Karekök Hesaplama (Babil Yöntemi)

Etiketler : babil karekök köklü ifadeler matematik

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini hesaplarken çeşitli yöntemler kullanılmıştır. Bu yöntemlerden biri çok eski zamanlardan günümüze ulaşmış Babil Yöntemi (Babylonian method)dir. Bu yöntem bir sayının karekökünü yaklaşık olarak bulmada çok hızlı sonuç üreten bir yöntemdir. Hesap makinelerinde sıklıkla kullanılır. Babil Yöntemi, bir sayının karekökünü bulmak için kullanılan pratik bir yöntemdir. Bu yöntemde önce karekök için yaklaşık bir değer seçilir. Daha sonra yapılan işlemlerle bu değer giderek daha doğru hale getirilir. Babil Yöntemi olarak bilinen bu yöntem, daha sonraki zamanlarda Newton-Raphson tarafından genelleştirilmiştir. (Bkz. Newton Raphson Yöntemi)

 

Örneğin 10 sayısının karekökünü bulalım. 3 × 3 = 9 ve 4 × 4 = 16 olduğu için √10 sayısının 3 ile 4 arasında olduğu anlaşılır. İlk tahmin olarak 3 alınabilir. İlk adımda 10 sayısı 3’e bölünür: 10 / 3 = 3.3333 olur. Sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (3 + 3.3333) / 2 = 3.1667 sonucu bulunur. Yeni tahmin artık 3.1667 olur. İkinci adımda: 10 / 3.1667 = 3.1579 elde edilir. Önceki bulunan değerle birlikte aritmetik ortalama alınır: (3.1667 + 3.1579) / 2 = 3.1623 olur. Üçüncü adımda: 10 / 3.1623 = 3.1623 olur. Tekrar ortalama alınır: (3.1623 + 3.1623) / 2 = 3.1623 elde edilir. Sonuç olarak: Her adımda sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Hata payı gittikçe azaltılarak istenen minimum değere gelinceye kadar işlem tekrar edilir. Birkaç tekrar sonunda yaklaşık sonuç elde edilir: 10 sayısının yaklaşık karekök değeri√10 ≈ 3.162277 olarak hesaplanır.

 

Babil yönteminin temel mantığı, tahmin ile bölme sonucunu dengeleyerek en doğru değere yaklaşmaya çalışmaktır. Tahmin büyük olduğunda bölme sonucu küçük çıkar, tahmin küçük olduğunda ise bölme sonucu büyük çıkar. Ortalama almak bu farkı azaltır ve daha doğru bir sonuç verir.

Başka bir örnek verelim: 

Örneğin 29 sayısının karekökünü bulalım. Önce 29’a yakın tam kare sayılar düşünülür. 5 × 5 = 25 ve 6 × 6 = 36 olduğu için  29 sayısının karekökünün 5 ile 6 arasında olduğu tahmin edilir. İlk tahmin olarak 5 sayısı alınabilir. Sonra 29 sayısı bu tahmine bölünür: 29 / 5 = 5.8 olur. Elde edilen 5.8 değeri ile ilk tahmin olan 5’in aritmetik ortalaması alınır: (5 + 5.8) / 2 = 5.4 sonucu bulunur. Yeni tahmin artık 5.4 olur. Aynı işlem tekrar yapılır. Bu kez 29 sayısı 5.4’e bölünür: 29 / 5.4 ≈ 5.37 olur. Bulunan değer ile 5.4’ün aritmetik ortalaması alınır: (5.4 + 5.37) / 2 ≈ 5.385 bulunur. Her adımda sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Hata payı gittikçe azaltılarak istenen minimum değere gelinceye kadar işlem tekrar edilir. Birkaç tekrar sonunda yaklaşık sonuç elde edilir: 29 sayısının yaklaşık karekök değeri √29 ≈ 5.385 olarak hesaplanır.

 

Örneğin 129 sayısının karekökünü bulalım. Önce 129’a yakın tam kare sayılar düşünülür. 11 × 11 = 121 ve 12 × 12 = 144 olduğu için √129 sayısının 11 ile 12 arasında olduğu tahmin edilir. İlk tahmin olarak 11 alınabilir. İlk adımda 129 sayısı 11’e bölünür: 129 / 11 ≈ 11.73 olur. Daha sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (11 + 11.73) / 2 ≈ 11.36 bulunur. Yeni tahmin artık 11.36 olur. Aynı işlem tekrar yapılır: 129 / 11.36 ≈ 11.35 sonucu çıkar. Sonra tekrar önceki sonuçla birlikte ortalama alınır: (11.36 + 11.35) / 2 ≈ 11.355 elde edilir. Her adımda bulunan sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Birkaç tekrar sonunda sonuç neredeyse sabit hale gelir. Sonuçta 129 sayısının yaklaşık karekök değeri: √129 ≈ 11.36 olarak hesaplanır.

 

Örneğin 237 sayısının karekökünü bulalım. Önce 237’ye yakın tam kare sayılar düşünülür. 15 × 15 = 225 ve 16 × 16 = 256 olduğu için √237 sayısının 15 ile 16 arasında olduğu anlaşılır. İlk tahmin olarak 15 alınabilir. İlk adımda 237 sayısı 15’e bölünür: 237 / 15 = 15.8 olur. Daha sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (15 + 15.8) / 2 = 15.4 bulunur. Yeni tahmin artık 15.4 olur. Aynı işlem tekrar yapılır: 237 / 15.4 ≈ 15.39 olur. Sonra tekrar ortalama alınır: (15.4 + 15.39) / 2 ≈ 15.395 elde edilir. Her adımda bulunan sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Birkaç tekrar sonunda sonuç neredeyse değişmez hale gelir. Sonuçta 237 sayısının yaklaşık karekök değeri: √237 ≈ 15.39 olarak hesaplanır.