Newton-Raphson yöntemi (Yaklaşık Karekök)

Etiketler : karekök köklü ifadeler matematik newton

Newton-Raphson yöntemi ile kareköklü ifadenin yaklaşık değerini hesaplamak mümkündür. Karekök hesaplamalarında pratik olarak kullanılan Babil yöntemi olarak izah ettiğimiz yaklaşık değer metodu, esasında türevden ortaya çıkan durumun özel halidir. Newton, Babil yöntemini türev kullanarak geliştirmiş ve Josep Raphson (Bkz. Joseph Raphson) ise metodu daha basit ve kullanışlı bir forma dönüştürmüştür.

Bir sayının karekökünü bulmak demek, √S yani x²=S denklemini oluşturan (x²-S)  fonksiyonun kökünü bulmak demektir. Grafiği bir parabol şeklinde olan f(x) = x²-S fonksiyonunun, x eksenini kestiği pozitif noktayı bulduğumuz zaman denklemin kökünü de bulmuş oluruz. Bulunan bu noktada fonksiyonun değeri sıfırdır. Biz bu noktayı (denklemin kökü) doğrudan bulamadığımızda, türevin sağladığı doğrusal yaklaşım metodunu kullanırız. Bu yöntemde, yaklaşık değer bulma işlemi şu mantıkla ilerler: Önce köke yakın olduğunu tahmin ettiğimiz bir x noktası seçeriz. Bu noktadan fonksiyonun eğrisine bir teğet doğrusu çizeriz. Fonksiyonun o noktadaki türevi, bize bu teğet doğrusunun eğimini verir. Çizdiğimiz bu teğet doğrusu, fonksiyonun eğrisini takip etmek yerine düz ilerlediği için x eksenini gerçek köke çok yakın bir noktada keser. Böylece geometrik olarak, elimizde bir dik üçgen oluşur. Bu üçgenin dikey kenarı, fonksiyonun o noktadaki değerini, eğimi ise türevi temsil eder. Newton-Raphson formülündeki "fonksiyon/fonksiyonun türevi" [f(x)/f'(x)] kısmı, aslında teğetin x eksenine ulaşmak için ne kadar yatay yol alması gerektiğini hesaplar. Mevcut tahminimizden bu sapma miktarını çıkardığımızda, köke daha yakın olan yeni bir tahmin değerine ulaşırız. Bunu istediğimiz hassaslıkta ilerleterek yaklaşık değeri yakalarız.  

Karekök özelinde düşündüğümüzde, fonksiyonumuz x²-S ve bu fonksiyonun türevi 2x olduğu için, bu çıkarma ve sadeleştirme işlemleri sonucunda, karşımıza şu basit kural çıkar: Yeni tahminimiz, eski tahminimiz ile verilen sayının eski tahminimize oranının aritmetik ortalamasıdır. Yani her adımda elimizdeki sayıyı daha dengeli ve köke daha yakın bir hale getirmiş oluruz. İşte bu kural tarihte Babiller tarafından kullanılan doğrusal yaklaşım formülüdür. 

 

Örneğin √23 bulmak için şu fonksiyon kullanılır: f(x) = x²−23. Bu fonksiyonun kökünü bulmak demek, aslında √23 değerini bulmak demektir. Elimizde bir grafik olduğunu düşünelim. Bu grafik, f(x) = x²−23 fonksiyonuna ait bir paraboldür. Bizim amacımız, bu parabolün x eksenindeki kestiği noktayı (yani sıfır noktasını) bulmaktır; çünkü o kestiği nokta tam olarak √23 değerini verir. Grafiğin üzerinde, köke yakın olduğunu tahmin ettiğimiz bir noktaya (örneğin x = 5 noktasına) bir işaret koyarız. Bu noktadan grafiğe bir teğet doğrusu çizeriz. İşte türev tam bu noktada devreye girer. Türev, o teğetin ne kadar dik veya ne kadar yatay olduğunu (yani eğimini) belirler. Çizdiğimiz bu teğet doğrusunun yere değdiği bu yeni nokta, bizim bir sonraki başlangıç tahminimiz olur. Bu şekilde ilerleyerek karekökün yaklaşık değer hesabı yapılır. Özetle Newton-Raphson yöntemi şu formülle ifade edilir: x_n+1=[x_n+S/x_n)]/2 Yani yeni tahmin, mevcut tahmin ile 23’ün bu tahmine bölümünün aritmetik ortalamasıdır. Mantıksal Olarak: Eğer x_n değeri 23'ün gerçek karekökünden büyükse, 23/x_n değeri kökten küçük çıkacaktır. Bu iki değerin (büyük ve küçük) ortalamasını almak, hatayı azaltarak sizi tam orta noktadaki gerçek kök değerine doğru hızla yaklaştırır. 

 

√23 bulmak için başlangıç değeri olarak 5 alalım. 5 sayısı, 23’e yakın bir tam kare olan 25’in karekökü olduğu için iyi bir tahmindir. 23’ü 5’e böldüğümüzde 4,6 elde ederiz. Newton-Raphson yöntemi, burada bu iki değeri (5 ve 4,6) ortalar ve yeni tahmini 4,8 olarak verir. Sonraki adımda aynı işlem tekrarlanır. 23’ü 4,8’e böldüğümüzde yaklaşık ≈4,7916 elde edilir. Bunun 4,8 ile ortalaması alındığında ≈4,7958 gibi daha hassas bir değer bulunur. Bu süreç her tekrarlandığında hata azalır ve sonuç gerçek değere hızla yaklaşır. (4,79583152331271...) Önemli bir nokta şudur: Buradaki “ortalama alma” ifadesi, sadece sezgisel bir anlatımdır. Asıl matematiksel mekanizma, teğet doğrusunun kökü kesme noktasını kullanarak hatayı hızla küçülten türev tabanlı bir yöntemdir. Kısacası bu yöntem, sürekli “tahmin et ve düzelt” mantığıyla çalışır ve birkaç adımda oldukça doğru sonuçlara ulaşır.