Bölme işlemiyle Karekök Hesaplama

Çok büyük sayılarda karekök alma işlemini, hesap makinesi kullanmadan sadece bölme işlemi kullanarak yapabiliriz. Pratik olmasa da alışıldığı zaman kullanışlı bir yöntem. 

Karekök alma işleminin bölme yöntemiyle nasıl yapıldığını daha detaylı ve adım adım açıklayalım. 

Bölme Yöntemiyle Karekök İşlemi Adımları

Örneğin: 1234321 sayısının karekökünü sadece bölme işlemi kullanarak hesaplayalım.

İşlem yapılacak sayı sağdan sola doğru iki hanelik gruplara ayrılır. Birler basamağından başlayarak tüm sayı, ikişerli olarak gruplandırılır.

Örneğin: 1234321 sayısı 1 | 23 | 43 | 21 şeklinde gruplandırılır. Bu gruplama, işlemi kolaylaştırmak için yapılır. Kök değerinin ilk basamağını bulmak için sayının en soluna bakılır. En soldaki grup (burada 1) için en büyük tam kare sayı bulunur. Örneğimizde 1 sayısının karekökü 1’dir (1x1=1). Bu sayı, karekökün ilk basamağı olur. 1 x 1 = 1 yazılır. İlk basamağın karesi (1) sayının ilk grubundan çıkarılır. 1 - 1 = 0 kalır. Sonraki grup (2323 bölmedeki kalanın yanına getirilir, böylece 023 olur. Yeni bölme sayısını oluşturma aşamasında bulunan önceki karekök değerimiz (1) iki ile çarpılır: 1 x 2 = 2. Bu sayı, bölme işleminde kullanılacak "bölücü" olarak düşünülür. Şimdi, 2 ile başlayıp, 2'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 21, 22, 23...) 023 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. Bölme ve çıkarma işlemi yapılır. 21 x 1 = 21 (burada 1, yanına eklenen rakam) 023 - 21 = 2 bölmede kalan olarak kalır. Karekökün ikinci basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök şimdi haliyle  11 olur. İşlemi tekrarlama aşamasında aynı işlemler yapılır. 

Kalan sayı (2) yanına bir sonraki grup (43) getirilir: 243. Karekökün şu anki hali (11) iki ile çarpılır: 11 x 2 = 22. Sonra 22'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 221, 222, 223...) 243 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. 221 x 1 = 221 çıkarılır. 243 - 221 = 22 kalır. Karekökün üçüncü basamağı 1 olarak bulunur. Karekök şimdi 111 olur. Son adımlarda verilen sayıdan en son kalan sayı (22) yanına son grup (21) getirilir: 2221. Sonra bulduğunuz karekökün şu anki hali (111) iki ile çarpılır: 111 x 2 = 222. Bu 222'nin yanına bir rakam ekleyerek (2221) 2221.1=2221  sayısından çıkarılır. 2221 x 1 = 2221 çıkarılır. Sonuçta en son kalan 0 olur. Böylece Karekökün dördüncü basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök tamamlanır: 1111.

Özetlersek; Verilen sayı çift hanelere ayrılır. En büyük tam kare bulunur ve sayıdan çıkarılır. Kalan sayıya yanındaki çift hane eklenir. Karekökün bulunan şu anki hali iki ile çarpılır. Yanına eklenen rakamla çarpılarak çıkarma yapılır. Kalan sıfıra ulaşana kadar böyle devam edilir. Yanına çarpmak için eklediğimiz sayılarla bulunan rakamlar karekökün basamakları olur.

Bu yöntem, uzun bölme işlemine benzer şekilde karekökü adım adım bulmayı sağlar. Örnekte 1.234.321 sayısının karekökü 1111 olarak bulunmuştur.

