Aritmetik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki artış veya azalış miktarına ortak fark denir ve genellikle "d" harfi ile gösterilir. Aritmetik dizilerde, herhangi bir terim kendisinden önceki terim ile ortak farkın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, ilk terim ile (d) ortak farkın (n−1) kez eklenmesiyle bulunur. Ortak fark pozitif ise dizi monoton artan bir dizi olur; ortak fark negatif ise dizi monoton azalan bir dizidir. (Bkz. Monoton Diziler) Ortak fark sıfır olduğunda ise tüm terimler birbirine eşit olur ve dizi sabit bir dizi halini alır. Aritmetik diziler, matematiksel analiz, finansal hesaplamalar, istatistik ve mühendislik gibi birçok alanda kullanılır.

Aralarındaki artış miktarı 3 ve ilk terimi 7 olan bir aritmetik dizinin elemanları şu şekilde olur. {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......,3n+4} Dizilerde genel teriminin kuralı bilinmediği zaman, bu dizi olarak kabul edilmez. Burada örnekte verilen aritmetik dizinin kuralı (genel terimi); 3n+4'tür. Aynı aritmetik dizi şu şekilde yazılırsa {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......} bu bir dizi olarak kabul edilmez. Çünkü buradaki terimlerden "37" teriminden sonra aynı şekilde dizinin devam edeceğine dair bir kanıt yoktur.

Dizilerde indirgeme bağıntısı

Bir dizinin herhangi bir terimi, kendinden önceki bir veya birkaç terimin cinsinden tanımlayabilmek için yazılan bağıntıya "indirgeme bağıntısı" denir. İndirgeme bağıntısı ile yazılan diziye de "indirgemeli dizi" denir. İndirgeme bağıntısı bulunurken, dizinin belli bir teriminden başlanarak sırayla dizinin terimleri hesaplanır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafına göre taraf tarafa toplama veya bazen de çarpma yapılarak, dizinin genel terimine ulaşılır.

İndirgeme bağıntılarında indis yerine genellikle 1.terimden itibaren değerler verilirken, bazen farklı değerlerden başlanarak da değerler verilebilir. Sorudaki istenen duruma göre indise sırayla değer verilip taraf tarafa toplama ya da çarpma işlemi yapılır. İndirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında toplam biçiminde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa toplama işlemi yapılır. Eğer indirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında çarpım şeklinde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa çarpma işlemi yapılır.

Alt dizi kavramı

Alt dizi, bir dizinin terimlerinden seçilmiş ve orijinal dizideki sıralama korunarak oluşturulmuş yeni bir dizidir. Başka bir deyişle, bir dizinin bazı terimleri atlanarak kalan terimler aynı sıra ile bir araya getirildiğinde elde edilen diziye alt dizi denir. Alt dizinin terimlerinin indisi, orijinal dizideki terimlerin indislerine karşılık gelen doğal sayıların artan bir alt kümesidir. Alt diziler, özellikle dizilerin limit davranışlarını incelemede önemli bir kavramdır.

Monoton Diziler

Matematikte monoton, bir dizinin terimlerinin sürekli olarak artma veya sürekli olarak azalma eğiliminde olması anlamına gelir. Yani dizi boyunca yön değişmez; ya hep yukarı doğru gider ya da hep aşağı doğru gider. Bir dizi monoton artan ya da monoton azalan ise, genel olarak monoton dizi olarak adlandırılır.  

Bir a_n dizisinin her terimi bir sonrakinden daha küçük kalıyorsa, bu diziye monoton artan dizi denir. Bu durumda dizinin terimleri a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ <.....biçiminde sıralanır. Benzer şekilde, bir dizinin her terimi bir sonrakinden daha büyükse, bu diziye monoton azalan dizi adı verilir. Böyle bir dizide a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅ >....eşitsizliği sağlanır. Böylece dizideki her eleman bir öncekinden daha küçük olacak şekilde devam eder. 

Örnek olarak; a_n=1/n dizisinin monotonluğu var mı yok mu inceleyelim.  Dizinin genel terimi a_n=1/n biçimindedir.  İlk terimler sırasıyla a₁=1, a₂ =1/2, a₃=1/3, a₄=1/4, a₅=1/5  dur. n artan sayma sayıları için daima a_n+1<a_n eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla dizinin her terimi bir önceki teriminden daha küçük olarak gelir ve böylece bu dizi monoton azalan olur. Aşağıda grafiği de çizilmiştir. Terimleri sıralı ikili biçimde yazılıp koordinat düzleminde yerleştirildiğinde dizinin moton azalan olduğu görülür: 

Dizi tanımı

 

Matematikte dizi, 0 hariç doğal sayılar (sayma sayılar kümesi) kümesinden bir A hedef kümesine (çoğunlukla bu A kümesi Reel sayılar kümesi olur) tanımlanan özel bir fonksiyondur. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli ifade dizinin tanım elemanları {1,2,3,4,.....} şeklinde devam eden sayma sayılarıdır. Yani dizinin elemanları 1. 2. 3. gibi sıralanmalıdır. Buradaki bu sıralamalara "indis" denir. Matematikte indis, bir dizinin terimlerini belirlemek ve sıralamak için kullanılan, genellikle doğal sayılardan seçilen gösterge niteliğindeki değişkendir. Başka bir deyişle indis, bir dizide hangi terimin kastedildiğini belirleyen konum belirtecidir. 

