Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Etiketler : matematik periyodik trigonometri trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine geri döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini aynen tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca; trigonometrik fonksiyonlar, açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.

Trigonometrik fonksiyonların periyodik yapısı nedeniyle matematiksel hesaplamalar ve fiziksel olayların modellemesinde önemli bir yer tutar. Örneğin; tıbbi araçlar, tıbbi görüntüleme teknikleri, fiziksel dalga hareketleri, ses dalgaları, ışık dalgaları ve elektriksel sinyaller gibi birçok doğal fenomen trigonometrik fonksiyonlarla modellenebilir, çünkü bu tür olaylar belirli bir zaman dilimi içinde tekrar eden bir yapıya sahiptir. Mesela kalp ritimlerini ölçen cihazlarda sinüs dalgalarından yararlanılır. Trigonometrik fonksiyonlar, özellikle sinüs ve kosinüs, "sürekli" ve düzgün bir dalga şeklinde ilerlerken, tanjant ve kotanjant ise belirli aralıklarla "kesikli" bir yapı sergilerler. 

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla sürekli kendini tekrar eder. 

 

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu 360° (veya 2π radian) olup, bu fonksiyonlar her 360°'de bir kendini tekrar eder. Yani, sin(θ + 360°) = sin(θ) şeklinde yazılır. Cos fonksiyonu da cos(θ + 360°) = cos(θ) şeklinde yazılır. Fonksiyonlar çift dereceli olduğunda π üzerinden tekrarlanır. Örneğin sin²(θ + 180°) = sin(θ) eşitliği doğrudur. Aynı durum cosinüs için de geçerlidir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu ise fonksiyonun derecesi farketmeksizin, 180° (veya π radian) olup, her 180°'de bir kendilerini tekrar ederler. Yani, tan(θ + 180°) = tan(θ) ve cot(θ + 180°) = cot(θ) eşitlikleri geçerli olur. 

 

Trigonometrik fonksiyonlar frekans, genlik gibi farklı parametrelerle yeniden yazılabilir. Örneğin, y=k.sin(Ax+B)+C gibi fonksiyonlarda k: (katsayı) genliği, A: frekansı, B: x eksenindeki faz kaymasını ve C: y eksenindeki dikey kaymayı belirler. Bu parametrelerden A  parametresi fonksiyonun periyodik özelliklerini etkileyebilir. Buradaki parametreler kısaca şöyle açıklanır:

Genlik (k): Fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri arasındaki mesafeyi belirler.

Frekans (A): Fonksiyonun birim zamanda kaç döngü yaptığına karar verir. B değeri arttıkça fonksiyon daha hızlı döner, yani periyot kısalır.

Faz kayması (B): Fonksiyonun yatayda yani x ekseninde sağ veya sol tarafta ne kadar kayma miktarı ile hangi noktada başladığını belirtir.

Dikey kayma (C): Fonksiyonun grafiğini dikeyde yani y ekseninde yukarı ya da aşağı yönde ne kadar kaydığını gösterir.

Periyot ve frekans arasında ters bir ilişki vardır. Yani, periyot ne kadar kısa olursa, frekans da o kadar yüksek olur, bu durumun tersi de geçerlidir. Frekans, birim zamanda gerçekleşen döngü sayısını ifade eder ve genellikle Hertz (Hz) birimi cinsinden ölçülür. Periyot ise bir döngünün tamamlanma süresidir ve genellikle saniye (s) cinsinden ölçülür.

