), iki nicel değişken arasındaki ilişkinin pozitif mi negatif mi olduğunu ve ne kadar güçlü olduğunu yaklaşık olarak anlamamızı sağlayan pratik bir yöntemdir. Önce Serpilme Grafiğinde X ve Y değişkenlerinin ortalamalarını buluruz. Daha sonra serpilme grafiğinde X ortalamasından dikey, Y ortalamasından yatay bir çizgi çizeriz. Böylece grafik 4 bölgeye ayrılmış olur. Bir nokta hem X hem de Y ortalamasının üstündeyse 1. bölgede, ikisinin de altındaysa 3. bölgede yer alır. 1 ve 3. bölgeler pozitif ilişkiyi gösterir. X ortalamasının altında, Y ortalamasının üstünde olan noktalar 2. bölgede; X'in üstünde, Y'nin altında olan noktalar ise 4. bölgede bulunur ve 2. ve 4. bölgedeki noktalar da negatif ilişkiyi gösterir. 

BSO'yu bulmak için 1. ve 3. bölgelerdeki nokta sayısını toplarız, ardından 2. ve 4. bölgelerdeki nokta sayısını çıkarırız ve sonucu toplam nokta sayısına böleriz. BSO sonucu pozitifse pozitif ilişki, negatifse negatif ilişki, 0'a yakınsa ilişkinin zayıf olduğunu gösterir.

Örnek tabloda verilen on adet veri ikilisi için Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO) hesabı şu şekildedir: Öncelikle değişkenlerin aritmetik ortalamaları hesaplanır. X değerlerinin ortalaması (1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 8 + 8 + 10 + 0) / 10 = 5,4 olarak, Y değerlerinin ortalaması ise (2 + 5 + 4 + 7 + 2 + 8 + 3 + 9 + 5 + 0) / 10 = 4,5 olarak bulunur. Elde edilen X = 5,4 ve Y = 4,5 kesişim doğrularına göre veri noktaları 4 bölgeye ayrılır. 

1. bölgede (X > 5,4 ve Y > 4,5) olan (7, 8), (8, 9) ve (10, 5) olmak üzere 3 nokta bulunur (n₁ = 3). 2. bölgede (X < 5,4 ve Y > 4,5) olan (3, 5) ve (5, 7) olmak üzere 2 nokta bulunur (n₂ = 2). 3. bölgede (X < 5,4 ve Y < 4,5) olan (1, 2), (4, 4) ve (0, 0) olmak üzere 3 nokta bulunur (n₃ = 3). 4. bölgede (X > 5,4 ve Y < 4,5) olan (8, 2) ve (8, 3) olmak üzere 2 nokta bulunur (n₄= 2). Toplam nokta sayısı N = 10'dur. Bölgelere Göre Sayım Oranı hesabı, BSO = [(n₁ + n₃) - (n₂ + n₄)] / N formülü ile yapılır. Veriler yerine konulduğunda BSO = [(3 + 3) - (2 + 2)] / 10 = (6 - 4) / 10 = 2 / 10 = 0,20 sonucu elde edilir. Bu durum, iki değişken arasında pozitif yönlü ancak zayıf bir ilişki olduğunu gösterir.

ÖRNEK (Kitap Okuma Süresi-Türkçe Puanı) BSO hesabı için farklı bir grafik verelim ve burada grafikte sunulan veri seti üzerinden öğrencilerin haftalık kitap okuma süreleri (X) ile Türkçe dersi sınavından aldıkları puanlar (Y) arasındaki ilişkiyi görelim: Yatay eksen haftalık kitap okuma süresini saat cinsinden, dikey eksen ise öğrencilerin Türkçe sınav puanını göstermektedir. 

Veri setindeki noktalar yardımıyla verilerin ortalamaları belirlenerek çizgiler ile grafik dört ana bölgeye ayrılmıştır. Grafikteki pembe çizgiler, X ve Y değişkenlerine ait verilerin aritmetik ortalamaları hesaplanarak çizilmiştir. 

Dikey Pembe Çizgi (X Ortalaması): Grafikteki 30 noktanın X değerleri tek tek okunur: 4, 5, 4, 5, 4, 5, 5, 4, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 8, 5, 7, 5, 5, 4. Bu 30 X değerinin toplamı 105'tir. Toplam veri sayısı 30 olduğuna göre X ortalaması 105 / 30 = 3,50 bulunur. Bu nedenle grafikte X ekseninde 3,50 değerinden geçen dikey çizgi çizilir.

Yatay Pembe Çizgi (Y Ortalaması): 30 noktanın Y değerleri tek tek okunur: 68, 74, 76, 68, 70, 66, 61, 63, 61, 73, 61, 69, 67, 70, 63, 57, 54, 56, 59, 50, 52, 56, 48, 42, 45, 50, 58, 59, 49, 55. Bu değerlerin toplamı 1800'dür. Toplam veri sayısı 30 olduğundan Y ortalaması 1800 / 30 = 60 bulunur. Bu nedenle Y ekseninde 60 değerinden geçen yatay çizgi çizilir.

Bölgelerdeki Noktaların Sayılması: X ortalaması 3,50, Y ortalaması 60 olduğuna göre noktalar bu iki çizgiye göre dört bölgeye ayrılır. I. bölgede (n₁) 6 nokta (1, 2, 3, 4, 5, 6), II. bölgede (n₂) 7 nokta (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15), III. bölgede (n₃) 8 nokta (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23), IV. bölgede (n₄) 7 nokta (24, 25, 26, 27, 28, 29, 30) bulunmaktadır. Sonuç olarak nokta sayımı: I = 8, II = 7, III = 8, IV = 7 şeklindedir.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO) Hesabı: Toplam nokta sayısı N = 8 + 7 + 8 + 7 = 30'dur. Pozitif ilişkiyi gösteren I. ve III. bölgelerdeki noktalar 8 + 8 = 16, negatif ilişkiyi gösteren II. ve IV. bölgelerdeki noktalar ise 7 + 7 = 14 tanedir. Buna göre:

BSO = [(n₁ + n₃) − (n₂ + n₄)] / N

BSO = [(8 + 8) − (7 + 7)] / 30

BSO = (16 − 14) / 30 = 2 / 30 ≈ +0,067 bulunur. 

BSO değeri (+0,067) pozitif yönlüdür ancak bu değer örneğe göre çok zayıf bir ilişkiye işaret eder. Yani bu veri setinde kitap okuma süresi arttıkça Türkçe sınav puanının artma eğilimi olmasına rağmen BSO'ya göre bu ilişki oldukça zayıftır. Yani verilen örneğe göre kitap okuma süresi arttıkça Türkçe dersi başarı puanlarının arttığı tam olarak söylenemez.

Korelasyon Nasıl Hesaplanır?

Korelasyon, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü gösteren istatistiksel bir ölçüdür. Korelasyonu hesaplamak için önce iki değişkenin herbirinin ayrı ayrı ortalamasını buluruz. X’in ortalamasını X̄, Y’nin ortalamasını Ȳ şeklinde gösteririz. Daha sonra her bir veri değerinin kendi ortalamasından ne kadar uzak olduğunu yani ortalamadan sapma miktarlarını buluruz. Yani X değerlerinden X̄ çıkarılır (Xᵢ − X̄), Y değerlerinden de Y değişkenleri ortalaması Ȳ çıkarılır ((Yᵢ − Ȳ). Bulduğumuz bu sapmaların herbirini birbiriyle çarparız ve tüm çıkan sonuçları toplarız. Sonrasında elde ettiğimiz sonucu, X ve Y’nin sapmalarının kareleri toplamlarının çarpımının kareköküne böleriz. Böylece korelasyon katsayısı olan r değerini buluruz. Korelasyon katsayısı +1 veya -1’e yaklaştıkça ilişki pozitif veya negatif yönde güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Korelasyon neden-sonuç ilişkisini kanıtlamaz. Yani iki değişken ilişkili olsa bile biri diğerine kesin olarak sebep oluyor demek değildir.