Diziler genellikle a_n, b_n, c_n... gibi küçük harf ve indis yardımıyla gösterilir. Bir (a_n) dizisinde yer alan “n” ifadesi indisi temsil eder. Bu n değeri, dizinin tanım kümesindeki bir elemandır ve diziyi üreten fonksiyonun girdisi olarak görev yapar. Dolayısıyla indis, dizinin elemanlarını hem düzenli bir biçimde sıralamaya hem de her terimi diğerlerinden ayırt etmeye yarayan bir göstergedir. Buna göre bir dizi, her sayma sayısı indisine karşılık tek bir değer atayan özel bir fonksiyon kuralı olarak tanımlanabilir.  Bu çerçevede diziler, fonksiyon kavramının belirli bir türünü oluşturur; ancak matematiksel literatürde ardışıklık ve sıralanmışlık özellikleri vurgulanmak istendiğinde diziler ayrı bir terim olarak kullanılır. Dolayısıyla a_n dizisi, fonksiyonel gösterimde f(n) biçiminde okunabilir. Dizilerin fonksiyonla ilişkisi bu noktada açıkça ortaya çıkar: Dizi, tanım kümesi sayma sayılar olan bir fonksiyondur. 

Dizinin kuralına dizinin genel terimi denir. Genel terim, bir dizinin her bir terimini, indisin herhangi bir değeri için doğrudan veren ifadedir. Başka bir söyleyişle genel terim, diziyi tanımlayan, fonksiyon şeklinde yazıldığında bütün terimelrini oluşturacak olan dizinin açık kuralıdır ve dizinin n’inci terimini, önceki terimlere ihtiyaç duymadan belirler. Bir dizide an sembolü çoğu zaman dizinin genel terimini temsil eder. Bir dizinin genel terimi bilindiğinde dizinin tüm yapısı tek bir formülle özetlenmiş olur.. Eğer bir dizinin genel terimi biliniyorsa, dizi hakkında toplama, limit alma veya büyüme davranışını inceleme gibi işlemler çok daha kolay hâle gelir. 

Genel terimi bilinmeyen sayı grupları her ne kadar anlamlı olsa da bir dizi belirtmez. Örneğin herhangi bir küme olarak verilen A={1, 2, 3, 4, 5......} ; B={2, 4, 6, 8, 10, .....} veya C={4, 7, 10, 13, 16, 19,.....}  şeklindeki sayı grupları, kuralları belli olmadığından matematiksel dizi olmaz. Çünkü bu şekilde yazılışta bu terimlerden sonra gelen terimlerin aynı düzene göre geleceğinin garantisi yoktur. Bunların dizi olabilmesi için  a_n=(1, 2, 3, 4, 5.......n......), b_n=(2, 4, 6, 8, 10, ......2n.....), c_n =(4, 7, 10, 13, 16, 19,......3n+1........) şeklinde yazılmış olması gerekir.

David Acheson, Geometrinin Sihirli Kitabı

Geometri insan düşüncesinin en özgün üretimlerinden biridir. Bir yanıyla saf teoriye dayanırken bir yanıyla da gündelik hayatla iç içedir. Babil ve Mısır gibi medeniyetlerin tarlaların sınırlarını belirleme ve kadastro hesapları alanında geometriden yararlanmaları bu pratik kullanımın en eski örneklerindendir.
David Acheson da geometrinin pizza dilimlemekten uçaktan bomba atmaya ya da Sherlock Holmes’ün gizemleri çözmesine kadar uzanan sayısız alandaki kullanımlarını gösteriyor. Ayrıca salt teorik bilgi peşinde geçen binlerce yıllık serüvene ve geometri tarihinin sayısız büyük isminin çalışmalarına ve eserlerine de değiniyor.

Geometrinin Sihirli Kitabı - Bir Matematik Hikayesi (David Acheson) Çevirmen: Prof. Dr. Tuğrul İnal Baskı: 2023 Sayfa Sayısı: 28

Mehmet Fatin Gökmen ve Astronomi

Mehmet Fatin Gökmen, 1877 yılında Antalya’nın Akseki ilçesine bağlı Gödene Bala köyünde doğmuştur. Annesi “Bennâlar”, babası “Hacı Osmanlar” ailesindendir. Babası, Abdülgaffar Efendi, Anadolu ve Rumeli’de kadılık yapmıştır. İlk öğrenimini Akseki ve Alanya’da tamamladıktan sonra ortaöğrenimini İzmir’in Bayındır ilçesinde Medrese öğrenimini İstanbul Fatih Medresesi’nde tamamlamıştır. İstanbul’da bulunduğu dönemde Sultan Selim Camii Muvakkithânesi’nde çalışırken astronomi ve matematikle ilgilenmiş, bu süreçte dönemin önemli bilim insanlarından Salih Zeki Bey’in dikkatini çekmiştir. 1901 yılında yeni açılan Riyâziyyât Medresesi’ne girmiş ve 1904 yılında birincilikle mezun olmuştur. Mezuniyetinin ardından kısa bir süre Darüşşafaka’da matematik öğretmeni olarak görev yapmış, daha sonra Riyâziyyât Medresesi’nde astronomi ve olasılık hesapları (hesâb-ı ihtimâliyyât) dersleri vermiştir.