y=k.sin(Ax+B)+C fonksiyonunda x in katsayısı olan A frekans parametresi, fonksiyonun frekansını belirlediği için fonksiyonun periyodunu değiştirir. Genel formda, tanjant ve kotanjant fonksiyonları dereceye bağlı olmadan, sinüs ve cosinüs fonksiyonları da derecenin çiftlik veya teklik durumuna bağlı olarak şu şekilde hesaplanabilir:

y=k.sinⁿ(Ax+B)+C fonksiyonun periyodu derece (n) tek ise T=2π/|A| olurken, derece (n) çift ise T=π/|A|olur. Aynı durum cosinüs fonksiyonu [y=k.cosⁿ(Ax+B)+C] için de geçerlidir. Eğer sinüs veya kosinüs fonksiyonu çift dereceli bir fonksiyon ise (sin²(x), cos⁴(x),sin⁴(x)...) fonksiyonun periyodu yarıya inmiş olur. Bunun nedeni, sin²(x) veya cos²(x) gibi fonksiyonlar, her 180° (π rad) döngüde kendini sürekli tekrar eder. Çünkü sin²(x) fonksiyonunda negatif sinüs değerleri, daima pozitif hale gelir, bu da periyodu yarıya indirir.

y=k.tanⁿ(Ax+B)+C ve y=k.cotⁿ(Ax+B)+C fonksiyonların periyodu fonksiyonun derecesine (n) bağlı olarak değişmez. Tanjant ve kotanjant fonksiyonların periyodunu sadece x'in katsayısı olan A frekans parametresi belirler. Buna göre y=k.tanⁿ(Ax+B)+C ve y=k.cotⁿ(Ax+B)+C fonksiyonların periyodu: T=π/|A|olur.

Sin(x) grafiği 0 ile 2π arasında bir tam dalga oluşturur. Sin²(x) grafiği ise her π aralığında aynı grafik şeklini tekrar eder, çünkü negatif değerler de çift kuvvetten dolayı pozitif hale gelmiştir. Tan(x) ve Cot(x) grafiği ise zaten π aralığında tekrarlanır; bu yüzden çift veya tek derecenin olması, fonksiyonun periyodunu etkilemez. Secant (sec) ve cosecant (csc) fonksiyonlarının periyotları sinüs ve cosinüs fonksiyonları ile yakından ilişkilidir. Çünkü Secant (sec) ve cosecant (csc) fonksiyonları, cosinüs ve sinüs fonksiyonlarının tersi olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle bu fonksiyonların periyotları da doğrudan sinüs ve kosinüsün periyotlarına bağlı olarak yazılır. 

Genel olarak Trigonometrik fonksiyonlarda periyod analizi yapılırken ilk olarak fonksiyonun türü (sin, cos, tan, cot), ardından fonksiyonun derecesi ve A katsayısı incelenmeli buna göre peiyod hesabı yapılmalıdır. Periyodun doğru bulunması fonksiyonun grafik çizimi için gereklidir.

Eğer fonksiyon iki trigonometrik fonksiyonun toplamı veya çarpımı şeklindeyse (sin(2x) + cos(3x) ya da sin(2x)·cos(3x)), o zaman her iki fonksiyon için ortak periyodu hesaplanır. Çarpım şeklinde verilen fonksiyonlar, ters dönüşüm formülleri kullanılarak toplam veya fark biçimine dönüştürülür. Daha sonra periyod hesabı yapılır. Toplam veya fark biçimdeki fonksiyonlarda fonksiyon içindeki tüm trigonometrik fonksiyonların herbirinin periyodu bulunur sonra bunların en küçük ortak katı (EKOK) alınır. Çünkü toplam fonksiyon ancak her iki fonksiyon da aynı anda tekrar ettiğinde kendini tekrar etmiş olur. Bu tip toplam veya çarpım şeklindeki trigonometrik fonksiyonlarda periyod bulunurken fonksiyonu oluşturan parçaların periyodu bulunduktan sonra bunlar birbiriyle toplanmaz veya çıkarılmaz sadece ayrı ayrı bulunan periyotların arasında ekok alma işlemi yapılır.

Özet olarak: Eğer trigonometrik fonksiyon toplam veya fark biçimindeyse: doğrudan tüm fonksiyonların ayrı ayrı periyotları bulunup bunların EKOK’u alınır. Eğer fonksiyon çarpım biçimindeyse: Önce trigonometrik özdeşlikler yardımıyla toplam/fark biçimine çevrilir, sonra ortaya çıkan fonksiyonların periyotlarının EKOK’unu alınır.