Seri toplamı

Matematikte seri, bir dizinin terimlerinin ardışık olarak toplanmasıyla elde edilen ifade anlamına gelir. Yani, serilerde verilen bir dizideki terimler, tek tek değil tamamının veya belli bir sayıdaki teriminin toplamlarıyla ele alınır. Eğer a_n =(a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ ,..... a_n...) bir dizi ise bu dizinin serisi:  S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +..... + a_n+....şeklinde yazılabilir. Seriler, sonlu veya sonsuz olabilir. Sonlu seri, belirli sayıda terimin toplamıdır.  Sonsuz seri, dizinin tüm terimlerinin toplamını ifade eder ve özellikle analizde dizilerin yakınsama özelliklerini incelemek için kullanılır. 

Bir dizinin terimlerinin ardışık toplamları, yani S₁=a₁  , ​S₂=a₁ + a₂  ve ​S₃=a₁ + a₂ + a₃ şeklinde ilerleyen bir seri için genel olarak  S_n=a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +..... + a_n+....şeklinde ifade edilen toplamlar dizisine, dizinin kısmi toplamları dizisi denir. Eğer S_n bu kısmi toplamlar dizisinde n sonsuza yaklaşırsa, S_n kısmi toplamı sonlu ve belirli bir reel sayıya yaklaşırsa, bu durumda orijinal dizinin terimlerinden oluşan seri "yakınsak" olarak adlandırılır. Yaklaşılan reel sayı ise "L" (limit değeri) S_n serisinin toplamı olarak kabul edilir. Öte yandan, eğer n sonsuza giderken S_n kısmi toplamı herhangi bir reel sayıya yaklaşmıyor ya da sonsuza gidiyorsa, bu tür seriye de "ıraksak seri" denir. Ayrıca, S_n kısmi toplamı pozitif veya negatif sonsuza yaklaşıyorsa, seri "sonsuz" olarak adlandırılır ve toplamı da pozitif veya negatif sonsuz olarak ifade edilir. Bu şekilde, bir dizinin terimlerinin toplamı üzerinde yapılan analizler, serilerin yakınsaklık veya ıraksaklık durumlarını belirlemek için temel teşkil eder. 

Geometrik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir. Genellikle "r" harfi ile gösterilir. Geometrik diziler, matematikte temel ve yaygın olarak kullanılan dizilerden biridir. Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisinden önceki terim ile ortak çarpanın çarpımı olarak elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, bir önceki terimin (r) ortak çarpan ile çarpılmasıyla bulunur. Geometrik dizilerde ortak çarpan pozitifse tüm terimler aynı işaretle devam eder; ortak çarpan negatifse terimler işaret değiştirecek şekilde ilerler. Ortak çarpanın mutlak değeri 1’den büyükse dizinin terimleri giderek büyür, 1’den küçükse terimler giderek küçülür. Ortak çarpanın 1 veya −1 olması durumunda ise dizi sabit veya işaret değiştiren sabit değerler serisi oluşturur. Geometrik diziler, finansal hesaplamalar, faiz ve yatırım analizleri, fizik ve mühendislikte üstel büyüme ve azalma problemleri gibi birçok uygulamada sıkça kullanılır.

Aritmetik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki artış veya azalış miktarına ortak fark denir ve genellikle "d" harfi ile gösterilir. Aritmetik dizilerde, herhangi bir terim kendisinden önceki terim ile ortak farkın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, ilk terim ile (d) ortak farkın (n−1) kez eklenmesiyle bulunur. Ortak fark pozitif ise dizi monoton artan bir dizi olur; ortak fark negatif ise dizi monoton azalan bir dizidir. (Bkz. Monoton Diziler) Ortak fark sıfır olduğunda ise tüm terimler birbirine eşit olur ve dizi sabit bir dizi halini alır. Aritmetik diziler, matematiksel analiz, finansal hesaplamalar, istatistik ve mühendislik gibi birçok alanda kullanılır.

Aralarındaki artış miktarı 3 ve ilk terimi 7 olan bir aritmetik dizinin elemanları şu şekilde olur. {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......,3n+4} Dizilerde genel teriminin kuralı bilinmediği zaman, bu dizi olarak kabul edilmez. Burada örnekte verilen aritmetik dizinin kuralı (genel terimi); 3n+4'tür. Aynı aritmetik dizi şu şekilde yazılırsa {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......} bu bir dizi olarak kabul edilmez. Çünkü buradaki terimlerden "37" teriminden sonra aynı şekilde dizinin devam edeceğine dair bir kanıt yoktur.

Dizilerde indirgeme bağıntısı

Bir dizinin herhangi bir terimi, kendinden önceki bir veya birkaç terimin cinsinden tanımlayabilmek için yazılan bağıntıya "indirgeme bağıntısı" denir. İndirgeme bağıntısı ile yazılan diziye de "indirgemeli dizi" denir. İndirgeme bağıntısı bulunurken, dizinin belli bir teriminden başlanarak sırayla dizinin terimleri hesaplanır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafına göre taraf tarafa toplama veya bazen de çarpma yapılarak, dizinin genel terimine ulaşılır.

İndirgeme bağıntılarında indis yerine genellikle 1.terimden itibaren değerler verilirken, bazen farklı değerlerden başlanarak da değerler verilebilir. Sorudaki istenen duruma göre indise sırayla değer verilip taraf tarafa toplama ya da çarpma işlemi yapılır. İndirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında toplam biçiminde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa toplama işlemi yapılır. Eğer indirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında çarpım şeklinde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa çarpma işlemi yapılır.

Alt dizi kavramı

Alt dizi, bir dizinin terimlerinden seçilmiş ve orijinal dizideki sıralama korunarak oluşturulmuş yeni bir dizidir. Başka bir deyişle, bir dizinin bazı terimleri atlanarak kalan terimler aynı sıra ile bir araya getirildiğinde elde edilen diziye alt dizi denir. Alt dizinin terimlerinin indisi, orijinal dizideki terimlerin indislerine karşılık gelen doğal sayıların artan bir alt kümesidir. Alt diziler, özellikle dizilerin limit davranışlarını incelemede önemli bir kavramdır.