Karl Pearson, 27 Mart 1857 yılında İngiltere’de doğmuş İngiliz matematikçi ve istatistikçidir. Cambridge Üniversitesi’nde eğitim almış ve daha sonra istatistik alanında önemli çalışmalar yapmıştır. İstatistiğin bilimsel bir alan olarak gelişmesine büyük katkı sağlamıştır. Özellikle korelasyon, regresyon ve standart sapma konularındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 1891 yılında University College London’da öğretim üyesi olmuş ve burada çalışmalarını sürdürmüştür. 27 Nisan 1936 yılında hayatını kaybetmiştir. Karl Pearson, modern istatistiğin gelişmesinde önemli bir rol oynamış ve özellikle Pearson korelasyon katsayısı ile istatistik alanında tanınmıştır.

Karl Pearson ve Margaret Moul tarafından 1925 yılında yayımlanan “The Problem of Alien Immigration into Great Britain, Illustrated by an Examination of Russian and Polish Jewish Children” (Annals of Eugenics, 1925, 1/1, 5–54) adlı çalışmada, Rusya ve Polonya kökenli Yahudi çocukları, çeşitli fiziksel ve zihinsel özellikleri açısından incelenmiş ve elde edilen bulgular, Britanya’nın göç politikası açısından değerlendirilmiştir. Pearson’ın bu çalışması ve benzer görüşleri nedeniyle, döneminde öjenik ve sosyal Darwinist olarak nitelendirilmiştir. (https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1111/j.1469-1809.1925.tb02037.x )

ÖRNEK: Bir öğretmen, öğrencilerin ders çalışma süreleri ile sınav notları arasındaki ilişkiyi incelemek istemektedir. 5 öğrencinin günlük çalışma süreleri ve sınav notları sırasıyla X = 1, 2, 3, 4, 5 saat ve Y = 50, 55, 65, 70, 80 puandır. Buna göre çalışma süresi ile sınav notu arasındaki Pearson korelasyon katsayısını hesaplayınız ve sonucu yorumlayınız.

Öncelikle X değerlerinin ortalaması olan X̄ = 3, Y değerlerinin ortalaması olan Ȳ = 64 bulunur. Daha sonra her X değerinden X̄, her Y değerinden Ȳ çıkarılarak ortalamadan sapmalar hesaplanır. X için sapmalar -2, -1, 0, 1, 2, Y için sapmalar ise -14, -9, 1, 6, 16 olur. Daha sonra her bir veri için (Xᵢ − X̄)*(Yᵢ − Ȳ) değerleri hesaplanır ve bunların toplamları 75 bulunur. Aynı şekilde x ortalamadan sapma değerlerinin kareleri toplamı (Xᵢ − X̄)²  bulunur. Örnekte bu değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır., (Yᵢ − Ȳ)² değerlerinin toplamı ise 570 bulunur. Bu değerler Pearson korelasyon formülünde yerine yazılarak korelasyon katsayısı hesaplanır: r = 75 / √(10 × 570) = r = 75 / √(5700)= r =75/75,498 ≈ 0,9934 elde edilir. Bu değer +1’e çok yakın olduğu için çalışma süresi ile sınav notu arasında çok güçlü ve pozitif yönlü bir korelasyon vardır. Yani çalışma süresi arttıkça sınav notunun da artma eğiliminde olduğu söylenebilir.

Korelasyon Nedir?

Korelasyon, iki nicel değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve ne kadar birlikte değiştiklerini gösteren istatistiksel bir kavramdır. Örneğin ders çalışma süresi ile sınav notu arasında ilişki varsa, çalışma süresi arttıkça sınav notlarının da artması pozitif bir korelasyonu gösterir. Ancak korelasyon, iki değişken arasında kesin olarak neden-sonuç ilişkisi olduğunu göstermez.

Korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü sayı olarak ifade eder. Güçlülük derecesine göre -1 ile +1 arasında değer alır. +1 tam pozitif ilişkiyi, -1 tam negatif ilişkiyi, 0 ise doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir. Örneğin korelasyon katsayısı +0,80 ise güçlü pozitif, -0,70 ise güçlü negatif bir ilişki vardır. +0,10 gibi bir değer ise çok zayıf pozitif ilişkiye örnektir.

Korelasyonun temel çeşitleri pozitif, negatif ve ilişki olmaması şeklinde düşünülebilir. Pozitif korelasyonda bir değişken artarken diğeri de artar; örneğin ders çalışma süresi arttıkça sınav notunun artması pozitif korelasyondur. Negatif korelasyonda bir değişken artarken diğeri azalır; örneğin aracın hızı arttıkça belirli bir mesafeyi tamamlama süresinin azalması negatif korelasyondur.

Korelasyon yoksa değişkenler arasında belirgin bir doğrusal ilişki bulunmaz; örneğin ayakkabı numarası ile sınav notu arasında belirgin bir ilişki beklenmez. Sıfır korelasyonda, noktalar birbirinden ayrı olarak dağınık şekilde veya sabit doğru şeklinde görülebilir.

Korelasyon katsayısı +1 veya -1’e yaklaştıkça ilişki pozitif veya negatif yönde güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Korelasyon neden-sonuç ilişkisini kanıtlamaz. Yani iki değişken ilişkili olsa bile biri diğerine kesin olarak sebep oluyor demek değildir. Korelasyon birimsizdir; değişkenlerin ölçü birimlerinden etkilenmez. Korelasyon katsayısı SPSS, R, SAS, STATA, AMOS, MINITAB gibi çeşitli istatistik yazılımları ile hesaplanabilir.

Serpilme (Saçılım) Grafiği

Serpilme grafiği (saçılım grafiği), iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için kullanılan bir grafiktir. Her bir kişi veya gözlem için iki değişkenin değerleri belirlenir ve grafikte bir nokta olarak gösterilir. Örneğin öğrencilerin ders çalışma süresi ile sınav notları arasındaki ilişkiyi inceleyebiliriz.

Oluştururken bir değişkeni yatay eksene (X), diğerini dikey eksene (Y) yerleştiririz. Daha sonra her gözlemin iki değerini eşleştirerek grafiğe nokta koyarız. Örneğin bir öğrenci 3 saat çalışıp 70 aldıysa grafiğe (3, 70) noktası konur. Tüm öğrencilerin verileri bu şekilde işaretlenir. Noktaların genel olarak yukarı doğru gitmesi pozitif ilişkiyi, aşağı doğru gitmesi negatif ilişkiyi, dağınık olması ise belirgin bir ilişki olmadığını gösterebilir.

Serpilme (saçılım) grafiğinin temel özellikleri şunlardır: İki nicel değişken arasındaki ilişkiyi gösterir. Her bir nokta bir gözlemi temsil eder. Yatay eksende (X) bir değişken, dikey eksende (Y) diğer değişken bulunur. Noktaların yönü ve dağılımı, değişkenler arasındaki ilişkinin türü hakkında bilgi verir. Noktalar genel olarak yukarı doğru gidiyorsa pozitif ilişki vardır. Noktalar genel olarak aşağı doğru gidiyorsa negatif ilişki vardır. Noktalar düzensiz ve dağınık durumdaysa belirgin bir ilişki olmayabilir. Noktalar birbirine ne kadar yakın ve belirgin bir çizgi oluşturuyorsa ilişki o kadar güçlü, ne kadar dağınıksa ilişki o kadar zayıftır. Grafikte diğer noktalardan çok uzak duran bir nokta varsa buna aykırı değer denebilir.