Örneğin 614656 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 6 | 14 | 65 | 56 şeklinde yazılır. İlk grup olan 6'dan büyük olmayan en büyük tam kare 4 olduğu için karekökün ilk basamağı 2 olur. 6 − 4 = 2 kaldıktan sonra yanına 14 indirilerek 214 elde edilir. Bulunan karekökün iki katı alınır ve uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır. Daha sonra kalan sayının yanına sırasıyla 65 ve 56 grupları indirilir. Her adımda bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam belirlenir ve çıkarma işlemi tekrarlanır. Kalan sıfıra ulaştığında işlem tamamlanır ve bulunan rakamlar birleştirilerek sayının karekökü elde edilir. Bu örnekte 614656 sayısının karekökü 784 olarak bulunur.

Örneğin 18671041 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 18 | 67 | 10 | 41 şeklinde yazılır. İlk grup olan 18'den büyük olmayan en büyük tam kare 16 olduğu için karekökün ilk basamağı 4 olur. 18 − 16 = 2 kaldıktan sonra yanına 67 indirilir ve işlem devam eder. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır ve kalan sayının yanına sırasıyla 10 ve 41 grupları indirilir. Aynı adımlar tekrar edilerek kalan her seferinde azaltılır ve son işlemde kalan 0 olur. Böylece bulunan rakamlar birleştirilerek 18671041 sayısının karekökünün 4321 olduğu elde edilir.

Tam sayı kısmı tamamlandıktan sonra kalan sıfır değilse, yanına eklenen 00 grupları indirilerek işlem ondalık basamaklar için aynı şekilde devam eder. Böylece karekökün virgülden sonraki basamakları da tek tek bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamak elde etmek için yapılan tek işlem, sayının sağına ikişerli 00 grupları ekleyerek aynı adımları sürdürmektir.

Örneğin 1234567890 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle yaklaşık 4 ondalık basamağa kadar bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 12 | 34 | 56 | 78 | 90 şeklinde yazılır. Ondalık basamakları bulabilmek için sayının sağına ikişerli 00 grupları eklenir ve işlem 12 | 34 | 56 | 78 | 90 | 00 | 00 | 00 | 00 şeklinde devam eder. İlk gruptan başlanarak bu gruptan büyük olmayan en büyük tam kare bulunur, karesi çıkarılır ve kalan sayının yanına bir sonraki grup indirilir. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, yanına uygun bir rakam eklenerek oluşturulan sayı aynı rakamla çarpılır ve elde edilen sonuç kalan sayıdan çıkarılır. Bu işlemler tüm gruplar için aynı sırayla tekrarlanır. Tam sayı kısmındaki gruplar tamamlandıktan sonra işlem durdurulmaz; ondalık basamakları bulmak için eklenen 00 grupları sırayla indirilir ve aynı yöntem uygulanmaya devam edilir. Her indirilen 00 grubu, karekökün virgülden sonraki bir basamağını verir. Dört adet 00 grubu indirildiğinde karekök yaklaşık 35136,4183 olarak bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamaklar, sayının sonuna ikişerli 00 grupları eklenerek ve aynı işlem adımları tekrarlanarak elde edilir.

Karekök yaklaşık değeri

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için, o sayıya en yakın ardışık tam kare sayılar kullanılır. Bu yöntemde önce sayının altındaki ve üstündeki en yakın tam kare sayılar bulunur. Daha sonra verilen sayının, bu iki tam kare arasındaki konumu oranlanır. Aynı oranın karekök değerleri arasında da geçerli olacağı düşünülerek alt karekök değerine bu oran eklenir. Böylece karekökün yaklaşık değeri hızlı ve pratik bir şekilde elde edilmiş olur. Bu yöntem, karekökü yaklaşık hesaplamak için kullanılan en eski sayısal yaklaşım tekniklerinden biridir ve temeli “doğrusal ara değer bulma (interpolasyon)” fikrine dayanır. Yöntemin tam olarak ne zaman ortaya çıktığı belli değildir. Babil, Çin, Mısır, Hint gibi farklı uygarlıklar, karekök ifadelerinin yaklaşık değerlerini bulmak için benzer metotları kullanmışlardır. (Bkz. Babil Metodu)

