Geometrik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir. Genellikle "r" harfi ile gösterilir. Geometrik diziler, matematikte temel ve yaygın olarak kullanılan dizilerden biridir. Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisinden önceki terim ile ortak çarpanın çarpımı olarak elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, bir önceki terimin (r) ortak çarpan ile çarpılmasıyla bulunur. Geometrik dizilerde ortak çarpan pozitifse tüm terimler aynı işaretle devam eder; ortak çarpan negatifse terimler işaret değiştirecek şekilde ilerler. Ortak çarpanın mutlak değeri 1’den büyükse dizinin terimleri giderek büyür, 1’den küçükse terimler giderek küçülür. Ortak çarpanın 1 veya −1 olması durumunda ise dizi sabit veya işaret değiştiren sabit değerler serisi oluşturur. Geometrik diziler, finansal hesaplamalar, faiz ve yatırım analizleri, fizik ve mühendislikte üstel büyüme ve azalma problemleri gibi birçok uygulamada sıkça kullanılır.

Aritmetik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki artış veya azalış miktarına ortak fark denir ve genellikle "d" harfi ile gösterilir. Aritmetik dizilerde, herhangi bir terim kendisinden önceki terim ile ortak farkın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, ilk terim ile (d) ortak farkın (n−1) kez eklenmesiyle bulunur. Ortak fark pozitif ise dizi monoton artan bir dizi olur; ortak fark negatif ise dizi monoton azalan bir dizidir. (Bkz. Monoton Diziler) Ortak fark sıfır olduğunda ise tüm terimler birbirine eşit olur ve dizi sabit bir dizi halini alır. Aritmetik diziler, matematiksel analiz, finansal hesaplamalar, istatistik ve mühendislik gibi birçok alanda kullanılır.

Aralarındaki artış miktarı 3 ve ilk terimi 7 olan bir aritmetik dizinin elemanları şu şekilde olur. {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......,3n+4} Dizilerde genel teriminin kuralı bilinmediği zaman, bu dizi olarak kabul edilmez. Burada örnekte verilen aritmetik dizinin kuralı (genel terimi); 3n+4'tür. Aynı aritmetik dizi şu şekilde yazılırsa {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......} bu bir dizi olarak kabul edilmez. Çünkü buradaki terimlerden "37" teriminden sonra aynı şekilde dizinin devam edeceğine dair bir kanıt yoktur.

Dizilerde indirgeme bağıntısı

Bir dizinin herhangi bir terimi, kendinden önceki bir veya birkaç terimin cinsinden tanımlayabilmek için yazılan bağıntıya "indirgeme bağıntısı" denir. İndirgeme bağıntısı ile yazılan diziye de "indirgemeli dizi" denir. İndirgeme bağıntısı bulunurken, dizinin belli bir teriminden başlanarak sırayla dizinin terimleri hesaplanır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafına göre taraf tarafa toplama veya bazen de çarpma yapılarak, dizinin genel terimine ulaşılır.

İndirgeme bağıntılarında indis yerine genellikle 1.terimden itibaren değerler verilirken, bazen farklı değerlerden başlanarak da değerler verilebilir. Sorudaki istenen duruma göre indise sırayla değer verilip taraf tarafa toplama ya da çarpma işlemi yapılır. İndirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında toplam biçiminde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa toplama işlemi yapılır. Eğer indirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında çarpım şeklinde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa çarpma işlemi yapılır.

Alt dizi kavramı

Alt dizi, bir dizinin terimlerinden seçilmiş ve orijinal dizideki sıralama korunarak oluşturulmuş yeni bir dizidir. Başka bir deyişle, bir dizinin bazı terimleri atlanarak kalan terimler aynı sıra ile bir araya getirildiğinde elde edilen diziye alt dizi denir. Alt dizinin terimlerinin indisi, orijinal dizideki terimlerin indislerine karşılık gelen doğal sayıların artan bir alt kümesidir. Alt diziler, özellikle dizilerin limit davranışlarını incelemede önemli bir kavramdır.

Monoton Diziler

Matematikte monoton, bir dizinin terimlerinin sürekli olarak artma veya sürekli olarak azalma eğiliminde olması anlamına gelir. Yani dizi boyunca yön değişmez; ya hep yukarı doğru gider ya da hep aşağı doğru gider. Bir dizi monoton artan ya da monoton azalan ise, genel olarak monoton dizi olarak adlandırılır.  

Bir a_n dizisinin her terimi bir sonrakinden daha küçük kalıyorsa, bu diziye monoton artan dizi denir. Bu durumda dizinin terimleri a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ <.....biçiminde sıralanır. Benzer şekilde, bir dizinin her terimi bir sonrakinden daha büyükse, bu diziye monoton azalan dizi adı verilir. Böyle bir dizide a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅ >....eşitsizliği sağlanır. Böylece dizideki her eleman bir öncekinden daha küçük olacak şekilde devam eder. 

Örnek olarak; a_n=1/n dizisinin monotonluğu var mı yok mu inceleyelim.  Dizinin genel terimi a_n=1/n biçimindedir.  İlk terimler sırasıyla a₁=1, a₂ =1/2, a₃=1/3, a₄=1/4, a₅=1/5  dur. n artan sayma sayıları için daima a_n+1<a_n eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla dizinin her terimi bir önceki teriminden daha küçük olarak gelir ve böylece bu dizi monoton azalan olur. Aşağıda grafiği de çizilmiştir. Terimleri sıralı ikili biçimde yazılıp koordinat düzleminde yerleştirildiğinde dizinin moton azalan olduğu görülür: