Seri toplamı

Etiketler : diziler ispat matematik seri toplamı seriler

Matematikte seri, bir dizinin terimlerinin ardışık olarak toplanmasıyla elde edilen ifade anlamına gelir. Yani, serilerde verilen bir dizideki terimler, tek tek değil tamamının veya belli bir sayıdaki teriminin toplamlarıyla ele alınır. Eğer a_n =(a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ ,..... a_n...) bir dizi ise bu dizinin serisi:  S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +..... + a_n+....şeklinde yazılabilir. Seriler, sonlu veya sonsuz olabilir. Sonlu seri, belirli sayıda terimin toplamıdır.  Sonsuz seri, dizinin tüm terimlerinin toplamını ifade eder ve özellikle analizde dizilerin yakınsama özelliklerini incelemek için kullanılır. 

Bir dizinin terimlerinin ardışık toplamları, yani S₁=a₁  , ​S₂=a₁ + a₂  ve ​S₃=a₁ + a₂ + a₃ şeklinde ilerleyen bir seri için genel olarak  S_n=a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +..... + a_n+....şeklinde ifade edilen toplamlar dizisine, dizinin kısmi toplamları dizisi denir. Eğer S_n bu kısmi toplamlar dizisinde n sonsuza yaklaşırsa, S_n kısmi toplamı sonlu ve belirli bir reel sayıya yaklaşırsa, bu durumda orijinal dizinin terimlerinden oluşan seri "yakınsak" olarak adlandırılır. Yaklaşılan reel sayı ise "L" (limit değeri) S_n serisinin toplamı olarak kabul edilir. Öte yandan, eğer n sonsuza giderken S_n kısmi toplamı herhangi bir reel sayıya yaklaşmıyor ya da sonsuza gidiyorsa, bu tür seriye de "ıraksak seri" denir. Ayrıca, S_n kısmi toplamı pozitif veya negatif sonsuza yaklaşıyorsa, seri "sonsuz" olarak adlandırılır ve toplamı da pozitif veya negatif sonsuz olarak ifade edilir. Bu şekilde, bir dizinin terimlerinin toplamı üzerinde yapılan analizler, serilerin yakınsaklık veya ıraksaklık durumlarını belirlemek için temel teşkil eder. 

Seri toplamının sonsuza yaklaştığına dair bir örnek verelim. Harmonik dizi şeklinde isimlendirilen a_n =1/n şeklinde tanımlanmış kısmi toplamlar dizisi için S_n toplamını inceleyelim.  Bu dizinin terimlerine göre seri toplamı: S_n = 1+1/2+1/3+⋯+1/n şeklinde yazılır.  Bu dizideki her terim, ardışık bir şekilde sayıları bölen paydalara sahip kesirlerdir. İlk terim 1, ikinci terim 1/2, üçüncü terim 1/3, .....şeklinde devam ediyor. Bu tür dizilerde her yeni terim, öncekinden daha küçük bir değere sahip olur, çünkü paydalara bölünen sayılar giderek büyümüş olur. Serinin terimlerinin paydalarındaki büyüme şekli incelendiğinde paydalardaki artışın her yeni terimde küçük bir farkla azaldığı ancak toplamın yine de yavaşça arttığı görülür. Bunu terimleri ikili gruplar halinde ayarladığımızda rahatça görebiliriz. Bu durumda, toplam herhangi bir sabit sayı değerine ulaşmaz. Yani, dizinin toplamı, sürekli olarak büyüyen bir şekilde devam eder ve bir sonsuza ulaşır. Kısmi toplamlar dediğimiz, dizinin belli bir sayıya kadar olan toplamı her terimle daha da büyümüş olacağından seri ıraksak olur. Iraksak dizide, toplam bir Reel sayı ile ifade edilemez. "Diverjan" (yani toplamı belirli bir sayıya ulaşmayan) bu dizi toplamı, sonsuz olur. 

Genel terimi aritmetik dizi olan seriye aritmetik seri denir. sıfırdan farklı olan hiçbir aritmetik seri  bir reel sayıya yaklaşmaz. Aritmetik serinin toplamını bulmak için, genellikle ilk ve son terimi bilmemiz yeterli olur. Aritmetik Serinin Toplamı, terim sayısına ve ortak farka bağlı olarak ilk terimle son terimin toplamı alındıktan sonra, bu toplam terim sayısının yarısı ile çarpılır. Bu formül, sonlu terimli aritmetik seriler için geçerlidir. Sonsuz aritmetik serilerde toplam asla bir reel sayıya yaklaşmaz. Aritmetik serilerde her terim birbirinden sabit bir farkla arttığı veya azaldığı için, sonlu bir değere ulaşmazlar. Eğer aritmetik dizinin terimleri giderek büyüyorsa (ortak fark pozitifse), seri toplamı sonsuza gider. Eğer aritmetik dizinin terimleri giderek küçülüyorsa (ortak fark negatifse), seri toplamı yine sonsuza gider. Ancak, ortak fark sıfır olduğunda, yani dizideki her terim aynıysa, o zaman bu terimler birbirinin aynısı olduğu için toplam belirli bir değere ulaşabilir, ama yine de bu toplam sonsuz sayıda terim eklediğimiz için yine bir reel sayıya yaklaşmaz. Sonuç olarak sıfırdan farklı olan hiçbir aritmetik seri bir reel sayıya yaklaşmaz.

(Bkz. Aritmetik Diziler)

Bir geometrik seri, bir geometrik dizinin terimlerinin toplamıdır. Bir sonsuz geometrik seri, geometrik dizinin sonsuz teriminin toplamıdır. Sonsuz terimlerin toplamı yalnızca ortak çarpan (r) değeri mutlak değeri 1'den küçük olduğu durumda sonlu bir sayıya yaklaşır. Yani: Eğer |r|<1 ise sonsuz terimli geometrik serinin toplamı geometrik dizi toplamı gibi hesaplanabilir. $r$ değerinin mutlak değeri 1 veya daha büyükse, terimler birbirini takip ettikçe büyür ya da küçülür, ve bu durumda toplam bir sonuca ulaşmaz. Yani, seri diverjan olur ve sonsuza doğru gider.  

Örneğin bir geometrik serinin ilk terimi 5 ve ortak çarpanı 1/2​ ise, bu serinin toplamı: 5.(1/(1-1/2)=10 olur. Çünkü r=1/2​'nin mutlak değeri 1'den küçük olduğundan toplam belirli bir sayı değerine yaklaşır. Örneğin bir geometrik serinin ilk terimi 5 ve ortak çarpanı 2​ ise, bu serinin toplamı bir reel sayı değerine yaklaşmaz gittikçe büyüdüğü için toplam sonucu sonsuz olur.

(Bkz. Geometrik Diziler) 

Seri toplamları problem şeklindeki uygulamalarda da karşımıza çıkabilir. Örneğin klasik topun yükseklikten bırakılması deneyi ile alakalı bir soru yazalım ve sonsuz toplamı bu soru üzerinden hesaplayalım. 

ÖRNEK: 20 metre yükseklikten bırakılan bir top, her seferinde düştüğü yüksekliğin 1/2'si kadar sıçramaktadır. Topun denge durumuna gelinceye kadar aldığı toplam dikey yol kaç metredir? 

ÖRNEK: Bir ABCD paralelkenarın kenar uzunlukları AB=12cm ve AD=8 cm olarak verilmiştir. Bu paralelkenarın DAB açısının ölçüsü 30 derecedir. Bu paralelkenarın her kenarının orta noktalarını birleştirerek bu noktalardan bir dörtgen çizilmektedir. Bu şekilde oluşan dörtgenlerin kenarlarının orta noktalarını birleştirerek, içine sonsuz sayıda dörtgen çizilmeye devam edilmektedir. Sonsuz sayıda çizilen dörtgenin alanlarının toplamı kaç olur?