Örneğin √50 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 50 sayısının altında 49 = 7², üstünde ise 64 = 8² olacak şekilde 7 ve 8 sayıları vardır. Bu nedenle √50 sayısının 7 ile 8 arasında bir değer olduğu anlaşılır. Alt tam kare (49 = 7²) ile üst tam kare (64 = 8²) arasındaki fark 15 birimdir. Yani Bu sayıları bir sayı doğrusunda yerleştirdiğimizde bu aralık 64−49=15 eşit parçalık bir aralık gibi düşünülür. 50’nin 49’dan uzaklığı, 1 fazla ve 50 ile 64 arasındaki toplam fark 14 olacağından, 50 bu aralığın yaklaşık 1/15’i kadar 7 sayısından ileride olur. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 7’ye 1/15 eklenir ve yaklaşık ≈7,067... sonucu elde edilir. Bu değer gerçek değere (7,0710678118654755...) oldukça yakın olduğundan bu yöntem, hesaplamalarda sık kullanılır. Bu yaklaşımda karekök eğrisi kısa bir aralıkta düzmüş gibi kabul edilir; yani fonksiyondaki değişimin doğrusal olduğu varsayılır.

Newton-Raphson yöntemi (Yaklaşık Karekök)

Newton-Raphson yöntemi ile kareköklü ifadenin yaklaşık değerini hesaplamak mümkündür. Karekök hesaplamalarında pratik olarak kullanılan Babil yöntemi olarak izah ettiğimiz yaklaşık değer metodu, esasında türevden ortaya çıkan durumun özel halidir. Newton, Babil yöntemini türev kullanarak geliştirmiş ve Josep Raphson (Bkz. Joseph Raphson) ise metodu daha basit ve kullanışlı bir forma dönüştürmüştür.

Karekök Hesaplama (Babil Yöntemi)

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini hesaplarken çeşitli yöntemler kullanılmıştır. Bu yöntemlerden biri çok eski zamanlardan günümüze ulaşmış Babil Yöntemi (Babylonian method)dir. Bu yöntem bir sayının karekökünü yaklaşık olarak bulmada çok hızlı sonuç üreten bir yöntemdir. Hesap makinelerinde sıklıkla kullanılır. Babil Yöntemi, bir sayının karekökünü bulmak için kullanılan pratik bir yöntemdir. Bu yöntemde önce karekök için yaklaşık bir değer seçilir. Daha sonra yapılan işlemlerle bu değer giderek daha doğru hale getirilir. Babil Yöntemi olarak bilinen bu yöntem, daha sonraki zamanlarda Newton-Raphson tarafından genelleştirilmiştir. (Bkz. Newton Raphson Yöntemi)

 

Örneğin 10 sayısının karekökünü bulalım. 3 × 3 = 9 ve 4 × 4 = 16 olduğu için √10 sayısının 3 ile 4 arasında olduğu anlaşılır. İlk tahmin olarak 3 alınabilir. İlk adımda 10 sayısı 3’e bölünür: 10 / 3 = 3.3333 olur. Sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (3 + 3.3333) / 2 = 3.1667 sonucu bulunur. Yeni tahmin artık 3.1667 olur. İkinci adımda: 10 / 3.1667 = 3.1579 elde edilir. Önceki bulunan değerle birlikte aritmetik ortalama alınır: (3.1667 + 3.1579) / 2 = 3.1623 olur. Üçüncü adımda: 10 / 3.1623 = 3.1623 olur. Tekrar ortalama alınır: (3.1623 + 3.1623) / 2 = 3.1623 elde edilir. Sonuç olarak: Her adımda sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Hata payı gittikçe azaltılarak istenen minimum değere gelinceye kadar işlem tekrar edilir. Birkaç tekrar sonunda yaklaşık sonuç elde edilir: 10 sayısının yaklaşık karekök değeri√10 ≈ 3.162277 olarak hesaplanır.

 

Babil yönteminin temel mantığı, tahmin ile bölme sonucunu dengeleyerek en doğru değere yaklaşmaya çalışmaktır. Tahmin büyük olduğunda bölme sonucu küçük çıkar, tahmin küçük olduğunda ise bölme sonucu büyük çıkar. Ortalama almak bu farkı azaltır ve daha doğru bir sonuç verir.

Başka bir örnek verelim: 

Joseph Raphson

Joseph Raphson, 17. yüzyılda yaşamış İngiliz matematikçidir (1668–1715 civarı). Joseph Raphson, kök bulma problemlerinde kullanılan Newton–Raphson yöntemi ile tanınır. Joseph Raphson hakkında çok az şey bilinmektedir. Yaşamına dair bilgiler çoğunlukla Cambridge Üniversitesi ve Royal Society kayıtlarından elde edilmektedir. Connor ve Robertson, 1691’de bir kitap incelemesinde yaşının 22 olarak belirtilmesine dayanarak, doğum yılını 1668 kabul eder. Joseph Raphson, 30 Kasım 1689’da Edmund Halley tarafından önerilerek, 1691 yılında Royal Society üyeliğine kabul edilmiştir. 1690’da yayımladığı "Analysis Aequationum Universalis" adlı eser sayesinde bu üyeliğe kabul edildiği düşünülür. 1692 yılında İngiltere Kilisesi rahipleri yetiştiren bir kurum olan Jesus College’dan (Oxford) yüksek lisans (M.A.) derecesi almıştır.  Bu dereceyi aldığında 43 yaşında olduğu için, olağandışı şekilde geç kalmış bir öğrenci olarak dikkat çeker.

"Analysis Aequationum Universalis" kitabı, denklemlerin köklerini yaklaşık olarak bulmaya yarayan ve bugün Newton-Raphson yöntemi olarak bilinen yöntemi ele alır. Isaac Newton 1671 yılında kök bulmaya yarayan bir yöntem geliştirmiş ancak bu çalışma “Method of Fluxions” adıyla çok daha sonra, 1736 yılında yayımlanmıştır. Bu nedenle o dönemde insanlar Newton’un geliştirdiği bu yöntemden haberdar olamamışlardır. Newton’dan yaklaşık 50 yıl sonra Joseph Raphson, benzer bir yöntemi yayımlamış ve bu yöntem daha basit anlatıldığı için insanlar tarafından daha çok kullanılarak tanınmıştır. Bu nedenle bugün ders kitaplarında bu yöntem, hem Newton’un hem de Raphson’un katkısı olduğu kabul edilerek Newton–Raphson yöntemi olarak adlandırılır. Edmond Halley, Raphson’ın geliştirdiği yöntemin çok hızlı ve doğru sonuçlar verdiğini Royal Society’de rapor etmiştir. 

 

Joseph Raphson'un Newton ile dolaylı ama önemli bir ilişkisi vardır; Newton’un bazı matematiksel çalışmalarına erişmiş ve bunların matematik dünyasında yayılmasında rol oynamıştır. Ayrıca Newton’un “fluxionlar” (türev kavramları) üzerine çalışmalarını içeren eserlerin derlenmesine katkı sağlayarak calculüs fikrinin temellerinin atılmasını sağlamıştır.

 

Joseph Raphson, matematik sözlüğü (1702), teoloji ve felsefe içeren eserler (De spatio reali, Demonstratio de deo) ve Newton’un bazı çalışmalarının çevirilerinden oluşan çeşitli yayınlar yazmıştır. Özellikle “gerçek uzay”, sonsuzluk ve Tanrı kavramları üzerine felsefi görüşler geliştirmiştir. Ayrıca 1697’de yayımladığı “De Spatio Reali” adlı çalışmasında “pantheism (panteizm)” kelimesini ilk kez kullanmıştır. Bu eserinde evreni hem maddi hem de zihinsel bir “evrensel töz” olarak açıklayan bir görüş ortaya koyarak, insanın evreni tam olarak kavrayamayacağını savunmuştur.

Kaynakça: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Raphson/ 

https://nm.mathforcollege.com/anecdotes/raphson.pdf